提升数学复习课有效性的教学探究

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基础教育论坛
J I C H U J I A O Y U L U N T A N 2018年第2期（总第259期）
№2，2018 General，№259
生命气息，欣赏美丽的自然风景，各异的植物，可爱的动物，富有生活气息的场景等。

在教学中，教师可以先从简单的事物、场景入手。

如，从描绘叶子、树木等风景入手，然后再引导学生写生校园里的电瓶车、建筑等。

总之，开发、利用各种写生资源对于美术写生教学的作用是巨大的，它以自己独特的优势帮助学生走进美术的世界，进行艺术和灵魂的熏陶。

这些都是易于准备、离学生生活很近的物品。

学生对于这类实物写生的兴趣往往是非常浓厚的，他们可以通过近距离的观察、描绘物体，激发对写生课的兴趣。

学生盆栽写生作品
2.课外校园写生。

遇到好天气，可以带领学生走出教室，指导学生画校园的风光，课间活动场景，花
园里的小草、小花、小昆虫等，引导学生体验万物的
提升数学复习课有效性的教学探究
杨海江
（浙江省杭州绿城育华学校）
摘 要：数学学习中，学生在课堂教学中学习了新知识，但在实际解决数学问题时并没有很好地落实到位；改变一下数学问题情境，很多学生便疑惑丛生，难以灵活应用所学知识及方法解决数学问题；逐渐累积，学生探究数学问题的积极性、主动性就会减弱，数学能力的发展也会受到制约。

因此，如何提高复习课教学的有效性？让学生在复习的过程中突破先前理解知识和运用知识的瓶颈，进而掌握数学思想方法，形成数学能力，成为了一个十分重要的课题。

关键词：数学复习；问题预设；立意探究；思维碰撞；迁移衍生
问题预设
在近年的教学实践中，笔者以探究数学知识的四环教学法
发生、发展为主线，围绕数学复习课立意的生成、发展、升华来设计教学过程，形成了“问题预设—一、问题预设，生成立意
立意探究—思维碰撞—迁移衍生”的四环教学法（见下图），取得了良好的效果。

以一节高三数学“解三角形复习课”教学为例。

通过问题导向，以高中数学基本概念、定义、定理、公式等知识的应用与衍生变化为载体，引导学生自主解决问题，分析考点，发现重难点。

教师适时的穿针引线，激发学生思维，活跃课堂氛。

在
这一过程中，使学生获得知识体系为支持的批判性、创造性的思维能力，从而使学生进入“知识的
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本质”的思考与讨论。

问题的有效思考。

课堂片断一 ：生1：如图2，过点 C 作 CE ⊥AB ，垂足为 E ，设BE = x ，则 AE = 4 - x 课前5分钟小测：
所以 EC = AC - AE = BC - BE 1.在 ABC 中，已知 即：4 -( 4 -x ) = 2 - x ，
求 b 及 A 。

所以2.在 ABC 中，其三边分别为 a 、b 、c ，且三角形
可以得到 DE = ，EC
的面积 ，求角C 。

分析：通过测试导入，激发学生热情，梳理所DC 学公式，温顾内化，为本节课的解三角形做好基础所以 知识铺垫,让学生从熟悉的情境入手,生成课堂教学立意。

也可以理解为：
二、立意探究，活跃思维
分析：生1利用初中边角关系及面积公式即可求著名课程理论专家塔巴（H .T aba ）认为“教育得 BDC 的面积，学生能从最基本的方法出发，发基本上是一个演进过程。

而且，它是渐进生长的，现简单有效的解法，而对于求 cos ∠BDC ，则有常见它扎根于过去而又指向未来……”。

学生在数学复的三种求法：
习课上，不仅仅是对以往所学知识的回顾，更重要生2:的是能够在生成认知的基础上去发现解决新问题的方法。

当学生正在进行与自已目标相关联的学习过程时，他们会越来越深入地探究既存的知识。

随着问题的解决与兴趣的满足，他们就会产生新的问题、新的价值感和新的对问题结果的预设，如果这个过程能在数学课上经常性发生，那必然将促进学生的终生学习。

例 已知 ABC ，AB = AC = 4，BC = 2.点 D 为 AB 延长线上一点，BD = 2，连结 CD ，则
BDC 的面积是 ， =
分析：此题为2017年浙江省高考数学第14题，它有机地把初中、高中数学知识融为一体，如利用初中的面积公式、相似三角形；高中的二倍角公式、正弦定理、余弦定理、面积公式等知识，给学生提供了解决问题的多样化路径。

