北师大版八年级数学下册全套教案.doc

§5.3 相似三角形
教学目的：
1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．
2.使学生理解并掌握定理“平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．）
3.通过相似三角形概念的引入过程，培养学生联系实际的意识，增进数学应
用的眼光．
教学重点：
.使学生理解并掌握定理“平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．）
教学难点：
准确找出相似三角形的对应边和对应角度。

教学方法：
学情分析：
教学过程：
一、讨论相似三角形的定义
请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义．
二、给出定义
1.从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’可知△ABC∽
△A’B’C’
2.板书定义．叫学生写在笔记本上．
3.什么叫相似比,说明相似比的意义.
注意：(在记两个三角形相似的时候,和记三角形全等一样,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,这样可以比较容易找出相似的对应的角和边) △ABC和△A’B’C’的比与△A’B’C’和△ABC的比不一定相等,而是成倒数的
关系.
三、导出定理
1.讨论为什么“平行于三角形一边的直线和其它两边的相交，所构成的三角形与原三角形相似？”
如图:如果DE∥BC,∠ADE =∠B
∠AED=∠C;
AD:AB=DE D E
:BC=AE:AC
B C
2、平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例．（成比例的线段不都在一个角的两边上，而分别是截得的三角形与原三角形的三条边）
四、学生练习
1、讨论224页练习1
（1）所有的等腰三角形相似吗？等边三角形呢？为什么？
（2）所有的直角三角形相似吗？等腰直角三角形呢？为什么？演示课件
2、课堂练习224页2（目的，找对应边对应角）
3、练习：
找出哪些对三角形是相似的．找出对应角、对应边，列出比例式．
五、课堂小结：
1、相似三角形的定义；
2、会准确找出两三角形的对应边和对应角；
六、课外作业：
P235 N1（1）、（2），N 2。

板书设计：
教学后记：
三角形相似的判定（一）
教学目的：
1、使学生能通过三角形全等的判定来发现三角形相似的判定。

2、使学生掌握相似三角形判定定理1，并了解它的证明。

3、使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用。

重点：
掌握相似三角形判定定理1及其应用。

难点
定理1的证明方法。

教学方法：
学情分析：
教学过程
一．复习
1、什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？
2、到目前为止判定三角形相似的方法有几个？
3、判定两个三角形全等的定理有几个？说出它们的内容。

二、新授
1、导入新课
两个角对应相等的两个三角形相似吗？这就是我们今天研究的问题。

板书2、要证明以上命题是真命题，目前只有两条途径，一个是相似三角形的定义，
显然条件不够。

二是用三角形相似判定的预备定理，但它不具备预备定理的基本图形，为了使用它，就得创造呢？（把小的三角形移到大的三角形中）老师肯定他们的思路后然后师生一起用不着几何作图的办法完成。

证明（略）
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径。

3、范例：
例1：已知：△ABC和△DEF中∠A=40，∠B=80，∠E=80，∠F=60 求证：△ABC∽△DEF
分析：
由于条件中有角的关系，所以我们可以联想到“对应角相等”的问题，从已知可以证明∠C=∠F，这样就有了两个角对应相等，三角形相似的条件，所以△ABC ∽△DEF
证明：（略）
例2：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似
（像这样只用文字说明的题目，必须画出相应的图形写出已知，求证。

然后才能着手证明）
分析：
欲证明两个三角形相似，只需证明两个对应角相等。

证明：见教材
三、巩固练习：
1、P226 N1、
2、3；
2、错例辨析：∵△ABC的∠B=∠C，△ABC的∠B=∠C
∴△ABC∽△ABC
四、小结
本节主要学习了相似三角形的判定定理1一定要掌握好这个定理。

五、作业：
P235 N3、4。

板书设计：
教学后记
三角形相似的判定(二)
教学目的:
1、使学生掌握三角形相似的判定定理2，3，和它们的应用。

2、了解上述两定理的证明。

教学重点：
判定定理的应用
教学难点
定理的证明
教学方法：
学情分析：
教学过程：
一、复习：
1、判定三角形相似目前有哪些方法？
2、回忆三角形相似判定定理1的证明的方法。

