空间直线与平面的位置关系距离

解：连接 BD交 AC于O，连接 B1O交 BD1于E，
B1O 平面 B1AC BD1 平面B1AC E
D1
C1 可证明 BD1 平面B1 AC
A1 D
B1 线段D1E长是点D1到平面B1 AC的距离
且 BE B1O
E
在Rt
C
B1BO中，由面积法可得
A
OB
3
OB1 BE OB BB1
2
4
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例2 如图，已知 ABC，A 90，AB 2，AC 4，PA 2，
2 求 BE与平面 PAB所成角.
解（2）：在Rt PA C中，作EF // AC交PA于F，连接BF .
PA 平面ABC
AC
平面ABC
PA
AC
AB AC，且PA AC A
AC 平面PAB
2 点 A到平面 A1BCD1 的距离.
D1
C1
解：1 连接 A1C D1B1 O1
A1O1 D1B1
A1
O1 B1
D1D A1O1
A1O1 面D1DBB1
D
故点 A1到面D1DBB1 的距离
等于线段 A1O1 的长
A
C B
2 A1O1 2 a
所以点 A1到面D1DBB1 的距离为
2a 2
例 3 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1，AB 8, AD 6, AA1 10，E为AB中点，求下列异面直线距离
1 AB与B1C1 2 AC与B1C1 3 A1E与B1C1
D1 A1
C1 B1
D
A
E
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C B
例 3 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1，AB 8, AD 6,
BE 3
23 D1E D1B BE 3
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D1 A1
D A
连接B1 D交BD1于O1， B1O与BO1分别是Rt DBB1各边上中线， E为Rt DBB1的重心，
BE C1 BO1
2 3
且 BO1 D1O1
O1
B1
BE BD1
2 6
1 3
，即D1
E
2 3
3
E
C
O B
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例2 如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线
平行.
m
m//
m
m // n
∩ = n
证明：用反证法
假设 m∩n=P
得 m∩=P 矛盾
m
n
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1. 直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都 垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直.
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3. 直线与平面所成的角
l
M
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（1）直线Байду номын сангаас平面斜交的定义
当直线l与平面 相交且不垂直时，叫做直线l与 平面 斜交.
l 叫做平面 的斜线， l 与平面 的交点M叫做斜足.
l
M
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（2） 直线与平面所成的角
设直线l 与平面 斜交于点M. 过l上任意点A作平 面 的垂线，垂足为O，称点O为点A在平面 上的 射影；而直线OM 称为直线l 在平面 上的射影.
例 1 如图，已知 ABC，A 90，AB 2，AC 4， PA 平面ABC，PA 2，E为PC 中点，连接BE， 求线段BE长；
P
A
E
B
C
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解：连接 AE
P
PA 平面ABC
AB
平面ABC
PA
AB
A
E
B
C
P
AB AC，且PA AC A
AB 平面PAC，且AE 平面PAC
A
E
AB AE
H
B
C
在Rt PA C中，PC 2 5，AE 1 PC 5 2
在Rt ABE 中，AB 2，BE AB2 AE2 3
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例2 如图正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长 AB 1，求
1 求 B1到平面A1BCD1距离； 2 求C1到平面A1BC距离； 3求 D1 到平面B1 AC距离.
C B
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a， 求点 A1到直线 BD1 的距离.
解：连接 A1B, 作A1H BD1 , 垂足为H
故点 A1到直线 BD1 的距离 等于线段 A1H 的长
D1 H
A1
C1 B1
在 Rt A1BD1 中
A1 H
A1B A1D1 BD1
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a，求：
2 点 A到平面 A1BCD1 的距离.
D1
C1
解：2 连接 AB1 A1B H
A1
B1
在正方形ABB1 A1中 AH A1B
A1D1 面ABB1 A1
且AH
面ABB1
A1
H
D
C
A1D1 AH
AH 面D1 A1BC
1 平面A1B1C1D1到平面ABCD的距离. 2 平面A1 ADD1到平面 B1BCC1的距离；
解：1 平面A1B1C1D1 // 平面ABCD D1
A1 A 面ABCD
A1
C1 B1
故平面A1 B1C1 D1到平面ABCD
的距离等于线段 A1 A的长
D
C
A1 A a
所以平面A1B1C1D1到平面ABCD A
2 A1O1 2 a
D A
C B
所以直线
A1
A
到平面D1
DBB
的距离为
1
2a 2
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（4） 两平行平面之间的距离
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另 一个平面的距离都相等.
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另 一个平面的距离称为两平行平面的距离.
M
N
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a，求：
例1 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行.
m//n
m
m m//
n
证明（反证法）：
n
由于 m ， 假设 m ∩ =P
∵ m//n 过m，n 确定平面
且 ∩= n，
m
β
∵ P m ∴ P
∴ P ∩ ∴ P n
n
P
∴ m∩n =P 与 m//n 矛盾
l
A
M O
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将直线l与其在平面 上的射影 OM 所成的锐角叫 做直线 l与平面 所成的角.
规定： 当直线l 平面 时，直线l 与平面 所成的角为90º.
当直线l // 或直线l 时，
直线l与平面 所成的角为0º.
l
A
M
O
结论： 所以，若设直线l与平面 所成的角为 , 则其取值范围是 0º 90º.
H
b
N
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a，求:
1 异面直线 A1 A和 B1C1 的距离；
2 异面直线 A1 A和 B1D1 的距离.
解： A1 A A1B1
D1
C1
O1
A1B1 B1C1
A1
B1
线段A1 B1是异面直线
A1 A和 B1C1 的公垂线段
表示为： l
其中，这条直线称为垂线，
l
垂线和平面的交点叫做垂足.
