贝叶斯判别习题[整理]

1.办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测。

按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为0.5。

坏人总是要做坏事，好人总是做好事，偶尔也会做一件坏事，一般好人做好事的概率为0.9，坏人做好事的概率为0.2，一天，小王做了一件好事，小王是好人的概率有多大，你现在把小王判为何种人。

解：A ：小王是个好人 a ：小王做好事
B ：小王是个坏人B ：小王做坏事
()(/)(/)()(/)()(/)P A P a A P A a P A P a A P B P a B =
+0.5*0.9
0.82
0.5*0.90.5*0.2==+=0.18()(/)0.5*0.2
(/)()(/)()(/)0.5*0.90.5*0.2
P B P a B P B b P A P a A P B P a B =
=
++0.82>0.18 所以小王是个好人、
2. 设 m = 1,k = 2 ，X 1 ~ N (0,1) ，X 2 ~ N (3,2 2 ) ，试就C(2 | 1) = 1，C(1 | 2) = 1，且不考虑先验概率的情况下判别样品2，1 属于哪个总体，并求出 R = (R1, R2 ) 。

解：
2222
121/821
()()/}1,2
21(2)(20)}0.054
21(2)(23)/4}0.176
2i i i P x x i P P μσ--=
--==
--===--==由于<，所以2属于1(2)P 2(2)P 2
π
21/2
121/221(1)(10)}0.242
21(1)(13)/4}0.120
2P P --=
--===--==>，所以1属于1(1)P 2(1)P 1
π由
1()P
x 22211
}()(3)/4}
22x P x x -==--即2=21
exp{}2x -21exp{(69)}
8
x x --+2211
ln 2(69)
28
x x x -=--+解得=1.42 =-3.14.所以R=([-3.41,1.42],(-,-3.41)
1x 2x ∞U(1.42,+)).
∞3.已知，的先验分布分别为=,=,C(2|1)=1，C(1|2)=1，1π2π1q 3
52q 25
且
11,01()2,120,x x f P x x x <≤⎧⎪==-<≤⎨⎪⎩他他22
(1)/4,13()(5)/4,350,x x f P x x x -<≤⎧⎪
==-<≤⎨⎪⎩
他他使判别= ，=2所属总体。

1x 95
2x 解：(9/5)=2-9/5=1/5 (2)=2-2=0 (9/5)=(9/5-1)
1p 1p 2p /4=1/5 (2)=(2-1/4)=1/4
2p = *= > = * =
11q p 351532522q p 25152
25
=0<=*=
11q p 22q p 25141
10所以判=属于。

同理可知=2属于。

1x 9
5
1π2x 2π
4. 假设在某地区切片细胞中正常(ω1)和异常(ω２)两类的先验概率分别为P(ω1)=0.9，P(ω2)=0.1。

现有一待识别细胞呈现出状态x ，由其类条件概率密度分布曲线查得p(x|ω1)=0.2，p(x|ω２)=0.4，试对细胞x 进行分类
解：利用贝叶斯公式，分别计算出状态为x 时ω1与ω２的后验概率
根据贝叶斯决策有
P(ω1|x)＝0.818＞P(ω２|x)＝0.182判断为正常细胞，错误率为0.182判断为异常细胞，错误率为0.818因此判定该细胞为正常细胞比较合理5 简述贝叶斯判别法的基本思想和方法
基本思想：设k 个总体k G G G ,,,21 ，其各自的分布密度函数
，假设k 个总体各自出现的概率分别为，)(,),(),(21x x x k f f f k q q q ,,,21 ，。

设将本来属于总体的样品错判到总体时造成的损
0≥i q 11=∑=k
i i q i G j G 失为，k j i ,,2,1, =。

)|(i j C 设个总体k G G G ,,,21 相应的维样本空间为 。

k p ),,,(21k R R R R =
在规则下，将属于i G 的样品错判为的概率为
R j G x x d f R i j P j
R i )(),|(⎰=j
i k
j i ≠=,,2,1, 则这种判别规则下样品错判后所造成的平均损失为
∑==k
j R i j P i j C R i r 1)],|()|([)|(k
i ,,2,1 =则用规则来进行判别所造成的总平均损失为
R ∑==k
i i R i r q R g 1)
,()(
∑∑===k i k
j i R i j P i j C q 1
1
),|()|(贝叶斯判别法则，就是要选择一种划分k R R R ,,,21 ，使总平均损失
达到极小。

)(R g 基本方法：∑∑===k i k
j i R i j P i j C q R g 1
1
)
,|()|()(x
x d f i j C q k i k
j R i i j
∑∑⎰===1
1
)()|(∑⎰∑===k j R k
i i i j
d f i j C q 1
1
))()|((x
x 令1
(|)()()k i i j i q C j i f h ==∑x x ，则 ∑⎰==k
j R j j
d h R g 1
)()(x
x 若有另一划分，),,,(**2
*1
*
k
R R R R =∑⎰==k
j R j j
d h R g 1
*
*)()(x
x 则在两种划分下的总平均损失之差为
∑∑⎰
==⋂-=-k
i k
j R R j i j
i d h h R g R g 11*
*)]()([)()(x x x
因为在上对一切成立，故上式小于或等于零，是贝叶i R )()(x x j i h h ≤j 斯判别的解。

从而得到的划分为
),,,(21k R R R R =1{|()min ()}
i i j j k
R h h ≤≤==x x x 。

k i ,,2,1 =6．已知：P(ω1)=0.005，P(ω2)=0.995，
p(x=阳|ω1)=0.95，p(x=阴|ω1)=0.95，p(x=阳|ω2)=0.01，p(x=阴|ω2)=0.99试计算判断阙值。

解：利用贝叶斯公式，有：
323
.0995
.001.0005.095.0005
.095.0)()|()()|()
()|()
()
()|()|(221111111=⨯+⨯⨯=
=+===
===
=ωωωωωωωωωP x p P x p P x p x p P x p x P 阳阳阳阳阳阳似然比：95
0.010.95
)|p(x )|p(x 2112=====
ωω阳阳l 判决阈值：1970.005
0.995
)P()P(1221===
ωωθ。