＜合集试卷3套＞2019年上海市奉贤区九年级上学期期末质量跟踪监视数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为3米，同时与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（）
A．3.2米B．4.8米C．5.2米D．5.6米
【答案】A
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为，1.6
36
x
,
解得，x=3.1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
2．把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）
A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
【答案】C
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．下列二次函数的开口方向一定向上的是（）
A．y=-3x2-1 B．y=-1
3
x2+1 C．y=
1
2
x2+3 D．y=-x2-5
【答案】C
【解析】根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系逐一判断即可. 【详解】解: A. y=-3x2-1中,﹣3＜0,二次函数图象的开口向下,故A不符合题意;
B. y=-1
3
x2+1中, -
1
3
＜0,二次函数图象的开口向下,故B不符合题意;
C. y=1
2
x2+3中,
1
2
＞0,二次函数图象的开口向上,故C符合题意;
D. y=-x2-5中, -1＜0,二次函数图象的开口向下,故D不符合题意;
故选:C.
【点睛】
此题考查的是判断二次函数图像的开口方向，掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解决此题的关键.
4．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
解答：解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故选A．
5．如图，⊙O是ABC的外接圆，已知AD平分BAC
∠交⊙O于点D，交BC于点E，若7
AD=，2
BD=，则DE的长为（）
A．4
7
B．
2
7
C．
4
49
D．
16
49
【答案】A
【分析】先根据角平分线的定义、圆周角定理可得BAD EBD
∠=∠，再根据相似三角形的判定定理得出ABD BED
∆~∆，然后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】AD平分BAC
∠
BAD CAD
∴∠=∠
∴弧BD与弧CD相等
BAD EBD ∴∠=∠
又ADB BDE ∠=∠
ABD BED ∴∆~∆ AD BD BD DE ∴=，即722DE
= 解得47DE = 故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质，利用圆周角定理找到两个相似三角形是解题关键．
6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED ＝∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE 和△BDF 相似的是( )
A ．EA ED BD BF =
B ．EA ED BF BD =
C ．A
D A
E BD B
F = D ．BD BA BF BC = 【答案】C
【解析】试题解析：C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
必须是夹角，但是A ∠不一定等于.B ∠
故选C.
点睛：三角形相似的判定方法：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
三边的比相等，两三角形相似.
7．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A ．5π
B ．10π
C ．20π
D ．40π 【答案】B
【分析】利用圆锥面积=Rr 计算.
【详解】Rr =
2510，
故选：B.
【点睛】
此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答. 8．函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①b 2－4c ＞1；②b ＋c ＝1；③3b ＋c ＋6＝
1；④当1＜x ＜3时，2(1)x b x c ＜1．其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【分析】利用二次函数与一元二次方程的联系对①进行判断；利用1x =，1y =可对②进行判断；利用3x =，3y =对③进行判断；根据13x <<时，2x bx c x ++<可对④进行判断 ． 【详解】解：抛物线与x 轴没有公共点，
∴△240b c =-<，所以①错误；
1x =，1y =，
11b c ∴++=，
即0b c +=，所以②正确；
3x =，3y =，
933b c ∴++=，
360b c ∴++=，所以③正确；
13x <<时，2x bx c x ++<，
2(1)0x b x c ∴+-+<的解集为13x <<，所以④正确 ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．已知抛物线2
y ax bx c ++＝（其中,,a b c 是常数，0a ＞）的顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭．有下列结论： ①若0m ＞，则260a b c ++＞；
②若点1(,)n y 与2(
2,)n y ﹣在该抛物线上，当12
n ＜时，则12y y ＜； ③关于x 的一元二次方程210ax bx c m ++--＝有实数解．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质一一进行判断即可得出答案. 【详解】解：①抛物线2y ax bx c ++＝（其中,,a b c 是常数，0a ＞）顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 122
b a ∴-=， b a ∴=-，
266a b c a c ∴++=-+
24444
ac b c a m a --==， ∴c ＞4
a ＞0 240a
b
c ∴++＞
260a b c ＞∴++．
故①小题结论正确； ②顶点坐标为11,,22m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＜， ∴点1,n y （）关于抛物线的对称轴12
x ＝的对称点为11,n y （﹣） ∴点11,n y （﹣）与232,2n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
在该抛物线上， 3112022n n n ⎛⎫---- ⎪⎝⎭
＝＜， ∴3122
n n -﹣＜， 0a ＞，
∴当12
x >时，y 随x 的增大而增大， 12y y ∴＜
故此小题结论正确； ③把顶点坐标1
,2m （）代入抛物线2y ax bx c ++＝中，得1142
m a b c ++＝， ∴一元二次方程210ax bx c m ++﹣﹣＝中，
2444b ac am a +＝﹣﹣
21144442b ac a a b c a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
＝--
24a b a +＝（）﹣
b a =-
40a ∴=-＜，
∴关于x 的一元二次方程210ax bx c m +-+-＝无实数解．
故此小题错误．
故选：C ．
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合性题目，具有一定的难度，需要学生熟练掌握二次函数的性质并能够熟练运用.