应用举例
A
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直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂
直，那么这条直线垂直这个平面.
已知 m, n, m∩n=M, l m, l n
则 l
l
M
m
n
l
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直线与平面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a，求：
1 直线 A1 A到平面 B1BCC1的距离；
2
直线
A1
A
到平面D1
DBB
的距离.
1
D1
解：1 A1A // 面B1BCC1
A1
A1B1 面B1BCC1
C1 B1
故直线A1 A到面B1BCC1的距离
等于线段 A1B1 的长
B
的距离等于a
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（5）异面直线距离
设直线 a 与直线b是异面直线，若直线 MN 分别与直线 a，b垂直且相交与M，N，那么直线 MN 叫做异面直线a，b 的公垂线；垂足 M，N 之间的距离叫做异面直线a，b的距离.
a
N
b
M
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异面直线a, b的公垂线存在且唯一
AM
a
1 A1B和平面ABCD所成角； 2 B1D和平面ABCD所成角；
D1 A1
C1 B1
D1 A1
D A
C B
D A
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C1 B1
C B
例1 如图正方体 ABCD A1B1C1D1
3 BC1和平面D1B1BD所成角； 4 D1B和平面ACB1所成角；
D1 A1
C1 E
B1
D1 A1
D A
P
F
A
E
EF // AC EF 平面PAB B
C B
D A
C1 B1 E
C B
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例2 如图，已知 ABC，A 90，AB 2，AC 4， PA 平面ABC，PA 2，E为 PC中点，连接 BE，
1 求 BE与平面 ABC所成角； 2 求 BE与平面 PAB所成角.
P
A
E
B
C
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例2 如图，已知 ABC，A 90，AB 2，AC 4，PA 2，
D A
注意：垂线段所在平面和面积法
C B
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（2） 点到平面距离
设M是平面外一点，过点M 作平面 的垂线， 垂足为N，则垂线段MN 的长称为点M到平面的
距离.
M
N
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a，求：
1 点 A1分别到平面 B1BCC1 和平面D1DBB1的距离
AA1 10, E为 AB中点， 3 求异面直线 A1E与B1C1 距离.
解： 在正方形 ABB1 A1 中，
D1
C1
作 B1H A1E,垂足为H .
A1
B1
异面直线 A1E 与B1C1 距离
就是线段B1H长
H
在 Rt B1HA1 中
D
C
B1H A1B1 sin B1 A1H
A
E
B
A1B1 sin A1EA
D
C
A1B1 a
A
B
所以直线A1 A到面B1BCC1的距离等于a
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a，求：
2 直线 A1 A到平面D1DBB1的距离.
解：2 A1A // 面D1DBB1
A1O1 面D1DBB1
D1
C1
O1
A1
B1
故直线 A1 A到平面D1DBB1 的距离等于线段 A1O1 的长
M
N
l
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a，
求点 A1分别到直线CD1 ,D1B1 和CD的距离.
解：
3 连接 A1D
CD 面ADD1 A1
D1
C1
O1
A1
B1
CD A1D
故点 A1到直线CD的距离
D
等于线段 A1D的长
A1D 2 a
A
所以 A1到直线CD的距离为 2a
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例1 如图正方体 ABCD A1B1C1D1，求下列直线与平面所成角
1 A1B和平面ABCD所成角； 2 B1D和平面ABCD所成角； 3 BC1和平面D1B1BD所成角；4 D1B和平面ACB1所成角；
D1 A1
C1 B1
D A
C B
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例1 如图正方体 ABCD A1B1C1D1
A
B
故点 A到面D1 A1BC 的距离
AH 2 a 2
等于线段 AH 的长
所以点 A到面D1 A1BC 的距离为
2 a
2
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（3） 直线与平面平行的距离
直线与平面平行，则直线上任意一点到平面 的距离都相等.
直线与平面平行，则直线上任取一点到平面 的距离称为直线和平面的距离.
AB
C
D
D1 A1
C1 B1
D A
C B
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例 2 如图正方体 ABCD A1B1C1D1，
1 求点B1到平面A1BCD1距离； 2 求C1到平面A1BC距离；
D1 A1
E D A
C1
D1
B1
A1
E
C1 D1 B1 A1
D C
B
A
CD BA
C1 B1
C B
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例2 如图正方体 ABCD A1B1C1D1， 3 D1到平面ACB1距离；
线垂直于平面内任意一条直线.
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2. 空间距离概念
距离是生活中常见的概念， 一般我们会涉及
如下一些距离概念.
M
M
N
a
N
M
l
N
N
M
b
M
N
第7页/共41页
（1）空间点到直线距离
设M是直线l外一点，过点M 作直线l 的垂线相
交于N （或垂足为N），则垂线段MN 的长称为点
M到直线l的距离.
D
C
故异面直线 A1 A和 B1C1
的距离等于线段 A1B1 的长 A
B
所以异面直线 A1 A和 B1C1 的距离等于 a
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例 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a， E为棱AB中点，求异面直线 A1E 和CC1 的距离.
D1
C1
A1
B1
D
A
E
C B
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1 求 BE与平面 ABC所成角；
解（1）：
P
在PAC中，作EH // PA交AC于H，
连接BH
A
E
PA 平面ABC EH 平面ABC
H
B
C
BH是BE在平面ABC上射影
EBH是BE与平面ABC的所成角，且EH BH
在Rt EBH 中
2 EBH arctan
4 所以BE与平面ABC的所成角是 arctan