二、新授
1、导入新课
三角形全等的判定中AAS 和ASA对应于相似三角形的判定的判定定理
1，那么SAS和SSS对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本
节研究的内容。

（板书）
2、三角形相似的判定定理3。

判定定理2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两边对应成
比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似可以简单说成：
两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。

判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比
例，那么这两个三角形相似。

可简单说成：三边对应成比例的两三角形
相似。

我们对判定定理1 的证明大家已经清楚，就是在一个三角形的内一辅助三角形，使与另一个三角形全等，这两个三角形与所在三角形相似，今天也可以采用这种思路来证明它们吗？
请看书P227----228
说明：
这三个判定定理证明中，实际上都存在关于相似三角形图形的传递性问
题，要与等量代换相区别。

3、范例依据下列各组条件，判定△ABC∽△A’B’C’是不是相似,并说明为
什么?
(1)∠A=120度,AB=7CM,AC=14CM,∠A’=120度
A’B’=3CM,A’C’=6CM,
(2)AB=4,BC=6,AC=8,A’B’=12,B’C’=18,A’C’=24
解(1)
因为AB：AB=7：3，
AC：AC = 14：6 = 7：3
所以AB：AB=AC：AC
∠A=∠A
所以△ABC∽△A’B’C’（两边对边成比例，且夹角相等两三角形相似）
三：巩固练习
1、课本P232 1，2，3
四、小结
本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件。

五、作业：
P225 N5、6。

板书设计：
教学后记：
三角形相似的判定（三）
教学目的：
1、使学生掌握直角三角形相似的判定定理及其应用。

2、使学生进一步了解定理证明的方法。

重点：
定理的应用
难点：
定理的证明
教学方法：
学情分析：
教学过程：
一：复习
1、勾股定理。

2、
二、新授
1、导入新课
直角三角形的全等判定定理是一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角
三角形全等。

那么两个直角三角形相似的对应命题应是什么呢？
2、直角三角形相似的判定定理。

如果一个直角三角形的斜边和一条直角和另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。

如何证明这个定理，上述的三个相似三角形的判事实上定理的证法，同样运用这个定理的证明。

B B’
C ‘’A’’
C’A’
C A
已知:如图RT△ABC与RT△A’B’C’中∠C=∠C’=90度,
AB:A’B’=AC:A’C’
求证: RT△ABC∽RT△A’B’C’
书上定理的证明思路请看书
3、范例：
解题过程请看书，完成这题后，老师告诉学生：
若把题目的最后一句△ABC∽△COB吗？改成这两个三角形相似吗？
那结果又是什么？
分析：
原题目中△ABC∽△COB，那么对应顶点已对齐，所以斜边对斜边，直角边BC对直角边DB，若改为这两个三角形相似，因为题目中∠ABC=∠COB=90度已定，所以斜边对斜边不变而直角边BC可能与BD 对应，也可能与AB对应，因此本题就有两种情况存在，其结果也就可能有两个。

三、巩固练习：
P232 N1、2
四、小结：
本节的直角三角形相似的判定和应用必须掌握。

五、作业：
P236 N8、9。

板书设计：
教学后记：
课题：课时安排：
探索三角形相似的条件（一）教案
教学目标
1、经历“直观感觉――动手感知――理性思维――逻辑推理”的活动过程，探索两个三角形相似的条件，进一步发展学生的探究、合作交流能力，以及动手、动脑和谐一致的习惯；
2、初步掌握“两角对应相等的两个三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定；
3、能够运用三角形相似的条件解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

教学重点、难点
经历“直观感觉――动手感知――理性思维――逻辑推理”的活动过程，加强知识发生发展过程和渗透数学思想方法的教学，掌握“两角对应相等的两个三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。

