泰宁县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

泰宁县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）
A ．﹣12
B ．﹣10
C ．﹣8
D ．﹣6
2． 若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．143
．
已
知
，
若圆
：
，
圆
：
2->a 1O 01582222=---++a ay x y x 2O 恒有公共点，则的取值范围为（ ）.
04422222=--+-++a a ay ax y x a A ． B ． C ． D ．),3[]1,2(+∞-- ),3()1,35(+∞-- ),3[]1,3
5
[+∞-- )
,3()1,2(+∞-- 4． 已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y ﹣1=0； ②x 2+y 2=3； ③+y 2=1； ④
﹣y 2=1．
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
5． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（
）
A ．2：1
B ．5：2
C ．1：4
D ．3：1
6． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（
）
A ．{， }
B ．{，， }
C ．{V|≤V ≤}
D ．{V|0＜V ≤}
7． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
8． 设函数f （x ）=
则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）
A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）
B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）9． 过点，的直线的斜率为，则（ ）),2(a M -)4,(a N 21
-=||MN A ．
B ．
C ．
D ．10180365
610．已知均为正实数，且，，，则（ ）
,,x y z 22log x
x =-22log y
y -=-22log z z -=A ．
B ．
C ．
D ．x y z <<z x y <<z y z <<y x z
<<11．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设集合A={x|x 2+x ﹣6≤0}，集合B 为函数的定义域，则A ∩B=（ ）
A ．（1，2）
B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
二、填空题
13．已知函数，，则 ，的值域
21,0()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()21x
g x =-((2))f g =[()]f g x 为
．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.14．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．
15．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是 ；
①直线l的倾斜角为α；
②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值；
③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交；
④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；
⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．
16．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为 ．
17．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．　
18．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；
②在区间（1，3）内f（x）是减函数；
③在x=2时，f（x）取得极大值；
④在x=3时，f（x）取得极小值．
其中正确的是 ．
三、解答题
∆斜边BC上一点，AC=.
19．（本题12分）如图，D是Rt BAC
（1）若22BD DC ==，求AD ；（2）若AB AD =，求角B .
20．在△ABC 中，cos2A ﹣3cos （B+C ）﹣1=0．（1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．
21．圆锥底面半径为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
1cm
22．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=
，求证：．()00f x '>23．已知函数f （x ）=x ﹣1+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值．
24．在中，，，.
（1）求的值;
（2）求
的值。

泰宁县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由已知得f ′（x ）=4x 3cosx ﹣x 4sinx+2mx+1，令g （x ）=4x 3cosx ﹣x 4sinx+2mx 是奇函数，
由f ′（x ）的最大值为10知：g （x ）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f ′（x ）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C ．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．　
2． 【答案】A 【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．
10a >0d <
3． 【答案】C
【解析】由已知，圆的标准方程为，圆的标准方程为
1O 2
2
2
(1)()(4)x y a a ++-=+2O ，∵ ，要使两圆恒有公共点，则，即
222
()()(2)x a y a a ++-=+2->a 122||26O O a ≤≤+，解得或，故答案选C
62|1|2+≤-≤a a 3≥a 1
35
-≤≤-a 4． 【答案】 D
【解析】解：要使这些曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|，需曲线与MN 的垂直平分线相交．
MN 的中点坐标为（﹣，0），MN 斜率为
=
∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．
②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
故选D
5．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．
∴两个圆锥的体积比为：=1：3．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；
当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；
所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．
故选：D．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．
7．【答案】A
【解析】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3
如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A．
9．【答案】D
【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.
10．【答案】A
【解析】
考点：对数函数，指数函数性质．
11．【答案】A
【解析】解：几何体如图所示，则V=，
故选：A ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．　
12．【答案】D
【解析】解：A={x|x 2+x ﹣6≤0}={x|﹣3≤x ≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=
有意义，则x ﹣1＞0，即x ＞1，
∴函数的定义域B=（1，+∞），则A ∩B=（1，2]，故选：D ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y 以及利用不等式的解法求出集合A 是解决本题的关键，比较基础　
二、填空题
13．【答案】，. 2[1,)-+∞【
解
析
】
14．【答案】　114　．
【解析】解：根据题目要求得出：
当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114．
故答案为：114
【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．
15．【答案】　②③④　
【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；
对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），
可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；
对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，
如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；
对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；
对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．
16．【答案】　（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）　
【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减，
∴f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，
即f（2）=0，
由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得xf（x）＜0⇔或，
解得x＜﹣2或x＞2，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
17．【答案】 ．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
18．【答案】　③　．
【解析】解：由y=f'（x）的图象可知，
x ∈（﹣3，﹣），f'（x ）＜0，函数为减函数；
所以，①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数；不正确；
②在区间（1，3）内f （x ）是减函数；不正确；
x=2时，y=f'（x ）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，
③在x=2时，f （x ）取得极大值；
而，x=3附近，导函数值为正，
所以，④在x=3时，f （x ）取得极小值．不正确．
故答案为③．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）2=AD ；（2）3π
=B .
【解
析】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.
20．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
∴2cos2A+3cosA﹣2=0，…2分
∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分
又∵0＜A ＜π，
∴A=…6分
（2）∵a=2RsinA=
，…又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2﹣bc ≥bc ，
∴bc ≤3，当且仅当b=c 时取等号，…
∴S △ABC =bcsinA=bc ≤，∴三角形面积的最大值为
． …　
21．
．【解析】试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，得圆锥的轴截面，正方体对S CD SEF 角面，如图所示．
11CDD C 设正方体棱长为，则，，
1CC x =11C D =
作于，则，，SO
EF ⊥O SO =
1OE =∵，∴
1ECC EOS ∆∆:11CC EC SO EO
=
=∴．x =cm 考点：简单组合体的结构特征．
22．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.()2
6ln f x x x x =--3n =【解析】
试
题解析： （1），所以，
()2a f'x x b x =+-(1)251
(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧
⇒⎨⎨=+==⎩⎩∴函数的解析式为；
()f x 2()6ln (0)f x x x x x =-->（2），
22626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x --=--⇒=--=因为函数的定义域为，
()f x 0x >令或，
(23)(2)
3
'()02x x f x x x +-==⇒=-2x =当时，，单调递减，
(0,2)x ∈'()0f x <()f x 当时，，函数单调递增，
(2,)x ∈+∞'()0f x >()f x 且函数的定义域为，
()f x 0x >
（3）当时，函数，
1a =2()ln f x x bx x =+-
，，
21111()ln 0f x x bx x =+-=22222()ln 0f x x bx x =+-=两式相减可得，．22121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=121212
ln ln ()x x b x x x x -=-+-，，因为，1'()2f x x b x =+-0001'()2f x x b x =+-1202
x x x +=所以1
2120121212
ln ln 2'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+212121221221122112211121ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设，，211x t x =>2(1)()ln 1
t h t t t -=-+∴，22
22214(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++所以在上为增函数，且，
()h t (1,)+∞(1)0h =∴，又，所以．()0h t >21
10x x >-0'()0f x >考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f （x ）=x ﹣1+，得f ′（x ）=1﹣，
又曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，
∴f ′（1）=0，即1﹣
=0，解得a=e ．（Ⅱ）f ′（x ）=1﹣，
①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f （x ）无极值；
②当a ＞0时，令f ′（x ）=0，得e x =a ，x=lna ，
x ∈（﹣∞，lna ），f ′（x ）＜0；x ∈（lna ，+∞），f ′（x ）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
24．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）在中，根据正弦定理，，
于是
（Ⅱ）在中，根据余弦定理，得
于是
所以。