著名数学教育家弗赖登塔尔认为，数学教学应讲授从丰富的现实情境中抽象出这些结构的数学发现过程。

此题正好印证此点：数学图形与代数运算有机的结合在一起，增强学生运用数学的意识。

这道题目立意基础，将解三角形问题有机地融入平面三角形的边、角关系中，使学生熟悉，感到亲切。

学生能够容易找到突破口，形成对解决三角形
， ，B =60°，。

，。

生3:生4:生5: 如图3，过点 D 作 DM //BC 交 AC 延长线于M ，过点 A 作 AF ⊥DM 交 BC 于 E 由题意可知：
AE = ， ABC ～ ADM 所以所以如图4，设∠ABC = ，则∠DBC = -
，设 ∠BDC =α，则 = α因为 所以分析：让学生用联系与发展的观点把相关数学
知识与数学思想方法有机的进行整合提炼，形成纵横交错的知识网络，优化学生思维品质，提升学生分析解决问题的能力。

q p q q 22224
a b c S +-= 2 3=a 62=+c cos BDC Ð2
2
2
2
2
2
2
2
2
12x =52。

112222 2。

BDC S BD EC D ==××=A
E B
D
C
图2
11112222 2。

BDC ABC
S S AB EC D D ==××==cos cos 4 。

DE BDC EDC CD Ð=Ð==222cos 2 4 。

BD CD BC BDC BD CD +-Ð
==×× 4 。

222
cos cos 2AD CD AC BDC ADC AD CD +-Ð=Ð==××AE AB AB AE AF AD BD EF =Þ=Þ2。

EF =112222 2 。

BDC
S BC EF D ==××=A
B
E C D F
M
图3
21cos 2cos 4
q a ==-cos cos 。

BDC Ð=A B C D 图4
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分析：学生通过对2017年浙江省高考数学第生6：如图 5 ，所示建立平面直角坐标系：则A
14题的解答，就可以得到此题的结果，但此题与高
B （-1，0），
C （1，0），
D 考题相比，又有了一些小变化：
1.增加了计算的难度
因为 A ，B ，
D 三点共线生8：求CD 边长时，如果选用余弦定理：
所以所以所以分析：将解三角形与平面向量结合起来，将代数
2.增加了正弦定理的应用
计算与解析几何相联系，体现数形结合思想。

思维生9：同样，如果得用二倍角公式仍可得到：
导图如图6：
再由正弦定理可得：
所以分析：学生能将解三角形的公式、方法有机地结
合在一起，能从熟悉的情景出现，生成想法和解法，领悟核心知识，并能灵活应用解决实际问题。

课堂引导学生发散思维，层层递进的发现方法，学生自主探究，分享认知，让知识点的内含与外促进学生探究知识时有效的吸收、领悟、内化解题延都不断的呈现，潜移默化地发展学生认知水平，规律，并生成新的问题生成点，推动自主探究反提高学生分析问题的能力，创设不同的情境，探思。

一旦学生主动课堂思考，就会以更活跃的思维究、思辨、感悟、评价、创造。

生成宽广的视野，用最新的观点去思考解决数学问题，让数学课变成源头活水——源远流长。

三、思维碰撞，举一反三
通过适当的变式，让学生在条件变换下体验四、衍生迁移，复习收效最大化
“变”与“不变”，即变的是情境（条件）不变的是方法（或思想），学生认知能力的提升，就可以通过数学复习课上知识点的不断挖掘、渗透，巩对题目进行适当的变换，内化为能力，这是经验的固方法、内化能力，找到解三解形的通法，厘清不积累过程，而经验的积累是人的认识的基本规律。

