第六章 实数单元 易错题提高题学能测试试卷

第六章 实数单元 易错题提高题学能测试试卷
一、选择题
1．若()2320m n -++=，则m n +的值为( )
A ．5-
B ．1-
C ．1
D ．5
2．2，估计它的值( ) A ．小于1 B ．大于1 C ．等于1
D ．小于0 3．若2(1)|2|0x y -++=，则x y +的值等于（ ）
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1 4．下列各数是无理数的为（ ） A ．-5
B ．π
C ．4.12112
D ．0 5．若一个正方形边长为a ，面积为3，即23a =，可知a 是无理数，它的大小在下列哪两个数之间( )
A ．1.5 1.6a <<
B ．1.6 1.7a <<
C ．1.7 1.8a <<
D ．1.8 1.9a <<
6．下列各式正确的是( )
A 4=±
B 143=
C 4=-
D 4=
7．有下列四种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③平方根等于它本身的数为0和1；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数；
其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行；
②立方根等于它本身的数只有0；
③两条边分别平行的两个角相等；
④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9．若m 、n 满足()210m -+=的平方根是（ ）
A ．4±
B ．2±
C ．4
D ．2 10．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个 二、填空题
11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．
12．写出一个3到4之间的无理数____．
13．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．
14．下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，928
…，那么第n 个数是__． 15．有若干个数，第1个数记作1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ,……，第n 个数记为n a ，若1a =13
，从第2个数起，每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数，则2019a =_____．
16．31.35 1.105≈3135 5.130≈30.000135-≈________．
17．已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ，实数y 的立方根为-a 2x y +的值为______．
18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________ 19．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．
20．若x ，y 为实数，且|2|30x y ++-=，则(x+y) 2012的值为____________．
三、解答题
21．阅读型综合题
对于实数x y ，我们定义一种新运算(),L x y ax by =+（其中a b ，均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x y ，叫做线性数的一个数对．若实数 x y ，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x y ，叫做正格线性数的正格数对．
（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1L = ，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
； （2）已知(),3L x y x by =+，31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
．若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由．
22．（1）观察下列式子：
①100222112-=-==；
②211224222-=-==；
③322228442-=-==；
……
根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立；
（2）求01220192222++++的个位数字.
23．阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵()232273<
<，即273<<，∴7的整数部分为2，小数部分为
()72-。