10．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（ ）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．24 【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.
【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直且平分,
∴勾股定理求出菱形的边长=5,
∴菱形的周长=20,
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形对角线的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
11．一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞﹣2
B ．k ＜﹣2
C ．k ＜2
D ．k ＞2 【答案】D
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得△0>，即可求解.
【详解】∵一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+2=0有两个不相等的实数根，
∴△()222k 41
k k 20=--+>﹣， 解得k ＞2.故选D.
【点睛】
本题考查一元二次方程△与参数的关系，列不等式是解题关键.
12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sinA ＝
45，则AC ＝（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】A
【分析】先根据正弦的定义得到sinA=BC AB =45
，则可计算出AB=5，然后利用勾股定理计算AC 的长． 【详解】如图，
在Rt △ACB 中，∵sinA ＝
BC AB ， ∴445
AB =， ∴AB ＝5，
∴AC ＝22AB BC -＝1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，点,A B 的坐标分别为(2,0),(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则+a b 的值为_____．
【答案】1
【分析】由图可得到点B 的纵坐标是如何变化的，让A 的纵坐标也做相应变化即可得到b 的值；看点A 的横坐标是如何变化的，让B 的横坐标也做相应变化即可得到a 的值，相加即可得到所求．
【详解】由题意可知：a=0+（3-1）=1；b=0+（1-1）=1；
∴a+b=1．
故答案为：1.
【点睛】
此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．
14．将抛物线2y x 向下平移5个单位，那么所得抛物线的函数关系是________．
【答案】25y x =-
【分析】先确定抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律写出平移后顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：2y x 的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向下平移5个单位得到的对应点的坐标为(0,5)-，所以平移后的抛物线的解析式是25y x =-．
故答案为：25y x =-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝3，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为____．
【答案】1
【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出∠AOP ，根据切线的性质求出∠OAP ＝90°，解直角三角形求出AP 即可．
【详解】连接OA ，
∵∠ABC ＝10°，
∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，
∵切线PA 交OC 延长线于点P ，
∴∠OAP ＝90°，
∵OA ＝OC 3， ∴AP ＝OA tan60°33＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆的切线问题，掌握圆周角定理、圆的切线性质是解题的关键．
16．已知点P是正方形ABCD内部一点，且△PAB是正三角形，则∠CPD＝_____度．
【答案】1
【解析】如图，先求出∠DAP＝∠CBP＝30°，由AP＝AD＝BP＝BC，就可以求出∠PDC＝∠PCD＝15°，进而得出∠CPD的度数．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB，∠PAB＝∠PBA＝60°，
∴AP＝AD＝BP＝BC，∠DAP＝∠CBP＝30°．
∴∠BCP＝∠BPC＝∠APD＝∠ADP＝75°，
∴∠PDC＝∠PCD＝15°，
∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣15°﹣15°＝1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用三角形内角和定理是关键．
17．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动中的最大高度是_____米．
【答案】1
【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝30t﹣5t2的顶点坐标即可．
【详解】解：h＝﹣5t2+30t
＝﹣5（t2﹣6t+9）+1
＝﹣5（t﹣3）2+1，
∵a＝﹣5＜0，
∴图象的开口向下，有最大值，
当t＝3时，h最大值＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．
18．在平面直角坐标系中，ABC ∆和''A B C ∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点
()()3, 1, '6, 2B B ．若点()2, 3A , 则'A 的坐标为__________．
【答案】()4,6
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.
【详解】由题意，得
ABC ∆和''A B C ∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，相似比为2
则'A 的坐标为()4,6，
故答案为：()4,6.