同知识之间的逻辑联系，发现规律，产生有效的联学生在思考、探究、解决数学问题时离不开经验的想，进而通过反思，比较，迁移，促进学生最近思积累，这种经验又作用于数学课堂探究，只有在探维发展区，深度理解。

数学复习课的效果显著与否究的过程中表现出来创造的快乐和发现的兴奋感，关键在于构建知识结构，而数学知识的基本构建是才能更多的“再创造”和“再发现”。

由知识之间的联系所联结而成的知识整体，数学思生7：如图7，已知 ABC ，AB = AC = 4，BC = 2. 想方法是穿插于其中的纽带。

点D 为 AB 反向延长线上一点，AD = 2，连结 CD ，教学片段二：
如图8，在平面四边形 ABCD 中，AD = 1，CD =
则 BDC 的面积是 ，cos ∠BDC = ，。

0y
32-（ ， ）01（1，，（，）。

2
AB BD y =-u u u r 011（（）2
y -×-0y 0112222 2。

BDC S BC y D ==××=1
sin ，cos 4 4 。

B B ==
2
222cos 34，，
CD BC BD BD BC B CD =
+-×××=222cos 268 。

AD DC AC BDC AD DC +-Ð==××
sin sin 22sin cos 8。

DAC B B B Ð===4sin BDC Þ
sin ，BDC cos 。

BDC A
B
C D
图7坐标法三角形
正弦定理共线向量
余弦定理
向量夹角面积公式
向量垂直
平面向量
边长与横长
解析几何方法
图6
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2，AC
= .（1）求 cos ∠CAD 当点 A ，点 D 与点 E 重合，
∠BAD BC 的长所以通过前面认知过程分析，此题有机地把解三角形
当学生的学习能力得到提升并内化为思想、方法与三角恒等变换相结合，厘清题意，结合图形进行时，逐步形成发现数与数、数与形、形与形之间的角的变换。

同时也有初高中知识的结合，对图形进内在联系的能力，进而能通过不同的路径去分析问行适当的分割或补充都可以解决问题，认知方法，题，梳理出已知量与未知量的千丝万缕的联系，有
助于深化课堂教学立意，课堂学习效率得到最大提升。

题目的选取源于教材，又略高于教材，学生认知最基础和最重要的定义、定理、公式、方法等，宏观整合知识结构，渗透数学思想方法。

提升数学复习课的有效性，必然会促进数学能力的发展与数学
基本素养的提高。

参考文献
[1] 林婷，姚友升.预设与生成的和谐统一[J].中学数学教育（高中版），2016（1/2）：13-17.
教学片段三：
[2] 张彭飞.解题教学：从易到难，逐步突破[J].中（2015年新课程全国Ⅰ卷·理16）在平面四边形学数学教育（高中版），2016（1/2）：18-21.
ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 75°，BC = 2 ，则 AB [3] 张华.《课程与教学论》[M].上海教育出版的取值范围是 =
生10：利用正弦定理转化可得：设 ∠BDC 社,2008.
α，在 B CD 中， ; 在 ABD 中，
，联立两个等式可得：
所以生11：用方程的思想去解决此题：延长 BA，CD 交于点 E. 如图10：∠EAD =105°，∠ADE =45°，；在 AED 中，设 AD = x （0＜x ＜2），由正弦定
理得： 在等腰 BEC 中，BC BE ·sin15°=1，
即所以生12：如图11，利用极限求值的思想，由已知条件可知，当线段 AD 平行移动到两个极限位置（点 D 分别与点 C ，E 重合）时就可得到：
当点 D 与点 C 重合，。

=sin CBA A
B C D
图8
2
sin75° sin BD a =BD AB =sin75° sin(135)°a -2sin(135°)sin AB a a
-==cos 1)(30°105°
) 。

sin a a a +<<A
B C
D 图10
E AB ∠AED =30°sin30° sin45°
x AF
=AF 1(02) 。

sin15°
AB BE AE x =
-=＜＜AB 2sin30sin75° °AB =Þ2sin30°。

sin75
AB ==1。

cos75°
AB ==AB A
B
C
D 图11
E
7。