高中数学：5.1.2复数的有关概念(一)教案(北师大选修2-2)

复数的相关观点
教课过程：
一、问题情形
问题 1：关于复数a+bi 和 c+di(a,b,c,d∈ R)，你以为知足什么条件时，这两个复数相等？（ a=c 且 b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。

）
问题 2：若把 a,b 当作有序实数对（a,b ），则（ a,b ）与复数 a+bi 是如何的对应关系？有序实数对（ a,b ）与平面直角坐标系中的点是如何的对应关系？（一一对应关系）
实数能够用数轴上的点来表示
实数一一对应实数轴上的点（几何模型）
数形
问题 3：类比实数的性质，你可否找到用来表示复数的几何模型？还可以得出复数其余的一
些性质吗？（学生猜想，议论，形成一些共鸣）
二、建构数学
1、复平面的观点
把成立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

y y
b Z=a+bi Z(a,b) Z(a,b)?
3
2? C
o a
A ? B
x
?
123x
-2
2、复数的几何意义
复数 a+bi ，即点 Z（a,b ）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的向量形式。

以O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。

）
三者的关系以下：复数
z a bi
复平面平面向量
内的点
OZ
Z（ a,b）
[ 稳固练习 ]
（ 1）、在复平面内，分别用点和向量表示以下复数：
4， 2+i ， -1+3i，3-2i， -i
（ 2）、“a=0”是“复数a+bi (a , b∈ R)所对应的点在虚轴上”的（）。

(A) 必需不充足条件
(C) 充要条件(D)(B)充足不用要条件
既不充足也不用要条件
（3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点拥有如何的地点关系？
变式：第二象限的点表示的复数有何特点？
问题 4：实数能够比较大小，随意两个复数能够比较大小吗？以为能够者，请取出进行比
较的方法；以为不能够者，请说明原因。

（学生议论，回答，纠正错误，形成共鸣）
3、复数的模（或绝对值）
向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或 a bi。

假如b=0，那么Z=a+bi 就是实数a，它的模等于a（即实数 a 的绝对值）。

Z = a bi=a2b2
[ 稳固练习]
（1）、已知复数Z1=3+4i，Z 2=-1+5i，试比较它们模的大小。

（2）、若复数 Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为
拓展与延长：。

（3）知足 |z|=5(z ∈ R)的 z 值有几个？知足 |z|=5(z ∈ C)的 z 值有几个？这些复数对应的点在
复平面内组成如何的图形？其轨迹方程是什么？
（4）设 Z∈C，知足 2< Z 3 的点 Z 的会合是什么图形？（结果动画演示）
问题 5：既然复数能够用复平面内过原点的向量来表示，那么，复数的加法、减法有什么
几何意义呢？它能像向量加法、减法同样，用作图的方法获得吗？
y
Z
Z2
Z1
x
O
（学生议论，着手实践，回答；后用计算机作图并用平面几何理论证明）
4、复数加法、减法的几何意义
设向量 OZ1，OZ 2分别与复数a+bi，c+di对应，且 OZ1，OZ 2不共线，以 OZ1，OZ2
为两条邻边画平行四边形O Z1 Z Z2，则对角线OZ所表示的向量OZ就是复数（a+c）+(b+d)i
对应的向量。

（平行四边形法例）
依据复数减法的定义和复数加法的几何意义，能够获得复数减法的几何意义。

（三角形法例，过O作与其相等的向量）
y
Z2
Z1
0x
Z
设 Z1=a+bi， Z2=c+di，则 Z1- Z 2=（a-c）+（b-d）i
故
Z1Z 2Z2 Z1(a c) 2(b d )2
表示：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。

三、数学应用
例 1已知复数z= (m2m 6) (m 2 m 2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限，
务实数 m同意的取值范围。

变式：证明对一确实数m，此复数z 所对应的点不行能位于第四象限
（解不等式组；解不等式组无解）
互相转变
表示复数的点所在象限的问题数的实部与虚部所知足的不等式组的问
题
( 几何问题 )（代数问题）
数学思想：数形联合、转变思想
例 2在复平面内，知足以下复数形式方程的动点Z 的轨迹是什么？
（1） |z-1-i|=|z+2+i|
（2） |z+i|+|z-i|=4
（3） |z+2|-|z-2|=1
延长：若将（ 2）中的等于改为小于呢？
（轨迹分别是直线；椭圆；双曲线）
（备用题：）
已知，复数Z1=3+4i，复数Z知足Z Z1 2 ，求Z的最值。

（代数方法；几何方法）
四、回首反省
1、请同学们依照板书次序回首讲堂全程内容。

2、请同学们说说对复数几何意义的认识。

3、重现复数加法、减法的几何意义的内容。

4、领会数形联合思想，增强复数与其余数学内容的联系。

五、作业（略）。