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．小王同学在地质广场上放风筝，如图风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小张同学发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上，已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30〫，A 处测得点P 的仰角为45〫，若在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75〫，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 为多少米？（结果保留根号）
【答案】(526AC =． 【分析】利用三角函数求出tan 60BQ PQ =︒⨯,tan45AQ PQ =︒⨯，求出AB 的值，过点P 作PM AC ⊥
于点M,可得60PAC ∠=︒，30APM ∠=︒，利用三角函数可得： 52AM =，56PM =，即可得出AC 的值．
【详解】在Rt BPQ ∆中，10PQ =，30B ∠=︒，
∴tan 60103BQ PQ =︒⨯=,
又∵在Rt APQ ∆中，45PAQ ∠=︒,
∴tan4510AQ PQ =︒⨯=，
∴10(31)AB BQ AQ =+=+（米），
过点P 作PM AC ⊥于点M ，如图所示，
∵75CAD ∠=︒，45PAQ ∠=︒，
∴60PAC ∠=︒，30APM ∠=︒，
∴在Rt APQ ∆中，102AP =，
∴52AM =，56PM =，
∵30B ∠=︒，75CAD ∠=︒，
∴45C CAD B ∠=∠-∠=︒，
在Rt CPM ∆中，56CM PM ==，
∴5(26)AC =+米．
【点睛】
本题考查了仰角、俯角的问题及解直角三角形的应用,解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点C ，点D 是AB 延长线上一点，∠A ＝30°，∠D ＝30°．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
【答案】（1）见解析；（2）MF＝7.
【分析】（1）如图，连接OE，OF，由垂径定理可知BE BF
=，根据圆周角定理可求出∠DOF=60°，根据三角形内角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD为⊙O的切线；（2）如图，连接OM，由中位线的性质可得OM//AE，根据平行线的性质可得∠MOB＝∠A＝30°，根据垂径定理可得OM⊥BE，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，利用勾股定理可求出OM的长，根据三角形内角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF的长即可.
【详解】（1）如图，连接OE，OF，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴BE BF
=，
∴∠DOF＝∠DOE，
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OFD＝90°，
∴OF⊥FD．
∴FD为⊙O的切线.
（2）如图，连接OM，MF，
∵O是AB中点，M是BE中点，
∴OM∥AE．
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴OM⊥BE．
∴MB=1
2
OB=1，
∴22
OB BM
-3∵∠OFD=90°，∠D=30°，
∴∠DOF ＝60°，
∴∠MOF ＝∠DOF+∠MOB=90°，
∴MF ＝22OM OF +＝22(3)2+＝7．
【点睛】
本题考查切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键.
21．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足1a ++（a+b+3）2＝0，平等四边形ABCD 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝k x
经过C 、D 两点．
（1）a ＝ ，b ＝ ；
（2）求D 点的坐标；
（3）点P 在双曲线y ＝k x
上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；
（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，
MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】（1）﹣1，﹣2；（2）D （1，4）；（3）Q 1（0，6），Q 2（0，﹣6），Q 3（0，2）；（4）不变，MN HT 的定值为12
，证明见解析 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值；
（2）故可得出A 、B 两点的坐标，设D （1，t ），由DC ∥AB ，可知C （2，t ﹣2），再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；
（3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝4
x
，再由点P在双曲线y＝
4
x
上，点Q在y轴上，
设Q（0，y），P（x，4
x
），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（4）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MN＝1
2 HT
由此即可得出结论.
【详解】解：（1（a+b+3）2＝0≥0，（a+b+3）2≥0，
∴
10
30 a
a b
+=
⎧
⎨
++=
⎩
，
解得：
1
2
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
,
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，
∴x D＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4,
∴t＝4,
∴D（1，4）；
（3）∵D（1，4）在双曲线y＝k
x
上，
∴k＝xy＝1×4＝4,
∴反比例函数的解析式为y＝4
x
，
∵点P在双曲线y＝k
x
上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，4
x ），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则
1
2
x
-+
＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则
1
22
x
-
=，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴
1
22
x
-
=，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN 是线段HT 的垂直平分线，
∴NT ＝NH ，
∵四边形AFBH 是正方形，
∴∠ABF ＝∠ABH ，
在△BFN 与△BHN 中，
BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△BFN ≌△BHN （SAS ），
∴NF ＝NH ＝NT ，
∴∠NTF ＝∠NFT ＝∠AHN ，
四边形ATNH 中，∠ATN+∠NTF ＝180°，而∠NTF ＝∠NFT ＝∠AHN ，
所以，∠ATN+∠AHN ＝180°，所以，四边形ATNH 内角和为360°，
所以∠TNH ＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∴MN ＝
12
HT ， ∴MN HT ＝12
, 即MN HT 的定值为12. 【点睛】
此题考查算术平方根的非负性，平方的非负性，待定系数法求函数的解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质.