课前准备
1、多媒体课件；
2、学具：许多形状各异的三角形，并搭配分成八组用于小组活动；
3、教具：两个定角和活动角及若干木棒。

教学过程
一、复习旧知，谈话揭题
同学们，今天我们学习的内容是“探索三角形相似的条件”。

（开门见山，揭题、揭趣――提出本堂课要研究的问题，明确学习目标）
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似，要同时满足六个元素，判定时感觉太繁，想不想找一些简单的方法来判定两个三角形相似呢？
三角对应相等，三边也对应相等的两个三角形全等，也有六个元素，三角形全等有没有用此方法判定呢？没有，有哪些方法呢？
――ASA，AAS，SAS，SSS，（HL）――确定三角形的形状、大小。

（进一步激发学生的学习欲望，引出用类比方法探究，顺利实行旧知到新知的迁移）
二、找找、比比，直观感觉
只要确定三角形的形状，不必考虑其大小，究竟需要哪些条件呢？
活动一：我想请同学们帮个忙，由于我不小心把许多形状各异的三角形搞乱了，请帮我从这八组三角形中找出各组中的相似三角形，并直观展示判定两个三角形相似的方法。

设计意图：从感觉本能出发，启发一些理性思考，为活动（2）奠定基础。

三、说说、画画，动手感知
活动二：画相似三角形――你能用最少的条件、最简捷的方法画一个三角形与我手中的三角形相似吗？
1、说说
要求：小组讨论画图思路，推选代表口述方法，全班交流，其他小组有不同的方法再作阐述。

设计意图：①用全等三角形判定的探索方法启发得到确定三角形形状的要素，学生可能会得到“两角、两边夹角和三边”方法，则研究两种，第三种方法及两边和其中一边对角问题将后续学习。

②教师用教具从几何运动变化的观点演示该两种条件下直观感知确定的三角形形状相同。

③教师进一步抓住“最少的条件”这一要求，若学生在探求中说出“一角相等”或“两边对应成比例”条件下三角形相似的问题，就可顺势利导展开讨论；若学生没有出现这一问题，教师可以反问学生这两种“最少的条件”是否可行，（这两种条件下问题的研究教师可以用教具演示或让学生讨论演示解决），从而真正理解“最少的条件”确定三角形形状。

2、画画
教师出示已知三角形的六个数据，学生分别用两种方法画出三角形。

要求：请把你作图时用到的数据标在三角形对应位置上。

设计意图：①同桌先交流所作三角形，进行形状直观判定；
②在实物投影仪上把学生画的三角形相互交流，比较形状是否相同。

③教师紧扣“最简捷的方法”画相似三角形展开讨论，引出问题：
如图，直线a 、直线b 相交于点O ，点A 、B 分别在直线a 、直线b 上，在直线a 、直线b 上分别找两点C 、D ，使△COD 与△AOB 相似，请尽量多地画出点C 、D 的位置。

设计意图：用几何图形运动变化的观点揭示常见相似三角形的“基本图形”，较好地提高了学生识图、作图能力。

四、看看、做做，理性思维
“A”型 “共角”型
“X”型
“蝴蝶”型
“共角共边”型
活动三：合情推理
对学生直觉判定进行数学论证――你会用数学知识说明所作三角形为什么
相似吗？（直观判断，动手实验，更需理性思考，有合情的逻辑推理给于保障）说明：两角对应相等易得三角对应相等，测量长度求得三边对应成比例，由三角形相似的定义解决。

结论得出：（1）学生总结口述两个判定条件的文字叙述；
（2）学生结合图形写出几何符号语言。

五、想想、练练，巩固提高
1、下列说法错误的是（）
A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
B、顶角相等的两个等腰三角形相似；
C、有一个角是100 °的两个等腰三角形相似；
D、有一个角相等的两个等腰三角形相似。

