改进遗传算法在投资组合中的应用

摘要
遗传算法起源于对生物系统所进行的计算机模拟。

美国密执安大学的Holland教授及其学生受到这种生物模拟技术的启发，创造出了一种基于生物遗传和进化机制的适合于复杂系统优化计算的自适应概率优化技术---遗传算法。

证券投资组合优化问题的实质就是有限的资产在具有不同风险收益特性的证券之间的优化配置问题。

因此，本文根据上述要求把交易成本和股票的整手买卖引入含有风险偏好的Markowitz组合投资模型，并对证券组合进行分类约束来降低风险，从而构造了含有约束的混合整数非线性规划模型。

遗传算法是一类模拟自然界生物进化过程与机制，求解问题的自组织和自适应的人工智能技术。

由于其运行简单和解决问题的有效能力而被广泛应用到众多领域。

但是它也容易产生早熟现象以及局部搜索能力比较差，所以对很多问题而言，基本遗传算法并不是解决问题的最有效方法。

因此本文对基本遗传算法的一些算子进行了改进，获得了较满意的结果。

本文提出的组合投资模型在求解上存在一定的难度，采用遗传算法求解。

在计算机上用Matlab7.0编程实现。

关键字：遗传算法；生物模拟；投资组合；交易成本；
ABSTRACT
Genetic algorithm originated in biological systems through the computer simulations. Holland Michigan University professor and his students are subject to this biological simulation technology inspired to create a bio-based genetic and evolutionary optimization of complex systems for adaptive probability calculation --- genetic algorithm optimization technique. Portfolio Optimization essence of the problem is the limited assets with different risk and return characteristics of the optimal allocation between the securities issue.
Therefore, this paper according to the requirements of the transaction costs and stocks containing whole lot introducing risk appetite Markowitz portfolio model, and classify constraints portfolio to reduce risk, which is constructed with constrained mixed-integer nonlinear programming model
Genetic algorithms are a class of simulation of natural biological evolution and mechanisms for solving the problem of self-organization and adaptive artificial intelligence technology. Because of its operational simplicity and ability to solve problems effectively been widely applied to many fields. But it is also prone to premature and relatively poor local search ability, so many problems, the basic genetic algorithm is not the most effective way to solve the problem. This article on some of the basic genetic algorithm has been improved operator to obtain a more satisfactory result.
The proposed model for portfolio investment in the solution there is a certain degree of difficulty, using genetic algorithm. On a computer using Matlab7.0 programming.
Keyword：genetic algorithm；biological simulations；Investment portfolio；Transaction costs；
目录
引言-------------------------------------------------------------------- 4 第一章遗传算法概述-------------------------------------------------------- 5
1.1 遗传算法的形式------------------------------------------------------ 5
1.2 遗传算法的运算过程-------------------------------------------------- 6
1.3 基本遗传算法的构成-------------------------------------------------- 7
1.4 基本遗传算法的形式化定义-------------------------------------------- 7 第二章遗传算法的基本实现技术---------------------------------------------- 8
2.1 遗传算法的编码原则-------------------------------------------------- 8
2.1.1 二进制编码方法------------------------------------------------- 8
2.1.2 浮点数编码方法：----------------------------------------------- 9
2.2 遗传算法的适应度函数------------------------------------------------ 9
2.2.1 乘幂尺度变换-------------------------------------------------- 10
2.2.2 指数尺度变换-------------------------------------------------- 10
2.3 遗传算法的选择算子------------------------------------------------- 10
2.3.1 比例选择------------------------------------------------------ 10
2.3.2 最优保存策略-------------------------------------------------- 10
2.3.3 确定式采样选择------------------------------------------------ 11
2.4 交叉算子----------------------------------------------------------- 11
2.4.1 单点交叉------------------------------------------------------ 11
2.4.2 算数交叉------------------------------------------------------ 11
2.5 变异算子----------------------------------------------------------- 12
2.5.1 基本位变异---------------------------------------------------- 12
2.5.2 均匀变异------------------------------------------------------ 12 第三章投资组合----------------------------------------------------------- 13
3.1 投资组合理论的提出------------------------------------------------- 13
3.2 证券组合投资理论--------------------------------------------------- 14
3.3 马克威茨的均值—方差模型------------------------------------------- 14
3.3.1 单个资产的收益、风险和资产间的相互关系------------------------ 14
3.3.2 资产组合的收益和风险------------------------------------------ 15
3.4 现代投资理论的组成和发展------------------------------------------- 18
3.5 投资组合的应用----------------------------------------------------- 18 第四章基于改进遗传算法的有交易成本的组合投资问题------------------------- 20
4.1 模型的建立与分析--------------------------------------------------- 21
4.1.1 股票交易额不可分割及无风险投资-------------------------------- 21
4.1.2 交易成本------------------------------------------------------ 22
4.1.3 风险偏好------------------------------------------------------ 23
4.1.4 分类约束------------------------------------------------------ 23
4.1.5 模型描述------------------------------------------------------ 24
4.2 模型的遗传算法求解------------------------------------------------- 24
4.2.1 编码---------------------------------------------------------- 25
4.2.2 动态惩罚函数-------------------------------------------------- 25
4.2.4 交叉---------------------------------------------------------- 26
4.2.5 变异---------------------------------------------------------- 26
4.2.6 改进遗传算法的过程-------------------------------------------- 26 第五章示例分析----------------------------------------------------------- 27
5.1 数据--------------------------------------------------------------- 27
5.2 基本遗传算法------------------------------------------------------- 28
5.3 改进遗传算法分析--------------------------------------------------- 30
5.3.1 初始化种群体-------------------------------------------------- 30
5.3.2 适应度计算---------------------------------------------------- 30
5.3.3 遗传操作------------------------------------------------------ 30
5.3.4 结果---------------------------------------------------------- 31 第六章总结与展望
6.1 主要工作总结--------------------------------------------------- 34
6.2 展望----------------------------------------------------------- 34 参考文献：-------------------------------------------------- 错误!未定义书签。

