高一数学人教A版必修1优化训练：2.2.2对数函数及其性质

2.2.2 对数函数及其性质
5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)
1．函数2
()lg(21)
f x x =
++的定义域是( )． A ．1(,)2-+∞ B ．1
(,1)2-
C ．11(,)22-
D ．1(,)2
-∞-
2．如图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 43，35，1
10
，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )．
A 43，35，110
B ，43，1
10，35
C ．4335，110
D ．431
10，35
3．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )．
4．函数y ＝1＋log 2x (x ≥4)的值域是( )． A ．[2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，＋∞) 10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)
1.函数f(x)=x
x -132
+lg(3x+1)的定义域是( )
A.(-
31,+∞) B.(- 31,1) C.(- 31,31) D.(-∞,- 3
1) 思路解析：要使函数有意义，则⎩⎨
⎧>+>-,
013,01x x 解得-31
<x<1.
答案：B
2.若函数f （x ）= log a x （0<a<1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.
42 B. 22 C. 41
D. 2
1 思路解析：本题关键是利用f （x ）的单调性确定f （x ）在［a ，2a ］上的最大值与最小值.f （x ）= log a x （0<a<1）在（0，+∞）上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f （x ）max =f （a ）=1，f （x ）min =f （2a ）= log a 2a.根据题意，3 log a 2a=1，即log a 2a=
31，所以log a 2+1=3
1
，即log a 2=-3
2.故由3
2
-a =2得a=32
2-42=.
答案：A
3.右图是对数函数y= log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，10
1时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )
A.3,
34, 53,101 B. 3, 34,101, 5
3 C. 34,3 , 53,101 D. 34,3 , 101, 5
3
思路解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A
4.比较大小：
（1）log 0.27和log 0.29； （2）log 35和log 65； （3）（lgm ）1.9和（lgm ）2.1（m ＞1）； （4）log 85和lg4. 思路解析：本题大小比较代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合
运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择.
（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x 当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考察函数y= log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.
（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1.若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1.若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9=（lgm ）2.1.
（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4.
答案：（1）log 0.27＞log 0.29.（2）log 35＞log 65.（3）m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;m=10时，lgm=1，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1.（4）log 85＞lg4. 5.已知函数y=lg （x x -+12），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 思路解析：注意到12+x +x=
x
x -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），
从而f （-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x ∈R ，即定义域为R. 又f （-x ）=lg ［1)(2
+-x -（-x ）］=lg （12+x +x ）=lg
x
x -+112
=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ）=-f （x ）, ∴y=lg （12+x -x ）是奇函数.
任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则
12
1+x ＜
12
2+x ⇒
12
1+x +x 1＜
12
2+x +x 2⇒
1
2
111x x ++>
2
2
211x x ++，即有12
1+x -x 1＞12
2+x -x 2＞0，∴lg
（12
1+x -x 1）＞lg （12
2+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f （x ）在（0，+∞）上为
减函数.又f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数. 6.作出下列函数的图象：
（1）y=|log 4x|-1；（2）y=3
1log |x+1|.
思路解析：（1）y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到：将函数y=log 4x
的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去，得到y=|log 4x|的图象，再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log 4x|-1的图象.
（2）y=3
1log |x+1|的图象可以看成由y=3
1log x 的图象经过变换而得到：将函数y=3
1log x
的图象作出右边部分关于y 轴的对称图象，即得到函数y=3
1log |x|的图象，再将所得图象向
左平移一个单位，就得到所求的函数y=3
1log |x+1|的图象.
解：函数（1）的图象作法如图①～③所示.函数（2）的图象作法如图④～⑥所示.
7.函数y=lg|x|( )
A.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增
B.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减
C.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增
D.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减 思路解析：画出函数y=lg|x|的草图即得答案.在画函数y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于y 轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表.
答案：B
8.已知f （x ）=1+log x 3，g （x ）=2log x 2，试比较f （x ）与g （x ）的大小. 思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f （x ）与g （x ）的正负不确定，所以采取作差比较法.
解：f （x ）和g （x ）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞）.f （x ）-g （x ）
=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x 4
3x. （1）当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 4
3
x ＞0，即0＜x ＜1时，f （x ）＞g （x ）；
（2）当x ＞1时，若
43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞3
4
时，f （x ）＞g （x ）； 若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=3
4
时，f （x ）=g （x ）； 若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜3
4
时，f （x ）＜g （x ）.
