湘教版高中数学必修第二册课后习题 第4章 立体几何初步 4.2 平面

4.2 平面
A级必备知识基础练
1.圆心和圆上任意两点可确定的平面有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.1个或无数个
A.如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合
B.若四点不共面,则其中任意三点不共线
C.空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内
D.三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,下列说法正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l⊄α,A∈l,则A∉α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则
AB∩β=.
5.下列说法不正确的是.(填序号)
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面.
6.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D 三点的位置关系是.
7.如图所示,△ABC在平面α外,它的三边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点在同一直线上.
8.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l;
(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.
B级关键能力提升练
9.(多选题)[江苏新吴校级月考]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分
别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则( )
A.A,C,O 1,D 1四点共面
B.D,E,G,F 四点共面
C.A,E,F,D 1四点共面
D.G,E,O 1,O 2四点共面
10.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有( ) A.1条或2条 B.2条或3条 C.1条或3条 D.1条或2条或3条
11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别是棱DD 1和BB 1上的点,MD=1
3
DD 1,NB=1
3
BB 1,那么正方体中过M,N,C 1的截面图形是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
12.如图所示的正方体,P,Q,M,N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 .(填序号)
13.如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
C级学科素养创新练
14.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且
AB⊂α,CD⊂β.求证:直线AB,CD,l共点.
4.2 平面
1.D 若圆心和圆上两点共线,则可确定无数个平面;若三点不共线,则确定一个平面.
故选B.
3.ABD 由关于平面的基本事实易知选项A,B,D正确;
若l⊄α,A∈l,则A∈α或A∉α,可知C不正确.故选ABD.
4.C 因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB.又因为C∈l,l⊂β,所以C ∈β,所以AB∩β=C.
5.②③三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①正确.
6.共线如图,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则
α∩β=直线CD.
∵l∩α=O,∴O∈α.
又O ∈AB,AB ⊂β,∴O ∈β,∴O ∈直线CD,∴O,C,D 三点共线.
7.证明因为AB∩α=P,AB ⊂平面ABC,则P ∈平面ABC,P ∈α,故点P 在平面ABC 与平面α的交线上.同理,点Q,R 均在平面ABC 与平面α的交线上,所以P,Q,R 三点共线.
8.解(1)延长DM 交D 1A 1的延长线于点E,连接NE,则直线NE 即直线l.
(2)∵M 为AA 1的中点,AD ∥ED 1, ∴AD=A 1E=A 1D 1=a. 又A 1P ∥D 1N,且D 1N=1
2a,
∴A 1P=12
D 1N=1
4
a.
于是PB 1=A 1B 1-A 1P=a-14
a=3
4
a.
9.ACD 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E,F,G 分别为棱BC,C 1C,B 1C 1的中点,O 1,O 2分别为四边形ADD 1A 1,四边形A 1B 1C 1D 1的中心.对于A,由题可知O 1是AD 1的中点,所以O 1是在平面ACD 1内,故A,C,O 1,D 1四点共面,故A 正确; 对于B,因为E,G,F 在平面BCC 1B 1内,D 不在平面BCC 1B 1内,所以D,E,G,F 不共面,故B 错误;
对于C,由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面,故C正确;
对于D,连接GO2并延长,交A1D1于点H(图略),则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面,故D正确.
故选ACD.
10.D 当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;
当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;
当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.
11.C 设直线C1M,CD相交于点E,直线C1N,CB相交于点F,连接EF交直线AD于点P,交直线AB于点Q,则五边形C1MPQN为所求截面图形.
12.①③图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确;分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面;②④中四点均不共面.
13.证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.
因为PQ⊂平面PQR,所以M∈平面PQR.
又因为M∈直线CB,CB⊂平面BCD,所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.
同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线. 14.证明如图,梯形ABCD中,因为AD∥BC,
所以AB与CD必交于一点.
设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD.
又因为AB⊂α,C D⊂β,所以M∈α,M∈β.
又因为α∩β=l,所以M∈l,故直线AB,CD,l共点.。