江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学(文)试题

1. 若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 两圆和的位置关系是（）
A. 内切
B. 内含
C. 外切
D. 外离
3. 如果椭圆上一点P到它的右焦点距离是6,那么点P到它的左焦点的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．8
4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则该抛物线的方程是( )
A． B. C. D.
5. 已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是( )
A. B.或
C. D.或
6. 设椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左,右焦点分别为,是椭圆上的一点，，原点O到直线的
距离为,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 已知是椭圆的两焦点，经点的直线交椭圆于点，若，则等于（）A．11 B．10 C．9 D．16
8. 双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线
右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
9. 已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则( )
A. B. C. D.
10. 如果椭圆的弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是( )
A．B．
C．D．
11. 过椭圆上一点作圆的两条切线，点A，B为切点，O为坐标原点，则△AOB的面积
为()
A. B. C．1 D.
12. 设分别是椭圆
22
22
()
10
x y
a b
a b
+=＞＞的左、右焦点，若在直线上存在，使线段的中垂
线过点，则椭圆离心率的取值范围是()
A． B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 空间直角坐标系中，在轴上与点和点等距离的点的坐标为__________.
14. 直线被圆截得的弦长为__________.
15. 若椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，则使得最小的的坐标为
_________.
16. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为_________.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）
17.（本小题满分10分）
已知直线过点且与圆相交于两点，.求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知动圆M 经过点，且与圆内切.
(Ⅰ)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；
(Ⅱ)求轨迹E 上任意一点到原点的距离的最小值，并求取得最小值时的点M 的坐标.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点,且．求抛物线的方程.
20.（本小题满分12分） 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 与直线：交于不同的两点，原点到该直线的距离为，且椭圆的离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)是否存在实数k ，使直线交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点？若存在，
求出的值；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线的焦点为,且离心率为2；
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
(Ⅱ)若经过点的直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.
22.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
南昌二中2014—2015学年度上学期期中考试
高二数学（文科）参考答案
一、选择题
二、填空题
三、解答题
18.解析：①依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知到两个定点、的距离的和为常数，并且常数大于，所以点的轨迹为以A、C焦点的椭圆，可以求得，，，
所以曲线的方程为．
②22
||
d BM x y
==+==
所以，当时，最小。

所以，；
19. 解析：由题可知，则该直线方程为：
代入得：，
设，则有∵，∴，即，解得∴抛物线的方程为：．
20.解析：①由点到直线的距离得d=
3
1
1
|
|
2
3
+
=
b
解得：∴椭圆方程是
1
3
2
2
=
+y
x
21. （Ⅰ）设双曲线方程为
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>，
∵122||||||2,a PF PF =-=∴，双曲线方程为
（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，得直线的斜率 ∴直线的方程为即，代入方程得，2442(7)720∆=-⋅⋅-=>，故所求的直线方程为。

（2）由,知，从而直线与坐标轴不垂直.
由可设直线的方程为，
直线的方程为
将代入椭圆方程并整理得 解得，因此的坐标为2266(,1)1313k k k k
--+++， 即
将上式中的换成，得 直线的方程为22
2222222
31363313()6633313k k k k k k y x k k k k k k ----++=-+++++ 化简得得方程为
因此直线过定点
（解法2）由直线的斜率存在，则可设直线的方程为
， 代入椭圆的方程2
213
x y += 并整理得: 222(13)63(1)0k x mkx m +++-=,
设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，
从而22222(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->
212122263(1),1313mk m x x x x k k
-+=-=++ 由得
2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=
222223(1)6(1)(1)()(1)01313m mk k k m m k k
-+⋅+-⋅-+-=++ 整理得：
(21)(1)0,m m +-=由知. 此时29(41)0k ∆
=+>, 因此直线过定点.。