双流中学2017-2018学年高二数学4月月考试题理

2018年春期四川省双流中学高二年级四月月考
数学（理科）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数=( ）
A ．i
B ．i +1
C ．i -
D ．i -1
2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为(
）
A ．（2,)
B ．(2,)
C ．（2，
) D ．（2，
）
3．化极坐标方程02cos 2
=-ρθρ为直角坐标方程为（ ）
A ．x 2+y 2=0或y=2
B ．x=2
C ．x 2+y 2=0或x=2
D ．y=2
4。

函数f （x )＝ln （4＋3x －x 2）的单调递减区间是( ）
A.⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-23, B.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,2
3 C 。

⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-23,1 D 。

⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡4,2
3
5。

点(1,2-a a ）在圆2
2240x
y y +--=的内部,则a 的取值范围（ )
A ．－1〈a <1
B ． 0〈a <1
C ．–1〈a 〈5
1 D ．－
5
1
〈a 〈1 6．f （x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且f （2）＝0，则方程f （x )＝0在区间（0,6）内解的个数至少是( ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 7。

直线y x b =+与抛物线2
2x
y =交于A 、B 两点,O 为坐标原点，且OA OB ⊥,
则b =（ ）
.2A
.2B -
.1C
.1D -
8。

若直线l 过点(3,0)与双曲线2
24936x y -=只有一个公共点，则这样的直
线有( ）
A 。

1条 B.2条 C.3条 D 。

4条
9.若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线2
21x y -=总有公共点，则b 的
取值范围是（ ）
A.
(
B.⎡⎣
C 。

(2,2)- D.[]2,2-
10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323
π，那么这个三棱柱的体积是（ )
A.
B. C 。

D 。

11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2）2＋(y －3）2＝4相交于M ，N 两点，
若|MN |≥2错误!，则k 的取值范围是（ ）
A ．错误!
B ．错误!
C ．[－错误!,错误!]
D ．错误!
12．过点M （2，－2p ）作抛物线x 2＝2py （p ＞0）的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是（ ）．
A ．1
B 。

2 C.1或2 D 。

—1或2
第Ⅱ卷（90分）
二。

填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分） 13。

动圆过点
1,0
，且与直线1
x
相切，则动圆的圆心的轨迹方程为
____________。

14.函数x
x x f 2ln )(+=在1=x 处的切线方程为____________。

15。

已知函数()3
2f x x ax bx c =+++在2
3
x =-
与1x =时都取得极值,若对[]1,2x ∈-，不等式()2
f x c
<
恒成立,则c 的取值范围为______。

16.已知函数x x x
x f 3sin 2
1
)(3
+-=，对于任意R x ∈都有0)2()3(2≤-++-k x f x x f 恒成立，则k 的取值范围是 。

三。

解答题(本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)
已知函数f （x )＝e x （ax ＋b ）－x 2－4x ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f (0））处的切线方程为y ＝4x ＋4．
（Ⅰ)求a ,b 的值; (Ⅱ）讨论f (x ）的单调性． 18．（本小题满分12分）
某校进行文科、理科数学成绩对比,某次考试后，各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下。

理科
文科
（Ⅰ）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；
（Ⅱ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90％的把握认为数学成绩与文理科有关:
（Ⅲ）设文理科数学成绩相互独立，记A 表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于120分”,估计A 的概率.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19。

(本题满分12分)
已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g （x ）＝x ＋错误! （x >0）． （Ⅰ）若g （x ）＝m 有实根，求m 的取值范围；
（Ⅱ）确定m 的取值范围，使得g （x ）－f （x ）＝0有两个相异实根.
20。

（本题满分12分)
设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上,过M
作x 轴的垂线，
垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；
(Ⅱ）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。

证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l
过C 的左焦点F 。

21。

已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.
(Ⅰ）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (Ⅱ）当*
n N ∈时，证明:
223ln 2ln 242n n <++21ln 1
n n
n n ++⋅⋅⋅+<+。

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4—4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C
的参数方程为2sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩，其中α为参
数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P
的极坐标为)4π,直线l
的极坐标方程为sin()04
π
ρθ-+=。

(Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点,M 为线段PQ 的中点。

求点M 到直线l 的距离的最大值。

23.选修4—5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-。

（Ⅰ)解不等式()3f x ≥；
（Ⅱ)记函数()f x 的最小值为m ,若a ，b ,c 均为正实数,且122
a b c m ++=，求
222a b c ++的最小值。

2018年春期四川省双流中学高二年级四月月考
数学（理科）答案
1—6 ABCDDB 7—12 ACBDBC 13.x y
42
=; 14。

03=-+y x ； 15. 16。

[)+∞,2
17。

解:(1)f ′（x ）＝e x (ax ＋a ＋b ）－2x －4，
由已知得f （0）＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8． 从而a ＝4，b ＝4．
(2) 由(1）知,f （x )＝4e x （x ＋1)－x 2
－4x ,
f ′(x ）＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2）·1e
2x
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
．
令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2．
当x ∈（－∞，－2）∪(－ln 2,＋∞）时，f ′（x ）＞0;当x ∈（－2,－ln 2）时，f ′（x )＜0．
故f （x ）在 （－∞,－2），（－ln 2,＋∞）上单调递增，在（－2，－ln 2)上单调递减．
18.解：(Ⅰ）理科数学成绩的频率分布表中,成绩小于105分的频率为0.35<0。

