四川省宜宾市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析

四川省宜宾市2021届新高考第二次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有点的（ ） A ．横坐标缩短到原来的
12
（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移
3π个单位长度 【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.
【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 向左平移6π个单位长度， 故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=
++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
2．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则
V v =（ ） A ．4
B ．8
C ．9
D ．27
【答案】D
【解析】
【分析】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.
【详解】
设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，
作正四面体的高为PM ，
则323,233
AD AM AD ===， 226PM PA AM ∴=-=
， 1362312
P ABC V -∴==， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则1
3443P ABC O ABC V V --==⨯， 解得：612
r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =，
在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：
222AM MN AN +=，
2
2163R R ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭，解得64R =， 3R r
∴=，
3
327V R v r
∴== 故选：D
【点睛】
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.
3．已知双曲线22
221x y a b
-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．[2,)+∞
B ．(1,2),
C ．(2,)+∞
D ．(1,2] 【答案】A
【解析】
【分析】
若过点F 且倾斜角为3
π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3
π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b a
，
∴b a 22
224a b e a +=…， 2e ∴…，
故选：A ．
【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
4．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r ，抛物线的准线
l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）
A ．6
B ．9
C ．
D ．【答案】B
【解析】
【分析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2
p x my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB .
【详解】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，
将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px
⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，
由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，
11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-， 221222y y y p ∴=-=-
，可得22
y p =
，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， ACF ∆
的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，222
1
212524988p y y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 5．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ） A ．724
-
B ．524-
C ．524
D ．724
【答案】D
【解析】
【分析】 利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
1tan 2
α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5
πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5
β=，3tan 4β=， ()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24
134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
6．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27
B ．33
C ．39
D ．44
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332
a a S a =＝＝ 【详解】
解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，
63a ∴＝．
n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332
a a S a =＝＝． 故选：B ．
【点睛】
本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.
(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，．
(2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.
7．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题采用排除法:
由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π
⎛⎫> ⎪⎝⎭
排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ；
【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x y x x --=-, 则5522522522f π
πππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππ
ππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭; 即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;
故选项:A
【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
8．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A ．3π
B ．3π-
C ．23π
D ．23
π- 【答案】B
【解析】
【分析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的
16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263
ππ-⨯=-.
故选：B
【点睛】
本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.
9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
【答案】C
【解析】
【分析】 画出该几何体的直观图P ABCD -，易证平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PCD ，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，
作PO ⊥AD 于O ，则有PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥CD ，
又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ，
所以平面PCD ⊥平面PAD ，
同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，
由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ，
所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ，
所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 10．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ．
考点：逻辑命题
11．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为25m 的取值为
A ．9-或11
B ．7-或11
C ．7-
D ．9-
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离
d ，结合弦长公式得
=9m =-或11m =，故选A ． 12．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．不充分不必要
【答案】B
【解析】
【分析】
由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案.
【详解】 ,m m n α⊥⊥Q ,
不能确定αn ⊂还是αn ⊄，
//m n n α∴⊥¿，
当//n α时，存在a α⊂，//,n a ，
由,m m a α⊥⇒⊥
又//,n a 可得m n ⊥，
所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若向量()
()221a x b x ==r r ，，，满足3a b ⋅<r r ，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1-
【解析】
【分析】
根据题意计算223a b x x ⋅=+<r r
，解得答案.
【详解】
()
()221a x b x ==r r ，，，，故223a b x x ⋅=+<r r ，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.
【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
双曲线的焦点在x 轴上，渐近线为2y x a =±
，结合渐近线方程为23
y x =可求a . 【详解】 因为双曲线22
214
x y a -=(a ＞0)的渐近线为2y x a =±，且一条渐近线方程为23y x =， 所以3a =.
故答案为：3.