说明：每题都要说明相似的判定方法。

2、不能使△ABC与△DEF相似的条件是（）
A、∠B=∠F，∠C=∠E；
B、∠A=∠D=70°,∠=60°，∠E=50°；
C、∠A=∠D=65°,AB=DF=6cm，AC=4cm，DE=9cm；
D、∠B=∠E，AB∶AC=DE∶EF，
说明：画图直观对照三角形相似的条件，提升对“对应条件”的理解
3、如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，
（1）图中有哪些相等的角；
（2）找出图中相似的三角形，并说明理由；
（3）写出三组成比例的线段；
（4）在上述条件下，BD/AD ＝CE/AE 成立吗？
说明：学生口述推理，教师板演推理格式
4、如图，点E 、F 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且EF 不平行于BC ，要使△ABC ∽△AFE ，除公共角∠A 外，还需补充的条件是
5、如图，点B 、D 和C 、E 分别在∠A 的两边上，BE ⊥AC 于E 点，CD ⊥AB
于D 点，BE 和CD 相交于点F ，图中有几对相似三角形，并任你选一对说明理由。

A
B C
E
F C
A
B D E A
B C
D
E F
第3题图 第4题图
说明：按分类方法找出哪些三角形相似，再以类比“找线段”方法找出几对三角形相似，并满足不同层次学生学习的需要，选择性地写出合情推理过程。

六、结合实际，课堂总结
第5题图
谈谈本节课学习的收获和启发。

设计意图：（1）从所学新知――两种判定三角形相似的方法；
（2）探索活动中运用了什么方法――类比法，几何运动变化观点等；
（3）合作交流中相互学到了哪些。

七、布置作业课本P119/习题4.7（1，2，3），P121/习题4.8（2）
数据的波动
教学目标：
1、经历数据离散程度的探索过程
2、了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值。

教学重点：会计算某些数据的极差、标准差和方差。

教学难点：理解数据离散程度与三个“差”之间的关系。

教学准备：计算器，投影片等
教学过程：
一、创设情境
1、投影课本P138引例。

（通过对问题串的解决，使学生直观地估计从甲、乙两厂抽取的20
只鸡腿的平均质量，同时让学生初步体会“平均水平”相近时，两者的离散程度未必相同，从而顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度——极差）
2、极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差，极差是用来刻画数据离散程度的一个统计量。

二、活动与探究
如果丙厂也参加了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，数据如图（投影课本159页图）
问题：1、丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差是多少？
2、如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与对应平均数的差距。

3、在甲、丙两厂中，你认为哪个厂鸡腿质量更符合要求？为什么？ （在上面的情境中，学生很容易比较甲、乙两厂被抽取鸡腿质量的极差，即可得出结论。

这里增加一个丙厂，其平均质量和极差与甲厂相同，此时导致学生思想认识上的矛盾，为引出另两个刻画数据离散程度的量度——标准差和方差作铺垫。

三、讲解概念：
方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s 2
设有一组数据：x 1, x 2, x 3,……，x n ,其平均数为x
则s 2=[]22221))()(1
x x x x x x n
n -+⋯⋯+-+-（, 而s=()()()[]2
22211x x x x x x n n -+⋯⋯+-+-称为该数据的标准差（既方差的算术平方根）
从上面计算公式可以看出：一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

四、做一做
你能用计算器计算上述甲、丙两厂分别抽取的20只鸡腿质量的方差和标准差吗？你认为选哪个厂的鸡腿规格更好一些？说说你是怎样算的？
（通过对此问题的解决，使学生回顾了用计算器求平均数的步骤，并自由探索求方差的详细步骤）
五、巩固练习：课本第172页随堂练习
六、课堂小结：
1、怎样刻画一组数据的离散程度？
2、怎样求方差和标准差？
七、布置作业：习题5.5第1、2题
三角形内角和定理的证明教学设计
南京市大厂中学袁新兵蔡祝华
一、教材与学生现实的分析
1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间
的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。

在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。

其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。

2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。

3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。

用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。

尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。

因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。

辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可发完成的，并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。

从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的证明思路，对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。

A
B
C
D 价 4、 添辅助线的技巧：通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，即把新知识转化为旧知识去解决。

