2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：11 函数与方程

课时作业提升(十一) 函数与方程
A 组 夯实基础
1．(2018·皖北四校联考)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个
D ．5个
解析：选B 依题意， f (2)＞0，f (3)＜0，f (4)＞0，f (5)＜0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．
2．(2018·汕头检测)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－2
D ．y ＝－x 3
解析：选B y ＝log 2x 在(－1,0]上没有意义，故A 不满足题意；y ＝x 2－2在(－1,0)上单调递减，故C 不满足题意；y ＝－x 3在(－1,1)上单调递减，故D 不满足题意；因为y ＝2x －1在(－1,1)上单调递增，f (－1)<0，f (1)>0，所以在(－1,1)内存在零点，故选B ．
3．(2018·潍坊月考)若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝⎛⎭⎫1，3
2内，则与f (0)符号相同的是( )
A ．f (4)
B ．f (2)
C ． f (1)
D ．f ⎝⎛⎭⎫
32
解析：选C 由题意得f (x )的零点在⎝⎛⎭⎫1，3
2内，∴f (0)与f (1)符号相同，故选C ． 4．函数f (x )＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
解析：选C 由条件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a )·(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.
5．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图像如图，
∴y ＝|x 2－2x |的图像与y ＝a 2＋1的图像总有两个交点．
6．(2018·大连月考)已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1]
解析：选D 令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝1
3，满足题意，可排除选项A ，B ．令m ＝1，
由f (x )＝0得x ＝1，满足题意，排除选项C ．
7．(2018·天津月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －2
－1，x ≥0，
x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，1x
，x ＜0，则函数
f (
g (x ))的所有零点之和是( )
A ．－1
2＋ 3
B ．1
2＋ 3
C ．－1＋
32
D ．1＋
32
解析：选B 由f (x )＝0得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2得x ＝1＋3，由g (x )＝－2得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝1
2
＋3，故选B ．
8．已知函数f (x )＝2
3x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．
解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1
＋a ＝0，解得a ＝－1
2.
答案：－1
2
9．(2018·吉林模拟)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.
解析：求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2<ln e ＝1，所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3>1，所以f (3)> 0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.
答案：2
10．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是
__________．
解析：令g (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，h (x )＝x ＋a ，分0＜a ＜1，a ＞1两种情况． 在同一坐标系中画出两个函数的图像，如图，若函数f (x )＝a x －x －a 有两个不同的零点，则函数g (x )，h (x )的图像有两个不同的交点．根据画出的图像只有当a ＞1时符合题目要求．
答案：(1，＋∞)
11．(2016· 连云港模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋3，x ∈(0,3]． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；
(2)如果函数f (x )在定义域内有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x ∈(0,3]．
所以f (x )的最小值是f (1)＝2，最大值为f (3)＝6，所以函数f (x )的值域为[2,6]． (2)函数f (x )在定义域内有零点即方程ax 2－2x ＋3＝0在x ∈(0,3]上有实根．等价于求函数a ＝2x －3
x
2在x ∈(0,3]上的值域，
令h (x )＝2x －3x 2，则h (x )＝2x －3x 2＝－3⎝⎛⎭⎫1x 2＋2⎝⎛⎭⎫
1x ，x ∈(0,3]． 令1x ＝t ∈⎣⎡⎭⎫13，＋∞，则g (t )＝－3t 2＋2t ＝－3⎝⎛⎭⎫t －132＋1
3， 当t ＝13时，g (t )有最大值13，所以a ≤1
3
.
12．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解：∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. ①若Δ＝0，即m 2－4＝0，
当m ＝－2时，t ＝1；当m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去． ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． ②若Δ>0，即m >2或m <－2， t 2＋mt ＋1＝0有一正一负两根， 即t 1t 2<0，这与t 1t 2>0矛盾． ∴这种情况不可能．
综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.
B 组 能力提升
1．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )
A ．恒为正值
B ．等于0
C ．恒为负值
D ．不大于0
解析：选A 注意到函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当0＜x 1＜x 0
时，有f (x 1)＞f (x 0)．又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即此时f (x 1)的值恒为正值，选A ．
2．(2018·兰州月考)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．
3．(2018·泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ·e x ，x ≤0，－ln x ，x >0，其中e 为自然对数的底数，若关于x
的方程f (f (x ))＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，0)∪(0,1)
C ．(0,1)
D ．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选B 由f (f (x ))＝0得f (x )＝1，作出函数f (x )的图像，如图所示，当a <0,0<a <1时，直线y ＝1与函数f (x )的图像有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B ．
4．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．
解析：令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e ；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1
e ，
所以，当0 <x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e 时，函数g (x )单调递增，由此可知当x ＝1
e
时，
g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1
e
<a <0.
答案：－1
e
<a <0
5．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f (x )
x
－4ln x 的零点个数．
解：(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， 所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.
(2)因为g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，
所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)
x 2.
令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：
x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)
g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )
极大值
极小值
又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＝e 3－3
e 3－14＞0，因而g (x )在(3，
＋∞)上只有1个零点．
故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．。