【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15．集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}
(,)1B x y xy x y =+=+，若A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
①a 的值可以为2；
②a 2
③a 的值可以为22+
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC ：(
)
21y x =-，得到()1,21A -，(
)
21,1C
+，
得到答案. 【详解】
如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=-，故AC ：(
)
21y x =-，
解得()
1,21A -，此时2a =，(
)
21,1C
+，此时22a =+.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键. 16．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m ，中位数为n ，则m n -=_________.
【答案】360 【解析】 【分析】
先计算第一块小矩形的面积10.3S =，第二块小矩形的面积20.4S =，，面积和超过0.5，所以中位数在第二块求解，然后再求得平均数作差即可. 【详解】
第一块小矩形的面积10.3S =，第二块小矩形的面积20.4S =， 故0.50.3
200030000.0002
n -=+
=；
而10000.330000.450000.18(70009000)0.063360m =⨯+⨯+⨯++⨯=， 故360m n -=. 故答案为：360. 【点睛】
本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22ccosB a b =+． （1）求角C 的大小； （2）若函数()2sin 2cos 2()6f x x m x m R π⎛
⎫
=+
+∈ ⎪⎝
⎭图象的一条对称轴方程为2
C
x =且6
25f α⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求(2)cos C α+的值．
【答案】（1）23C π=（2）7
225
cos
C α+=-（） 【解析】 【分析】
（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求1
cosC 2
=-
，即可求C 的值． （2）利用三角函数恒等变换的应用，可得()()f x 3sin2x m 1cos2x =++，根据题意，得到
()2πf 0f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得m 2=-，得到函数的解析式，进而求得πsin α6⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值，利用三角函数恒等变换
的应用可求()cos 2αC +的值． 【详解】
（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB 2sinA sinB =+，
又由()A B C π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 可得2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB =++，即2sinBcosC sinB 0+=， 又因为()0,B π∈，则sin 0B >， 可得1cosC 2=-
，∵()0,C π∈，∴2π
C 3
=． （2）由（1）可得()()f x 2sin 2x 1mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x =++=++
()3sin2x m 1cos2x =++，
所以函数()f x 的图象的一条对称轴方程为π
x 3
=， ∴()2πf 0f 3⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，得()4π4πm 13sin m 1cos 33+=++，即m 2=-， ∴()πf x 3sin2x cos2x 2sin 2x 6⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
又απ6f 2sin α265⎛⎫⎛
⎫=-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，∴π3sin α65⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()22ππππ7cos 2αC cos 2αcos 2α-cos2α2sin α1336625⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点.
（1）面出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求1
BD与该平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2
）1 3 .
【解析】
【分析】
（1）1A C与平面1
BDC垂直，过点E作与平面
1
BDC平行的平面即可
（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值
【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中F，G，H，I，J分别为边11
C D，
1
DD，AD，AB，
1
BB的中点，则1A C垂直于平面EFGHIJ.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()
2,2,0
B，()
1
0,0,2
D，()
1,0,0
H，()
2,1,0
I，()
0,0,1
G，所以()
1
2,2,2
BD=--
u u u u r
，()
1,1,0
HI=
u u u r
，()
1,0,1
HG=-
u u u r
.
设平面EFGHIJ的一个法向量为()
,,
n x y z
=
r
，则
x y
x z
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
.
不妨取()
1,1,1
n=-
r
，则1
1
cos,
3
233
BD n==
⨯
u u u u r r
，
所以1
BD与该平面所成角的正弦值为
1
3
.
（若将
1
AC
u u u r
作为该平面法向量，需证明1A C与该平面垂直）
【点睛】
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.
19．已知三棱锥A BCD -中侧面ABD 与底面BCD 都是边长为2的等边三角形，且面ABD ⊥面BCD ，
M N 、分别为线段AD AB 、的中点.P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.
（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）10
5
【解析】 【分析】
（1）设O 为BD 中点，连结OA OC ，，先证明BD AC ⊥，可证得BD NP ⊥，假设P 不为线段BC 的中点，可得BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=︒矛盾，即得证；
（2）以O 为原点，以OB OC OA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP ，平面MNP 的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解. 【详解】
（1）设O 为BD 中点，连结OA OC ，.