归纳概括能力。

例
题
讲
解
例1 △ABC 中，∠C=∠
ABC=2∠A ，BD 是AC 边
上的高，
如图，求∠DBC 的度数。

学生自主探索，教师巡视、诊断，不同解法的学生板演，学生辨析。

使学生灵活应用三角形内角和定理。

用代数方法解决
几何问题（方程
思想）是重要的方法。

思维拓展 练习
1、 已知△ABC 中，DE ∥BC ，∠A=60°，
∠C=70°， 求证：∠ADE=50° 进一步使学生灵活应用三角形内角和定理。

2、 △ABC 中，∠A=n °，∠ABC 、∠ACB 的
平分线交于点O ， 求证：∠BOC=90°+
2
1
n °
课后思考把三个内角集中在一起有很多种方法，下面提供其中的
两种，课后写出证明方法
拓展学生
的思维。

小结
我们证明了一个很有用的三角形内角和定理，证明思想是，运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角。

辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它。

频数与频率（第一课时）
教学目标：
1、理解频数、频率等概念，会对一组数据进行统计，并列出相应的统计图表。

2、能根据数据处理的结果，做出合理的判断与预测，从而解决实际问题，并在这一过程中体会统计对决策的作用。

教学重难点：
重点：理解频数、频率的概念并绘制出相应的统计图表，从而作出合理的判断和预测。

难点：正确列出统计图有。

教学准备：
学生课前先对本班同学最喜爱的球类体育运动项目做调查，教师制作好投影片或课件。

设计思路：
通过学生交流各自调查的结果，使学生经历收集整理数据的过程，也体会到其必要性；再通过学生亲自动手绘制各种统计数据的方法，进一步让学生感受统计对解决实际问题的重要性。

教学过程：
一、创设情境
（投影显示问题）
提问：你们喜爱球类体育运动吗？请从下面几项中选出你最喜爱的球类运动项目。

A、篮球
B、排球
C、足球
D、羽毛球
E、乒乓球（每小组分别请一位同学到黑板上进行统计，将每位同学最喜爱的球类运动用字母表示出来。

通过活动，使学生再次经历数据收集与整理的过程）
二、想一想
（投影显示问题）
问题：1、从上面统计情况来看，你能很快说出全班同学最喜爱的球类运动吗？
（如果统计结果非常明显，教师可做适当改变或转移到课本第159的例子）
2、你们认为这种数据统计方式好不好，能否设计出比较好的表示方式？
（此问题目的让学生进一步体会数据整理与表示的必要性，帮助学生复习数据表示的几种方法）
三、活动与探究
（学生交流各自课前对本班同学最喜爱的球类运动统计的方法，教师对参加交流的同学加以肯定并作出适当的点评。

）
本问题除了课本上给出的列频数颁布表、频率颁布直方图外，还可以提醒学生用数据的其他表示方法进行统计，如画扇形统计图、折线统计图等。

四、讲解概念
1、频数：每个对象出现的次数。

2、频率：每个对象出现的次数与总次数的比值。

（在讲解这两个概念时，切忌不要生搬硬记，要结合上述具体情况加以分析，让学生体会其意义，如有25人喜爱篮球运动，则把篮球的频数记为25，再用25除以全班总人数即得喜爱篮球运动的人的频率）五．做一做
对课本158页“读一读”进行统计，看看哪个汉字的使用频率最高？
（通过对这个问题的解决，使学生进一步理解频数、频率的意义）七．课堂小结
本节课的主要内容是：
1、学会用正确的统计方式表示一组数据。

2、理解频数、频率。

（可以用提问的方式进行小结）
八．布置作业：
课本习题5.3第1、2题
定义与命题
课时2
【教学目标】
一、教学知识点
1．命题的组成.
2．命题真假的判断。

二、能力训练要求：
1．使学生能够分清命题的条件和结论，能判断命题的真假
2．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法
三、情感与价值观要求：
1．通过反例说明假命题，使学生认识到任何事情都是正反两方
面对立统一
2．帮助学生了解数学发展史，拓展视野，激发学习兴趣
3．通过对《原本》介绍，使学生感受数学发展史和人类文明价值
【教学重点】准确的找出命题的条件和结论
【教学难点】理解判断一个真命题需要证明
【教学方法】探讨、合作交流
【教具准备】投影片
【教学过程】。