光波技术基础part3

t Ez ie z Et j 0 Ht
t H z ie z Ht jEt

2 t

k2 2
Ez 0

2 t

k2 2
Hz 0

2 t

k2 2
Et 0

2 t

k2 2
k E0 k H0 0 E、H、k相互正交
电磁场的能量密度和能流密度
时变电磁场中的一个重要现象： 电场能量密度随电场强度变化，磁场能量密度随磁场强度变化 空间各点的能量密度变化引起能量流动！
坡印亭(Poyting)矢量P=E×H
E H H E E H
对于TM模：Hz＝0，Ey=Hx=0, 仅有Ex, Ez 和Hy三个场分量,
表示为（Ex,0,Ez,0,Hy,0)
TE模
1、TE模的解
Ey是TE模电场仅有的分量 Ex, y, z Ey x, ye jz
代入波动方程,有
d 2Ey dx2

k02n
2 j


2
Ey
0, j 1,2,3
ε (r)：张量介电常数 (r)：张量磁导率
1
n E1H1B1D1
2
E2H2B2D2
波动方程－E,H诸量随时、空的变化关系 ：磁导率，真空磁导率0
只考虑线性的、各向同性的、透明媒质、非时变的：
ε：介电常数=真空介电常数*相 对介电常数
各向同性介质：D 0E P E B H 透明：无自由电荷、无磁性： f=0， Jf=0， μ＝ μ0
Er,t Ercost ReErexp jt Hr,t Hrcost ReHrexp jt
2E

0
2E t 2
2H

0
2H t 2
t

j
,
2 t 2

2
r n j c 2 2 严格地 n 1 Re ~1 2
P
E0 2
k
k
H0
2E0
k

k

H0

0
20 2 0 P//k
二、平面及条型光波导理论
• 场分解和模式分类 • TE模
– 模场解 – 导模条件 – 特征方程 – 模式
• TM模 • 传播常数 • 模式分析 • 色散特性 • 多模群延时
场分解与模式分类
z方向波导几何形状不变，电磁场沿z方向传
最简单的波动方程
2E

0
2E t 2
2H

0
2H t 2
波动方程式简化
光纤
1. 材料线性、各向同性、透明介质、均匀 2. z向 传输波 3. 半无限长，纵、横向差别极大
光纤中的电磁波 单色：
波动方程
Z向传输波：
Helmholtz方程
简化的波动方程式
Helmholtz方程
－谐变电磁场（或单色光波）的波动方程
2E k 2E 0 平面波解 Er E0 exp jk r
2H k2H 0
Hr H0 exp jk r
k kxex kyey kzez , k2 kx2 ky2 kz2
jk Maxwell
k E0 0H0 k H0 E0
输，变量z可分离：
HE x,
y,
z


E H
x,

y
e

jz
x hz
平面波导在y方向无限延伸，
场分量在y方向没有变化
y
限制层 n3 波导层 n1 限制层 n2
y
E H


0
n1 n2 n3
场分解与模式分类(续）
基本波导方程化为：
Ex
j 2

H
k
dA
Ek Hi dA 0
A
A
纵向场与横向场
由于光纤及平面波导结构的纵向和横向差别极大，求解其中的
光场时常分解为纵向分量和横向分量之和，微分算符也可表示
为纵向和横向的叠加： E=exEx+ eyEy+ezEz, H=exHx+eyHy+ezHz



ex x e y y ez z
Ht 0
E y x
Ex y
j 0 H z
只有两个独立变量， 其余四个量可由方程
H y x
H x y

jEz
H z y
iH y

jEx
H z x
iH x
jEy
基本Eyz波导i方E程y式。 j 0 H x
利用这些方程式，
t
ez
Et

Ez

1
j
t Ht

1
j
t
ez Ht
ez

Et z
j 0Ht

1
j
ez
t

1

t

e z

Ht


ez

Ht z

j 0Et

1
j 0
ez
t
t
ez
Et


纵向场与横向场（续）

j
2

H z y

Ez x

2 k 2 2 k02n2 2
场分量就可以得到
用Ez和Hz表示的其它
分量表达式为：
自由空间的均匀平面波
ez ey ex
在与传播方向垂直的无限大平面上，电场 强度E和磁场强度H的幅度和相位都相等。
k H
E
Helmholtz
E=Et+ ezEz 代入Maxwel可得：
H=Ht+ezHz