∴OA BD ⊥，OC BD ⊥， 又OA OC O =I
∴ BD ⊥平面OAC ，
AC ⊂平面OAC ，
∴BD AC ⊥.
又M N ，分别为AD
AB ，中点， //MN BD ，又MN NP ⊥，
∴BD NP ⊥.
假设P 不为线段BC 的中点，
则NP 与AC 是平面内ABC 内的相交直线， 从而BD ⊥平面ABC ，
这与60DBC ∠=︒矛盾，所以P 为线段BC 的中点. （2）以O 为原点，由条件面ABD ⊥面BCD ，
∴AO OC ⊥，以OB OC OA ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，
则(003A ，，13022M ⎛- ⎝⎭，，，13022N ⎛ ⎝⎭，，，13022P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，， 1302AN ⎛=- ⎝⎭
u u u v ，，， 330PN ⎛=- ⎝⎭
u u u v ，，，()=100MN u u u u v ，，. 设平面ANP 的法向量为()m x y z =v
，，
所以1300220330
2
2x z m AN m PN y z ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪-+=⎪⎩u u u v v u u u
v v 取1y =，则1z =，)
3311x m =⇒=
v
，，.
同法可求得平面MNP 的法向量为()011n =v
，， ∴()10cos 552
m n m n m n ⋅===v v v v
v v ，，
由图知二面角A NP M --为锐二面角， 二面角A NP M --的余弦值为10
5
. 【点睛】
本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题. 20．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中0a >．
（1）讨论函数()f x 的零点个数； （2）求证：sin ln 1x e x x x +>+．
【答案】（1）1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用()f x 的导函数，求得()f x 的最大值的表达式，对a 进行分类讨论，由此判断出()f x 的零点的个数.
（2）由ln 1x x ≤-，得到2ln 11x x x x +≤-+和1x x e -≤，构造函数2
()sin 1x
h x e x x x =+-+-，利用导数证得()0h x >，即有2sin 1x e x x x +>-+，从而证得2sin 1ln 1x e x x x x x +>-+>+，即
sin ln 1x e x x x +>+.
【详解】 （1）1()(0,0)ax
f x a x x
'
-=
>>Q ， ∴当1(0,)x a ∈时，()0f x >，当1
(,)x a ∈+∞时，()0,()f x f x '<∴在1(0,)a 上递增，在1(,)a
+∞上递
减，1
()()ln 1f x f a a a
∴≤=-+-.
令()ln 1(ln 1),()g x x x x x g x =-+-=--+∴在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0,ln 10g x g a a ≥=∴-+-≥，当且仅当1a =时取等号．
①1a =时，()f x 有一个零点； ②1a >时，
111
11(0,1),()ln (0,1),ln 10,(1)0,()0a a a f a a f a a f f a a a
a e e ⎛⎫
∈=-+-∈=-+->==-< ⎪⎝⎭
，此时()f x 有两个零点； ③01a <<时，
21111
1,()ln 10,(1)0,()2ln f a a f f a a a a a a
>=-+->==--+，令22
1(1)()2ln (1),()0,()x x x x x x x x x
ϕϕϕ'
-=--+>∴=>∴在(0,1)上递增，211
()(1)0,(
)2ln 0x f a a a a
ϕϕ<=∴=--+<，此时()f x 有两个零点； 综上:1a =时，()f x 有一个零点;当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点; （2）由（1）可知：21ln 1,ln 11,x x x x x x x x e -≤
-∴+≤-+≤，
令2()sin 1,()cos 2121cos 0,x
x h x e
x x x h x e x x ex x x '=+-+-=+-+≥-++>()h x ∴在()0,∞+上
递增，2
()(0)0,sin 1ln 1x
h x h e x x x x x >=∴+>-+>+． 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-
（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；
（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41
f x m f x a b
---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）(][),13,-∞-+∞U . （Ⅱ）135m -≤≤. 【解析】 【分析】 【详解】
详解：（Ⅰ）()()133,,21212211,2,233, 2.x x f x f x x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
++=-+-=+≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
当1
2
x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当
1
22
x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥.