综上所述，当x ∈（0，1）∪（3
4
，+∞）时，f （x ）＞g （x ）；
当x=3
4
时，f （x ）=g （x ）；
当x ∈（1，3
4
）时，f （x ）＜g （x ）.
快乐时光 七个男人和一个女人
朋友闲来无事，到街上遛达，看到有一录像点高挂着牌子，写着：今晚精彩录像——《七个男人与一个女人的故事》，莫失良机.朋友好奇心发作，买票进场.待人坐齐以后，开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名《八仙过海》. 30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)
1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y= log a x 的图象是( )
思路解析：首先把y=a -x 化为y=（
a 1）x ，∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=（a
1
）x ，即y=a -x 的图象是下降的，y= log a x 的图象是上升的.
答案：A
2.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=lgx.设a=f(
56),b=f(2
3),c=f(25
),则( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 思路解析：由题意，a=f(56)=f(-54)=-f(54)=-lg 54=lg 45,b=f(23)=f(-21)=-f(21)=-lg 2
1
=lg2, c=f(
25)=f(21)=lg 2
1
,由于f(x)=lgx 在实数范围内为增函数，所以有c<a<b. 答案：D
3.已知函数f （x ）=lg （x 2-3x+2）的定义域为F ，函数g （x ）=lg （x-1）+lg （x-2）的定义域
为G ，那么( ) A.G
F B.G=F C.F ⊆
G D.F ∩G=∅
思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F. 答案：A
4.已知函数f （x ）=log 2（x 2-ax+3a ）在［2，+∞］上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.（-∞，4） B.（-4，4] C.（-∞，-4）∪［2，+∞) D.［-4，4)
思路解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=
2
a
. 由题意有⎪⎩⎪
⎨⎧≤>+-=.22
,0324)2(a a a u
解得-4<a ≤4.
答案：B 5.函数y=log 2
1
-x x
(x>1)的反函数是( ) A.y=122-x x (x>0) B.y=122-x x
(x<0)
C.y=x x 212- (x>0)
D.y=x
x 212- (x<0)
思路解析：求函数时一定不要忘记求反函数的定义域，也就是原函数的值域.原函数值域为
y>0,由于y=log 21-x x (x>1)=log 21-x x =log 2(1+11-x ),所以1+11-x =2y
,x=1
21-y +1=122-y y .
将x,y 对调，可得反函数为y=1
22-x x
(x>0).
答案：A
6.已知函数f （x ）=log a
b
x b
x -+（a ＞1且b ＞0）. （1）求f （x ）的定义域； （2）判断函数的奇偶性；
（3）判断f （x ）的单调性，并用定义证明.
思路解析：本题考查定义域、单调性的求法及判断方法，注意要利用定义求解.
解：（1）由⎪⎩⎪
⎨⎧≠->-+,
0,0b x b x b
x 解得x ＜-b 或x ＞b.
∴函数f （x ）的定义域为（-∞，-b ）∪（b ，+∞）. （2）由于f （-x ）= log a （
b x b x --+-）= log a （b x b x +-）= log a （b x b x -+）-1=- log a （b
x b
x -+）=-f
（x ），所以f （x ）为奇函数.
（3）设x 1、x 2是区间（b ，+∞）上任意两个值，且x 1＜x 2.
则b x b x -+22-b x b x -+11=)
)(()(2))(()(1221122121221212b x b x x x b b x b x b bx bx x x b bx bx x x ---=----+--+-. ∵b ＞0，x 1-x 2＜0，x 2-b ＞0，x 1-b ＞0， ∴
b x b x -+22-b x b
x -+11＜0.
∴
b x b x -+22＜b
x b
x -+11. 又a ＞1时，函数y= log a x 是增函数， ∴log a
b x b x -+22＜log a b
x b
x -+11，即f （x 2）＜f （x 1）. ∴函数f （x ）在区间（b ，+∞）上是减函数.同理，可证f （x ）在（-∞，-b ）上也是减函数. 7.已知f （x ）=log a
x
x
-+11（a>0且a ≠1）. （1）求函数的定义域； （2）讨论函数的单调性；
（3）求使f （x ）>0的x 的取值范围. 解：（1）由
x
x
-+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为（-1，1）. （2）对任意-1<x 1<x 2<1，
1111x x -+-2211x x -+=)1)(1()(22121x x x x ---<0，∴1111x x -+<2
2
11x x -+.
当a>1时，log a
1111x x -+<log a 2
211x x -+，即f （x 1）<f （x 2）； 当0<a<1时，log a
2211x x -+>log a 2
2
11x x -+，即f （x 1）>f （x 2）. ∴当a>1时，f （x ）为（-1，1）上的增函数；
当0<a<1时，f （x ）为（-1，1）上的减函数.