t

ez
z
t Et j 0H z
t Ht jEz
t Ez

ez

Et z
j 0Ht
t Hz

ez

H t z

jEt
Hz

1
j 0
t
Et

1
j 0
对于模式场同样有
Et
Et
于是：

Ez

x,
y,
z



Ez

x,
ye
jz
E Et Ez , H Ht H z ,
HHzt


H H
t z

在直角坐标系下
代入上式，有
t Et j 0 H z
t Ht jEz
t
t
t
D 0 B 0




E



E2E
2E
E

E0
2tE2
2E


E
类 似地 E： E2H
0 H

E
0E2tH2
均匀介质（ε 为常数和 0 ） 或ε 变化缓慢的介质（ε 为常数和 0 ）
传输波
－z变量分离
•由波动方程可知：影响光波导传输特性的，主要是折射率 的空间分布 •对于折射率分布沿纵向（z向）不变的光波导（如：光纤、 平面波导），其数学描述为
nx, y, z n(x, y)
可以证明，相应的光场是沿z传输的传输波，可表示为分离形式
HEx,
y, z,t
ds方向为V的外法线方向
电磁场能量守恒定律
该体积内电磁场能量的减少率
s
E

H
ds


t
V

1 2
E 2

1 2
0H
2
dV
k E0 0H0
谐变电磁场 瞬态行为与平均行为
P 1 ReE H* 2
自由空间中沿k方k 向H传0 播 的单E色0 平面波
bi
H
i

x, y
e ji z
•稳定性：模式沿z向传输时，其场分布形式不变 •有序性：模式是离散的、可以排序的。排序法有二：其一，以β大小排序， β越大序号越小；其二，以（x,y）排序 •叠加性：总场分布是这些模式的线性叠加 •正交性：不同模式之间满足正交关系，即：
Ei

B H
能量密度
w
1 E 2
2

1 2
0
H
2
观察点上单位体积内电磁场具有的能量
能 反 观映察流电点密磁上度场，P=能从E×量垂H传直播于的P的大单小位和面方积向在上单流体E流位出积出时的HV的间电上功内磁积率从场分t 体能，12积量S为0VH的V2的表 表12面面上E2，
0 r , r 1
非时变： 0, 0,
t
t
0H
t

0

t
H

0
2E t 2
E B 对（1）式两边求旋度 t
E B 0H
H D

Jf

D t
2.3 D ρ f
2.4 B 0
2.5 D εr Er 2.6 B μr Hr
切向连续
n E1 E2 0 n H1 H2 Jsf
2.8 2.9
强度：E：电场强度，H：磁场强度
通 f：法量自密向由度连电：续荷D：密nn电度 位，BD移J11f：矢自BD量由22，电B：流0磁体sf感密应度22强..1110度
ncIm ~
Maxwell方程 Helmholtz方程
2E k 2E 0
& E j0H
H jE
2H k2H 0
D 0
k 0 k0n
B 0 忽略损耗α
2f 2
k0 c
c


n r , c 1 00 , 0r
模式
根据偏微分方程理论，对于给定得边界条件，上述方程有无穷 个离散得特征解，并可进行排序。每一个特征解为：
Ei H i
x,

y
e
ji
z
每一个特征解称为一个模式，波导中总的光场分布则是这些模
式的线性组合：
模式特性：
HEx, y, z
i
aiEi
Ε H
x,

y e jtz
忽略
e jt
HE x,
y,
z


E H
x,

y
e
jz
β－传播常数， E(x,y)和H(x,y)－表示E,H沿波导横截面的分布，称为模式场
相应的Helmholtz方程为：
z


j
,
2 z 2

2
t2 k 2 2 E 0 t2 k 2 2 H 0 t-垂直于z方向的横向
H B E D
t
t
E B t
H D t
H

B t

t

1 2
0H2

E D 1 E2
t t 2


DE
H0E Pt
E12
0H2

1 2
E2
只出要两Exz从个分波i量动E，方x其程它求j 0 H y
组中的4个求出
Ex
j
2

Ez x
0
H z y

Ey


j
2

Ez y
0
H z x

Hx
j
2

H z x

Ez y

Hy
y
E H


0
C exp 2x
x0
2 k12 2
解得：
Ey
x


A
cosx

B
sinx0

x

h
其中，
2 2


2

k22
D exp 3x h x h
根据基本波导方程，Hx 和Hz可由右式求得：

Hx


Ez x
Ey

j 0 2
H z x
Hz


j 2
H z x
Hy

j 2
Ez x

2

k2
2

k
2 0
n
2
2
导波中的模式场可分解为TE模和TM模
对于TE模：Ez＝0，Ex=Hy=0, 仅有Ey, Hx 和Hz三个场分量,
表示为（0,Ey,0,Hx,0,Hz)
第三章 波动光学方法
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一、光波导的基本方程
Maxwell方程组
－场和场源之间的关系
Maxwell方程
边界条件
2.1 E B t
2.2
H
0
Ey
Hz
j
0
Ey x

2 3


2
k32
k j k0n j , j 1,2,3

C 0
exp
2x
x0
H
x
x