22．解方程：
(1)x 2+3＝4x
(2)3x （x-3）＝-4
【答案】（1）x 1＝3，x 2＝1；（2）x 1＝9+336 ，x 2＝9336
． 【分析】(1)根据因式分解法即可求解；
(2)根据公式法即可求解．
【详解】（1）称项得：x2-4x+3＝0
∵（x-3）（x-1）=0
∴x-3=0，x-1=0
∴x
1＝3，x2＝1
（2）整理得：3x2-9x+4=0
∵a＝3，b＝﹣9，c＝4
∴△＝b2﹣4a c＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0
∴方程有两个不相等的实数根为x＝933 23±
⨯
x1＝9+33
6
，x2＝
933
6
-
．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知解解法．
23．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于点C，交弦AB于点D.已知12
AB=cm，4
CD= c m.
（1）求作此残片所在的圆;(不写作法，保留作图痕迹)
（2）求（1）中所作圆的半径.
【答案】（1）作图见解析；（2）（1）作图见解析；（2）13
2
cm；
【分析】（1）.由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，因为CD垂直平分AB，故作AC的中垂线交CD延长线于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；（2）.在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长即可．
【详解】（1）如图点O即为所求圆的圆心.
（2）连接OA，设OA=xcm，
根据勾股定理得：
x2=62+（x-4）2
解得：x=13
2
cm，
故半径为：13
2
cm.
【点睛】
本题考查垂径定理，垂直于弦的直径，平分弦且平分这条弦所对的两条弧，熟练掌握垂径定理是解题关键. 24．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝1有两根α，β
(1)求m的取值范围；
(2)若α+β+αβ＝1．求m的值．
【答案】(1)m≥﹣；(2)m的值为2．
【解析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】(1)由题意知，(2m+2)2﹣4×1×m2≥1，
解得：m≥﹣；
(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+2)，αβ＝m2，
∵α+β+αβ＝1，
∴﹣(2m+2)+m2＝1，
解得：m1＝﹣1，m1＝2，
由(1)知m≥﹣，
所以m1＝﹣1应舍去，
m的值为2．
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此题的关键．
25．已知：在△ABC中，点D、点E分别在边AB、AC上，且DE // BC，BE平分∠ABC．
（1）求证：BD=DE；
（2）若AB=10，AD=4，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）15
【分析】（1）利用平行线性质及角平分线线定理得到∠DEB=∠DBE，再利用等腰三角形判定得到BD=DE ，即得到答案.
（2）利用相似的判定得到△ADE∽△ABC，再利用相似的性质得到AD DE
AB BC
=，代入值即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵DE // BC，∴∠DEB=∠EBC
∵ BE平分∠ABC
∴∠DBE=∠EBC
∴∠DEB=∠DBE
∴BD=DE
(2) 解：∵AB=10，AD=4
∴BD=DE=6
∵DE // BC
∴△ADE∽△ABC
∴AD DE AB BC
=
∴
46 10BC
=
∴BC=15
【点睛】
本题考查平行线性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若停
车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）
（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？
【答案】（1）y＝1440x﹣800；每辆次小车的停车费最少不低于3元；（2）y＝﹣120x2+2040x﹣800；（3）每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【分析】（1）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式，然后根据日净收入不低于2512元，列出不等式，即可求出x的最小整数值；
（2）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式；（3）根据x的取值范围，分类讨论：当x≤5时，根据一次函数的增减性，即可求出此时y的最大值；当x＞5时，将二次函数一般式化为顶点式，即可求出此时y的最大值，从而得出结论.
【详解】解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800
∵1440x﹣800≥2512，
∴x≥2.3
∵x取整数，
∴x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元．
答：每辆小车的停车费最少不低于3元；
（2）由题意得：
y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800
即y＝﹣120x2+2040x﹣800
（3）当x≤5时，
∵1440＞0，
∴y随x的增大而增大
∴当x=5时，最大日净收入y＝1440×5﹣800＝6400（元）
当x＞5时，
y＝﹣120x2+2040x﹣800
＝﹣120（x2﹣17x）﹣800
＝﹣120（x﹣17
2
）2+7870
∴当x＝17
2
时，y有最大值．但x只能取整数，
∴x取8或1．
显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y＝﹣120×1
4
+7870＝7840（元）
∵7840元＞6400元
∴每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
答：每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【点睛】
此题考查的是一次函数和二次函数的综合应用，掌握实际问题中的等量关系、一次函数的增减性和利用二次函数求最值是解决此题的关键.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c 经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积
的4
5
倍，求此时点M的坐标．
【答案】（2）（2，0）；（2）0≤x≤2；（3）（3，﹣4）或（2，4）或（3﹣2，4）【分析】（2）根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解；
（2）观察直线在抛物线上方的部分，根据抛物线与直线的交点坐标即可求解；
（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解．
【详解】（2）因为直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A，C两点，
所以当x＝0时，y＝2，所以C（0，2）
当y＝0时，x＝2，所以A（2，0）
因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
所以c＝2，2+b+2＝0，解得b＝﹣6，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+2．
当y＝0时，0＝x2﹣6x+2．解得x2＝2，x2＝2．
所以B点坐标为（2，0）．
答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+2，B点坐标为（2，0）；
（2）观察图象可知：
x2+bx+c≤﹣2x+2的解集是0≤x≤2．故答案为0≤x≤2．
（3）设M（m，m2﹣6m+2）
因为S△ABM＝4
5
S△ABC＝
41
52
×4×2＝3．
所以1
2
×4•|m2﹣6m+2|＝3
所以|m2﹣6m+2|＝±4．
所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+2＝0
解得m2＝m2＝3或m＝．
所以M点的坐标为（3，﹣4）或（，4）或（3﹣，4）．
答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（，4）或（3﹣，4）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．把二次函数y=2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ） A ．22(3)2y x =-+
B ．22(3)2y x =++
C ．22(3)?2y x =-
D ．22(3)?2y x =+
【答案】A
【解析】将二次函数22y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：22(3)2y x =-+.