所以不等式()6f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞U . （Ⅱ）因为()1,0a b a b +=>，
所以
(
)41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
. 由题意知对x R ∀∈，229x m x -----≤， 即()
max
22
9x m x -----≤，
因为()()22224x m x x m x m -----≤---+=--， 所以949m -≤+≤，解得135m -≤≤. 【点睛】
⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．
⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有： ① ()()(f x g a a <为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔> ②()()(f x g a a >为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔< ．
22．椭圆W ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F A ，B .过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1.
（1）求椭圆W 的标准方程；
（2）经过点()1,0P 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D （不与点A 、B 重合），直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据已知可得2
21b a
=，结合离心率和,,a b c 关系，即可求出椭圆W 的标准方程；
（2）CD 斜率不为零，设CD 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，得到,C D 纵坐标关系，求出BC 方程，令4x =求出M 坐标，要证A 、D 、M 三点共线，只需证0AD AM k k -=，将AD AM k k -分子用,C D 纵坐标表示，即可证明结论. 【详解】
（1）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y
a b
+=，
得2
b y a =±，由题意知221b a
=，即22a b =.
又c e a =
=
，所以2a =，1b =.
所以椭圆W 的方程为2
214
x y +=.
（2）解法一：
依题意直线CD 斜率不为0，设CD 的方程为1x my =+，
联立方程22
114
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22
(4)230m y my ++-=， 由题意，得>0∆恒成立，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，
所以12224m y y m +=-
+，122
3
4
y y m =-+ 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =
--.令4x =，得1
12(4,)2
y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =
+，1
13(2)
AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)
23(2)3(2)(2)
AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=
-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)()3y x y x y my y my +=--+--
121226623()04
m m
my y y y m -+=-+=
=+，
0AD AM k k ∴-=.所以A ，D ，M 三点共线.
解法二：
当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =， 代入椭圆W
的方程，得(1,
2C
，(1,2
D ， 直线CB
的方程为2)y x =-.
则(4,M
，(6,AM =u u u u r
，(3,AD =u u u r ，
所以2AM AD =u u u u r u u u r
，即A ，D ，M 三点共线.
当直线CD 的斜率k 存在时，
设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 联立方程22 (1), 1,4y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 由题意，得>0∆恒成立，故2
122841k x x k +=+，21224441
k x x k -=+. 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--.令4x =，得112(4,)2
y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，
则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)
AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)
AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+
121225()8kx x k x x k =-++22
224482584141
k k k k k k k -=⨯-⨯+++0= 所以0AD AM k k -=.
所以A ，D ，M 三点共线.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
23．中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．
（1）试用x ，y 表示L ；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
【答案】（1
）822()L x y =++（2
）16+【解析】
试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长15x -，竖直方向每根支条长为132
y -，因此所需木料的长度之和
L 2(15)4(13)82y x =-+-+
=822()x y ++（2）先确定范围由152,{132,2
x y -≥-≥可得1301311x ≤≤，再由面积为130 cm2，得1132xy =
，转化为一元函数260822()L x x =++，令260t x x =+
，则82L =+在372[33,
]11
t ∈上为增函数，解得L
有最小值16+ 试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm
=cm ．从而，所需木料的长度之和
L 2(15)4(13)82y x =-+-+
=822()x y ++cm ． （2）由题意，1132xy =，即260
y x =，又由152,{132,2x y -≥-≥可得1301311x ≤≤
．所以260822()L x x =++． 令260
t x x =+，其导函数226010x -
<在1301311x ≤≤上恒成立，故260t x x =+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈
．则26082()]L x x
=++
82]t =+
=82+．
因为函数y =
y =372[33,]11
t ∈
上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L 有最
小值16+16+长的条形木料．考点：函数应用题。