5,
成绩小于120分的频率为0。

75〉0.5， 故理科数学成绩的中位数的估计值为
15(0.50.35)
105110.625
0.40
⨯-+
=分．
（Ⅱ）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：
数学成绩120≥分
数学成绩<120分
合计 理科
25
75
100
2200(257100100K ⨯⨯=
⨯⨯
， 故没
有90%的把握认为数学成绩与文理科有关．
(Ⅲ）记B 表示“文科数学成绩大于等于120分”，C 表示“理科数学成绩大于等于120分",
由于文理科数学成绩相互独立， 所以A 的概率()()()
()0.220.250.055
P A P BC P B P C ===⨯=．
19。

（ 本小题满分12分)解 （1）∵g （x ）＝x ＋错误!≥2错误!＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e 。

故g （x ）的值域是[2e ，＋∞），
因而只需m ≥2e ，则g （x ）＝m 就有实根．
(2）若g （x ）－f （x )＝0有两个相异的实根,即g (x )＝f （x ）中函数g （x ）与f （x )的图象有两个不同的交点，作出g （x )＝x ＋错误! （x >0)的图象．
∵f (x ）＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－（x －e ）2＋m －1＋e 2。

其对称轴为x ＝e,开口向下，最大值为m －1＋e 2。

故当m －1＋e 2>2e,即m 〉－e 2＋2e ＋1时，
g （x )与f （x ）有两个交点，即g (x )－f (x ）＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是（－e 2＋2e ＋1,＋∞）． 20。

解:（1)设，
，则
由得
因为
在上,所以
. 因此点的轨迹方程为
文科 22 78 100 合计
47
153
200
（2）由题意知 设
，则
,
由得
又由(1）知，故
所以
，即。

又过点存在唯一直线垂直于，
所以过点且垂直于
的直线过的左焦点。

21.解：（1)由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥(0)x >. 整理，得1ln a x x
-≤+恒成立，即min
1(ln )a x x
-≤+。

令1()ln F x x x
=+。

则2
2
11
1
'()x F x x
x x -=-=。

∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增。

∴函数1()ln F x x x
=+的最小值为(1)1F =.
∴1a -≤，即1a ≥-.
∴a 的取值范围是[1,)-+∞. （2）∵24n n +为数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和,1n n +为数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和。

∴只需证明
211ln (1)(2)n n n n +<++1
(1)
n n <+即可。

由（1），当1a =-时,有ln 10x x x -+≥，即1ln x x x
≥-.
令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+11
n =+。

∴2
211ln
()1n n n +>+1
(1)(2)n n >++1112
n n =-++。

现证明2
11
ln (1)
n n n n +<
+，
即<
=
=(*) 现证明12ln (1)x x x x
<->。

构造函数1()2ln G x x x x
=--(1)x ≥，
则212'()1G x x x =+-22
21
0x x x -+=
≥. ∴函数()G x 在[1,)-+∞上是增函数,即()(1)0G x G ≥=。

∴当1x >时,有()0G x >,即12ln x x x
<-成立。

令x =
(*)式成立。

综上，得211ln (1)(2)n n n n +<++1
(1)
n n <+。

对数列1
(1)(2)n n ⎧⎫⎨
⎬++⎩⎭,21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
分别求前n 项和,得
223ln 2ln 242n n <++21ln 1
n n
n n ++⋅⋅⋅+<+。

22.解:(1)∵直线l
的极坐标方程为sin()04
πρθ-+=,即sin cos 100ρθρθ-+=。

由cos x ρθ=,sin y ρθ=，可得直线l 的直角坐标方程为100x y --=。

将曲线C
的参数方程2sin x y αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩消去参数α,得曲线C 的普通方程为
22
1(0)124
x y y +=>. （2
）设,2sin )Q αα(0)απ<<。

点P
的极坐标)4
π
化为直角坐标为(4,4)。

学必求其心得，业必贵于专精
11
则2,sin 2)M αα++。

∴点M 到直线l
的距离d
=
=≤ 当sin()13π
α-=，即56π
α=时，等号成立.
∴点M 到直线l
的距离的最大值为。

23。

解：(1）()211f x x x =++-1
3,2
12,12
3,1
x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪
⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩。

∴()3f x ≥等价于1233x x ⎧
≤-⎪⎨⎪-≥⎩或1
1223x x ⎧
-<<⎪⎨⎪+≥⎩或1
33x x ≥⎧⎨≥⎩。

解得1x ≤-或1x ≥。

∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞.
（2）由（1)，可知当1
2x =-时，()f x 取最小值3
2，即3
2m =。

∴1
3
222a b c ++=. 由柯西不等式，有2222221()[()12]2a b c ++++2
1(2)2a b c ≥++. ∴2223
7a b c ++≥。

当且仅当22c
a b ==，即1
7a =，2
7b =，4
7c =时，等号成立。

∴222a b c ++的最小值为3
7.。