请解答
（1）11的整数部分是______，小数部分是_______。

（2）如果5的小数部分为a ，41的整数部分为b ，求5a b +-的值。

（3）已知x 是35+的整数部分，y 是其小数部分，直接写出x y -的值.
24．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是2,37的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．
25．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12
n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122
n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．
（1）计算： 1.87<>= ；π= ；
（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围，
②求满足43
x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程21122
a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围． 26．在已有运算的基础上定义一种新运算⊗：x y x y y ⊗=-+，⊗的运算级别高于加
减乘除运算，即⊗的运算顺序要优先于+-⨯÷、、、
运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算：()53⊗-= ；
（2）若35x ⊗=，则x = ；
（3）在数轴上，数x y 、的位置如下图所示，试化简：1x y x ⊗-⊗；
（4）如图所示，在数轴上，点A B 、分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点A 向正方向运动，点B 向负方向运动，t 秒后点A B 、分别运动到表示数a 和b 的点所在的位置，当2a b ⊗=时，求t 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
由题意得，m-3=0，n+2=0，
解得m=3，n=-2，
所以，m+n=3+（-2）=1．
故选：C ．
【点睛】
此题考查非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2．A
解析：A
【分析】
首先根据479<<可以得出273<
<72的范围即可. 【详解】 ∵273<<， ∴227232-<
<-， ∴0721<<， 72-的值大于0，小于1.
所以答案为A 选项.
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.
3．C
解析：C
根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
根据题意得，x-1=0，y+2=0，
解得x=1，y=-2，
所以x+y=1-2=-1．
故选：C ．
【点睛】
此题考查绝对值和算术平方根的非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．B
解析：B
【分析】
根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
【详解】
解：A. -5是有理数，该选项错误；
B. π是无理数，该选项正确；
C. 4.12112是有理数，该选项错误；
D. 0是有理数，该选项错误.
故选：B
【点睛】
本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方
0.1010010001…，等. 5．C
解析：C
【分析】
分别计算出1.5、1.6、1.7、1.8、1.9的平方，然后与3进行比较，即可得出a 的范围.
【详解】
解：∵22222
1.5
2.25,1.6 2.56,1.7 2.89,1.8
3.24,1.9 3.61=====
又2.89＜3＜3.24
∴1.7 1.8a <<
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，利用平方法是解题关键． 6．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.
=，故原选项错误；
4
=，故原选项错误；
D. 4
=，计算正确，故此选项正确.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.
7．C
解析：C
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．
【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
=；
2
③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
利用平行线的性质、立方根及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故错误，是假命题；
②立方根等于它本身的数有0，±1，故错误，是假命题；
③两条边分别平行的两个角相等或互补，故错误，是假命题；
④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，
真命题有1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、立方根及互补的定义等知识，难度不大．
9．B
【分析】
根据非负数的性质列式求出m、n，根据平方根的概念计算即可．
【详解】
由题意得，m-1=0，n-15=0，
解得，m=1，n=15，
=4,
4的平方根的±2，
故选B．
【点睛】
考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据立方根的定义，可以先设出这个数，然后列等式进行求解．
【详解】
设这个说为a，
=，
a
∴3a=a，
∴a=0或±1，
故选C.
【点睛】
本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键.
二、填空题
11．、、、．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
解析：53、17、5、1．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；
则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为：53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
12．π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解． 解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
解析：π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
13．5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,
∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,
∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：2213
n n -+ 【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,
∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,
∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3
n n -+. 15．-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．
【详解】
解：=
……
所以数列以，，三个数循环，
所以==
故答案为：．
【
解析：-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即111n n a a +=
-，即可求得2a 、3a 、4a ……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定2019a ．
【详解】
解：1a =13 21
31
213a ==-
31
2312a ==--
411123
a ==+ …… 所以数列以
13，32，2-三个数循环， 20193673÷=
所以2019a =3a =2-
故答案为：2-．
【点睛】
通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
16．-0.0513
【分析】
根据立方根的意义，中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．
【详解】
因为
所以-0.0513
故答案为：-0.0513
【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方
解析：-0.0513
【分析】
n =中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．
【详解】
5.130≈
≈-0.0513
故答案为：-0.0513
【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方根的定义是关键．
17．3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，熟
解析：3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴25,8x y ==-，
∴=，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．
18．2个
【分析】
①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即
解析：2个
【分析】
①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．
【详解】
=，故①错误；
①10
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；
与的和是0，是有理数，故说法错误；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确．
故正确的是②⑥共2个．
故答案为：2个．
【点睛】
此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无
π也是无理数．19．12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
6
a==
479
<<
<<23
<<
∴
的整数部分是2，即2
b=
则6212
ab=⨯=
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．
20．1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x、y的值，再代入计算有理数的乘方即可．
【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了
解析：1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x、y的值，再代入计算有理数的乘方即可．
【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
20
30 x
y
+=⎧
⎨
-=⎩
解得23x y =-⎧⎨=⎩
则201220122012()(23)11x y +=-+==
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的乘方运算，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
三、解答题
21．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为()26L ，
【分析】
（1）根据定义，直接代入求解即可；
（2）将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
代入(),3L x y x by =+求出b 的值，再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+，表示出kx ，再根据题干分析即可．
【详解】
解：（1）∵(),3L x y x y =+
∴()2,1L =5，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3 故答案为：5，3；
（2）有正格数对． 将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
代入(),3L x y x by =+， 得出，1111323232L b ⎛⎫
=⨯
+⨯= ⎪⎝⎭，， 解得，2b =，
∴()32L x y x y =+，，
则()3218L x kx x kx =+=， ∴1832
x kx -=
∵x ，kx 为正整数且k 为整数 ∴329k +=，3k =，2x =，
∴正格数对为：()26L ，
． 【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．
22．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.
【分析】 （1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可.
【详解】
（1）11222n n n ---=
理由是：122n n --
11122n n +--=-
11222n n --=⨯-
()1212n -=-⨯
12n -=
（2）原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-
2020022=-
()505421=-
505161=-
因为6的任何整数次幂的个位数字为6.
所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5.
【点睛】
本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键.
23．（1）33； （2）4；（3）x ﹣y=7．
【解析】
【分析】
（1）由3
4可得答案；
（2）由2
＜3知2，由67知b=6，据此求解可得；
（3）由2＜3知5＜6，据此得出x 、y 的值代入计算可得．
【详解】
（1）∵3
4，
3﹣3；
故答案为3﹣3．
（2）∵23，
∴2，
∵67，
∴b=6，
∴a+b 2+6．
（3）∵2
3，
∴5＜6，
∴x=5，小数部分为2．
则x ﹣y=52）=5
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．
24．6±
【分析】
根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．
【详解】
解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩
， 解得54
x y =⎧⎨=⎩，
36<<
67∴<
<， 6z ∴=，
424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，
故42x y z ++的平方根是6±．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．
25．（1）2，3 （2）①
5722x ≤<②330,,42
（3）00.5a ≤< 【分析】
（1）根据新定义的运算规则进行计算即可； （2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =
-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．
【详解】
（1） 1.87<>=2；=3；
（2）①∵12x <->=
∴1121222
x --<+≤ 解得5722
x ≤<； ②∵43
x x <>= ∴41413232
x x x -<+≤ 解得3322
x -<≤ ∵43
x 为整数 ∴333,0,,442
x =- 故所有非负实数x 的值有330,,
42； （3）21122
a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-
22x a =-<>
∵方程的解为正整数
∴21a -<>=或2
①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去
②当22a -<>=时，00.5a ≤<．
【点睛】
本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．
26．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x ；（4）t 1=3；t 2=
53
【分析】
（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；
（3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x 、y 的取值范围进行化简即可；
（4）根据A 、B 在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数a 和b ，再根据（2）的解题思路即可得到结果．
【详解】
解：（1）5(3)5(3)(3)5⊗-=--+-=；
（2）依题意得：335-+=x ， 化简得：3=2-x ，
所以32x -=或32x -=-，
解得：x =5或x =1；
（3）由数轴可知：0<x <1，y <0，
所以1x y x ⊗-⊗ = (1)()-+--+x x y x x
=1-++--x x y x x
=12+-y x
（4）依题意得：数a =−1+t ，b =3−t ；
因为2a b ⊗=， 所以(1)(3)32-+--+-=t t t ， 化简得：241-=-t t ，
解得：t =3或t =53
， 所以当2a b ⊗=时，t 的值为3或
53． 【点睛】
本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键．。