上海市吴淞中学2010-2011学年高一下学期期中考试(数学)

2010-2011学年度第二学期吴淞中学高一数学期中试卷
一、填空题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．终边在x 轴上的角的集合_______________ 2． 32x
=的解x=________________
3．若3
log 14
a
<，则a 的取值范围是 4．化简cos 20cos(20)sin 200sin(20)αα-+-，得其结果为 5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为 cm 2 6. 用列举法写出集合
{|A y y ==
=
7. 已知324sin -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-απ，24παπ<<，则αsin = ．
8. 若2sin()3αβ+=
，1
sin()5
αβ-=，则tan tan αβ= ．
9．若函数212
(2)y log x ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．
10．在AB C ∆中，若2
cos
sin sin 2
A
C B =，则ABC ∆的形状是 三角形． 11．ABC ∆中，0
60=A ，1=b ，,3=∆ABC S 则=++++C
B A c b a sin sin sin ．
12．阅读材料：某同学求解sin18的值其过程为：设18α=，则590α=，从而
3902αα=-，于是cos3cos(902)αα=-，即cos3sin 2αα=，展开得34cos 3cos 2sin cos αααα-=，cos cos180α=≠，∴ 24cos 32sin αα-=，化简，
得2
4sin 2sin 10αα+-=，解得sin
α=
，sin sin18(01)α=∈，，
∴sin α=
（sin 0α=<舍去），即sin18=．
试完成以下填空：设函数13)(3
+-=x ax x f 对任意[]11x ∈-，都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ．
二、选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分) 13．“
4
π
α=
”是“2
2
sin =α”的…………………………………………………（ ） (A) 充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D)既非充分也非必要条件
14.下列选项中，错误的是…………………………………………………………（ ）
（A ）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位； （B ）一度的角是周角的
1360
，一弧度的角是周角的12π；
（C ）根据弧度的定义，180度一定等于π弧度；
（D ）不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关．
15．已知,,a b c 依次为方程220,log 2x x x +==和12
log x x =的实数根,则,,a b c 之间的大小关系
是………………………………………………………………………… ( ) . (A) b a c >> (B) c b a >> (C) a b c >> (D) b c a >> 16．函数π
πlg cos 2
2y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是…………………………… （ ）
三、解答题(本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 3lg 23lg 40x x -+= ]
18. 证明：1sin cos tan 1sin cos 2
ααα
αα+-=++
y
x π
2
- π2
O
y
x π2
- π2
O
y
x π2-
π2
O
y
x
π2-
π2
O
A ．
B ．
C ．
D ．
19．已知),2
(
ππ
α∈，且sin
cos
2
2
α
α
+=
. （1）求αcos 的值； （2）若5
3)sin(-=+βα，)2
,0(π
β∈，求βsin 的值.
解：
20．已知函数)(22
)(1
R x a a x f x x ∈+⋅=--为常数，为偶函数.
（1）求a 的值；并用定义证明)(x f 在),0[+∞上单调递增； （2）解不等式：)1(log )1log 2(+>-x f x f a a .
21． (本题满分12分) 对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数
()()()1
1
f g f g f g
f x
g x x D x D
h x x D x D x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪-∉∈⎩当且当且当且． （1）若()sin cos f ααα=⋅，()csc g αα=，写出()h α的解析式； （2）写出问题（1）中()h α的取值范围；
（3）若()()g x f x α=+，其中α是常数，且[]0,απ∈，请设计一个定义域为R 的函数
()y f x =，及一个α的值，使得()cos 4h x x =，并予以证明．。