（3）log a
x
x
-+11>0= log a 1. ∴当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=x
x
-12>0.
∴2x （x-1）<0.∴0<x<1.
当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+,111,011x
x x
x
解得-1<x<0；
当a>1时，f （x ）>0的解为（0，1）；
当0<a<1时，f （x ）>0的解为（-1，0）.
8.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1），求f （log 2x ）的最小值及对应的x 的值.
思路解析：关键是利用已知的两个条件求出a 、b 的值.
解：由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,
2)(log ,
log log 2
222
2b a a b b a a
即)2()1(.
4,0)1(log log 2
2
2⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-b a a a a
由①得log 2a=1，∴a=2.
代入②得b=2.∴f （x ）=x 2-x+2.
∴f （log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x-21）2+4
7. ∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值4
7
，此时x=2.
9.设a ≠0，对于函数f （x ）=log 3（ax 2-x+a ），
（1）若x ∈R ，求实数a 的取值范围； （2）若f （x ）∈R ，求实数a 的取值范围.
思路解析：f （x ）的定义域是R ，等价于ax 2-x+a ＞0对一切实数都成立，而f （x ）的值域为R ，等价于其真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数值，（1）与（2）虽只有一字之差，但结果却大不相同.
解：（1）f （x ）的定义域为R ，则ax 2-x+a ＞0对一切实数x 恒成立，其等价条件是
⎩⎨⎧<-=∆>.
041,02
a a 解得a ＞21
. （2）f （x ）的值域为R ，则真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数，其等价条件是
⎩⎨⎧≥-=∆>.
041,02
a a 解得0＜a ≤21
.
10.已知a>0且a ≠1，f （log a x ）=
12-a a （x-x
1
）. （1）试证明函数y=f （x ）的单调性.
（2）是否存在实数m 满足：当y=f （x ）的定义域为（-1，1）时，有f （1-m ）+f （1-m 2）<0?若存在，求出其取值范围；若不存在，请说明理由.
（3）若函数f （x ）-4恰好在（-∞，2）上取负值，求a 的值. （1）证明：由f （log a x ）=
12-a a （x-x 1），得f （x ）=1
2
-a a （a x -a -x ），x ∈R ，任取x 1<x 2，f （x 1）-f （x 2）=1
2-a a （1x a -2x a ）21211x x x x a a +++.a>1时，1x a <2x a ，a 2-1>0；0<a<1时，1x a >2x
a ，
a 2-1<0.综上可得f （x 1）<f （x 2），即函数为减函数.
（2）解：因为f （-x ）=-1
2
-a a （a x -a -x ）=-f （x ），即函数为奇函数，f （1-m ）+f （1-m 2）<0可转化为f （1-m ）<f （m 2-1），所以⎪⎩
⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-.11,111,11122
m m m m 解得1<m<2.
（3）解：f （x ）-4恰好在（-∞，2）的值为负，即当x ∈（-∞，2）时，有f （x ）-4<f （2）-4=0，解得a=2±3.
11.已知f （x ）=lg （a x -b x ）（a>1>b>0）. （1）求y=f （x ）的定义域；
（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x 轴？ 思路解析：（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题. 解：（1）由a x -b x >0，得（b a ）x >1=（b
a ）0. ∵
b
a
>1，∴x>0. ∴函数的定义域为（0，+∞）.
（2）先证明f （x ）是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1x
a >2x
a ，1
x b <2x
b . ∴1x
a -1
x b >2x a -2x
b .
∴lg （1x
a -1
x b ）>lg （2x a -2x
b ）.
∴f （x 1）>f （x 2）.
∴f （x ）在（0，+∞）上为增函数.
假设y=f （x ）上存在不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f （x ）是增函数矛盾.
∴y=f （x ）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.
12.2006年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次
音量达到了90.1分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级（spl ）来描述声音的大小：把一很小的声压P 0=2×10-5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB ）.分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区.
（1）根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式.
（2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
思路解析：由已知条件即可写出分贝y 与声压P 之间的函数关系式，然后由函数关系式求得当P=0.002帕时，分贝y 的值.由此可判断所在区. 解：（1）由已知y=（lg
0P P ）×20=20·lg 0
P P （其中P 0=2×10-5）. （2）将P=0.002代入函数关系y=20lg
0P P ，则y=20lg 510
2002
.0-⨯=20lg102=40（分贝）. 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以在噪音无害区，环境优良.。