5.1.1 任意角-2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案

§5.1.1 任意角
导学目标：
（1）理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解象限角、坐标轴上的角的概念．（2）掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法．
（预习教材P130~ P135，回答下列问题）
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、转体900度就是一个角的概念．
回忆1：三角形的内角和为；四边形的内角和为；
回忆2：初中角的定义：
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
那么，你能表示下列问题当中的角度吗？
（1）体操运动员比赛中的转体900，如何表示？
（2）汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度如何表示？
【知识点一】角的定义及正角、负角和零角
一条射线OA绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，其中射线OA叫角α的始边，
射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点．
第五章 三角函数
- 2 -
为了区别起见，把按逆时针方向旋转所形成的角叫 ，
把按顺时针方向旋转所形成的角叫 ，
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 ．
一般地“角α”或“∠α”可简记为 ．
自我检测1-1：请说出右图三个角αβγ、、各是多少度？含义是什么？
自我检测1-2：对于给定的两角α、β，我们如何定义αβ±呢？
已知角α如图所示，请在图中作出90α±，180α±．
90α± 180α±
【知识点二】象限角和轴上角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时， （1）角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角， （2）角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 自我检测2-1：下图角1、2、3分别属于第几象限角？
自我检测2-2：判断对错
（1）第一象限角都是锐角（ ） （2）锐角都是第一象限角（ ） （3）小于90的角都是第一象限角（ ）
【知识点三】终边相同的角
观察右图，试试说出角30、390、330-之间有何关系？ 你还能否找到满足上述关系的角呢？ 若有，我们该怎么表示呢？
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合{}360,S k k Z ββα=
=+∈，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． （2）α是任一角；
（3） 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍．
自我检测3：和30终边重合的角如何表示： ．
【知识点四】终边落在一个区域内的角的表示方法
（1）终边落在x 正半轴上的角： （2）终边落在y 正半轴上的角： （3）终边落在x 负半轴上的角： （4）终边落在y 负半轴上的角： （5）终边落在y 轴上的角： （6）终边落在坐标轴上的角：
（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角： （8）终边落在第一象限内的角：
第五章 三角函数
- 4 -
题型一 任意角的概念及应用
【例1】(1)若角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角； ②相等的角的终边一定相同；
③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角． 其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
题型二 终边相同的角的表示方法
【例2-1】在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1）120-； （2）640； （3）95012'-．
【例2-2】已知角2019α=．
（1）把α改写成·
360(0360)k k Z ββ+∈≤<，的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α终边相同，且360720θ-≤<．
题型三 象限角的表示方法
【例3-1】写出角α的终边在下列位置时的集合S ． （1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； （2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．
【例3-2】若α为第一象限角，则
2
α
是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角
C ．第一或第二象限角
D ．第一或第三象限角
1．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
第五章 三角函数
- 6 -
2．在0~360范围内，与70-终边相同的角是（ ）
A ．70
B ．110
C ．150
D ．290
3．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是（ ）
A ．{}45360,k k Z αα=+⋅∈
B ．{}135180,k k Z αα=-+⋅∈
C ．{}135360,k k Z αα=-+⋅∈
D ．{}135180,k k Z αα=+⋅∈
4．
2
θ
的终边在第三象限，则θ的终边可能在（ ） A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、二象限或y 轴非负半轴
D ．第三、四象限或y 轴非正半轴
5．若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β满足的关系式为（ ）
A ．360,k k Z βα︒=+⋅∈
B ．180360,k k Z βα︒=++⋅∈
C ．360,k k Z βα︒=-+⋅∈
D ．180360,k k Z βα︒︒=-++⋅∈
§5.1.1 任意角答案
导学目标：
（1）理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解象限角、坐标轴上的角的概念．（2）掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法．
（预习教材P130~ P135，回答下列问题）
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、转体900度就是一个角的概念．