故选A.
2．一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。

若从盒子里随机摸取一个球，有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P ，则P 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ． 13或12 D ． 13或23
【答案】D
【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.
【详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P =
23 当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：P =
13 故摸到的红球的概率为：
13或23
故选：D
【点睛】
本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.
3．某厂今年3月的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x ，则列出的方程正确的是（ ）
A ．50（1+x ）=72
B ．50（1+x ）＋50（1+x ）2=72
C ．50（1+x ）×2=72
D ．50（1+x ）2=72 【答案】D
【分析】可先表示出4月份的产量，那么4月份的产量×（1+增长率）=5月份的产量，把相应数值代入即可求解．
【详解】4月份产值为：50（1+x ）
5月份产值为：50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2=72
故选D ．
点睛：考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次
变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．
4．用半径为3cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A ．2cm π
B ．1.5cm
C ．cm π
D ．1cm 【答案】D
【详解】解：设此圆锥的底面半径为r ， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，12032180
r ππ⨯=
， 解得：r=1．
故选D ．
5．如图,直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G,且AB ∥CD,若BO=6cm,OC=8cm 则BE+CG 的长等于( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
【答案】D 【解析】根据切线长定理得：BE=BF ，CF=CG ，∠OBF=∠OBE ，∠OCF=∠OCG ；
∵AB ∥CD ，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm ，OC=8cm ，
∴BC=10cm ，
∴BE+CG=BC=10cm ，
故选D.
【点睛】本题主要考查了切线长定理，涉及到平行线的性质、勾股定理等，求得BC 的长是解题的关键. 6．成语“水中捞月”所描述的事件是（ ）．
A ．必然事件
B ．随机事件
C ．不可能事件
D ．无法确定
【答案】C
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】水中捞月是不可能事件．
故选C ．
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可
能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y ＝ax+c 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】先根据一次函数的图象判断a 、c 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解：A 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向上，错误；
B 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＞0，c ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向上，交于y 轴的正半轴，错误；
C 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＜0，c ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下，错误．
D 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＜0，c ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．对于二次函数()2
12y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．开口向下
B ．对称轴1x =
C ．顶点坐标是()1,2
D ．与x 轴有两个交点 【答案】C
【分析】根据抛物线的性质由a=2得到图象开口向上，再根据顶点式得到顶点坐标，再根据对称轴为直线x=1和开口方向和顶点，从而可判断抛物线与x 轴的公共点个数．
【详解】解：二次函数y=2（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），
对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴没有公共点．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下．
9．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口25万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至9万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口
的年平均下降率为x ，根据题意可列方程（ ）
A ．25（1﹣2x ）＝9
B ．225(1)9x -=
C ．9（1+2x ）＝25
D ．225(1)9x += 【答案】B
【分析】根据2017年贫困人口数×(1-平均下降率为)2=2019年贫困人口数列方程即可.
【详解】设年平均下降率为x ，
∵2017年底有贫困人口25万人，2019年底贫困人口减少至9万人，
∴25(1-x)2=9，
故选：B.
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a<b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a>b ）．
10．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则12
11x x +=（ ） A ．12 B ．1 C
D
【答案】B
【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，然后把
1211x x +进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．
【详解】根据题意得x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1， 所以12
11x x +=121211x x x x +-=-=1， 故选B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-
b a ，x 1•x 2=
c a . 11．二次函数y ＝x 2+4x+3，当0≤x≤
12时，y 的最大值为（ ） A ．3
B ．7
C ．194
D ．214 【答案】D
【解析】利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【详解】解：y ＝x 2+4x+3。