回忆1：三角形的内角和为；四边形的内角和为；
回忆2：初中角的定义：
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
那么，你能表示下列问题当中的角度吗？
（1）体操运动员比赛中的转体900，如何表示？
（2）汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度如何表示？
【知识点一】角的定义及正角、负角和零角
一条射线OA绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，其中射线OA叫角α的始边，
射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点．
第五章 三角函数
- 8 -
为了区别起见，把按逆时针方向旋转所形成的角叫 ，
把按顺时针方向旋转所形成的角叫 ，
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 ．
一般地“角α”或“∠α”可简记为 ．
自我检测1-1：请说出右图三个角αβγ、、各是多少度？含义是什么？
自我检测1-2：对于给定的两角α、β，我们如何定义αβ±呢？
已知角α如图所示，请在图中作出90α±，180α±．
90α± 180α±
【知识点二】象限角和轴上角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时， （1）角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角， （2）角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 自我检测2-1：下图角1、2、3分别属于第几象限角？
自我检测2-2：判断对错
（1）第一象限角都是锐角（ ） （2）锐角都是第一象限角（ ） （3）小于90的角都是第一象限角（ ）
【知识点三】终边相同的角
观察右图，试试说出角30、390、330-之间有何关系？ 你还能否找到满足上述关系的角呢？ 若有，我们该怎么表示呢？
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合{}360,S k k Z ββα=
=+∈，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． （2）α是任一角；
（3） 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍．
自我检测3：和30终边重合的角如何表示： ．
【知识点四】终边落在一个区域内的角的表示方法
（1）终边落在x 正半轴上的角： （2）终边落在y 正半轴上的角： （3）终边落在x 负半轴上的角： （4）终边落在y 负半轴上的角： （5）终边落在y 轴上的角： （6）终边落在坐标轴上的角：
（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角： （8）终边落在第一象限内的角：
第五章 三角函数
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题型一 任意角的概念及应用
【例1】(1)若角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角； ②相等的角的终边一定相同；
③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角． 其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
题型二 终边相同的角的表示方法
【例2-1】在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1）120-； （2）640； （3）95012'-． 【答案】（1）三；（2）四；（3）二．
【例2-2】已知角2019α=．
（1）把α改写成·
360(0360)k k Z ββ+∈≤<，的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α终边相同，且360720θ-≤<． 【答案】（1）由2019除以360，得商为5，余数为219， ∴取5k =，219β=，5360219α=⨯+， 又
219β=是第三象限角，
∴α为第三象限角；
（2）与2019终边相同的角为·
36020()19k k Z +∈， 令360360201(970)2k k Z -≤⋅+<∈， 解得：736120k -≤<733120
- ()k Z ∈ 654k ∴=---，，，
将k 的值代入·3602019k +中，
得角θ的值为141219579-，，．
题型三 象限角的表示方法
【例3-1】写出角α的终边在下列位置时的集合S ．
（1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）；
（2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．
【答案】（1）{}180********,k k k Z αα⋅︒+︒≤≤⋅︒+︒∈；
（2）{}6036060360,k k k Z αα-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈．
【例3-2】若α为第一象限角，则
2α是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第二象限角
D ．第一或第三象限角
【答案】D
第五章 三角函数
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1．“α是锐角”是“α是第一象限角”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】A 2．在0~360范围内，与70-终边相同的角是（ ）
A ．70
B ．110
C ．150
D ．290 【答案】D
3．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是（ ） A ．{}
45360,k k Z αα=+⋅∈
B ．{}135180,k k Z αα=-+⋅∈
C ．{}135360,k k Z αα=-+⋅∈
D ．{}135180,k k Z αα=+⋅∈ 【答案】B
4．2
θ的终边在第三象限，则θ的终边可能在（ ） A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、二象限或y 轴非负半轴
D ．第三、四象限或y 轴非正半轴
【答案】C
5．若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β满足的关系式为（ ）
A ．360,k k Z βα︒=+⋅∈
B ．180360,k k Z βα︒=++⋅∈
C ．360,k k Z βα︒=-+⋅∈
D ．180360,k k Z βα︒︒=-++⋅∈
【答案】D。