附录：------------------------------------------------------ 错误!未定义书签。

致-------------------------------------------------------- 错误!未定义书签。

引言
遗传算法是一种仿生优化的算法，我们的自然界充满了奇迹，而生命的繁衍生息就是这些奇迹中的奇迹。

生命是脆弱的，生命也是顽强的。

从远古时代单细胞开始，经历环境变迁的磨砺，生命经历了从低级到高级、从简单到复杂的演化之路，不但延续下来，而且产生了人类这样有思维、有智力的高级生命体。

人类找到了生命的最佳结构与形式，他不仅仅可以被动的适应环境，更重要的是它能够通过学习、模拟、与创造、不断提高自己适应环境的能力。

在人类的历史上，通过学习与模拟来增强自身适应能力的例子不胜枚举。

模拟飞禽、人类可以飞翔天空；模拟游鱼人类可以横渡海洋；模拟昆虫人类可以纵观千里；模拟大脑，人类创造了影响世界发展的计算机。

人类的模拟能力不仅局限于自然现象和其他生命体。

自从20世纪后半叶以来，人类正在将其模拟的围延伸向人类自身。

神经网络是人类对其大脑信息处理机制的模拟，模糊系统是人类对其思维方式的模拟。

除了向自身结构的学习以外，人类还可以向其自身演化这一更为宏观的过程学习，来增强自身解决问题的能力，其代表性的方法就是遗传算法。

虽然人们还未完全揭开遗传与进化的奥秘，既没有完全掌握其机制，也不完全清楚染色体和译码过程的细节，更不完全了解其控制方式，但遗传与进化的以下几个特点却为人们所共识：
（1）生物的所有遗产信息都包含在其染色体中，染色体决定其生物的性状。

（2）染色体是由基因及其有规律的排列所构成，遗传和进化过程发生在染色体上。

（3）生物的繁衍过程是由其基因的复试过程来完成的。

（4）通过同源染色体之间的交叉或染色体的变异会产生新的物种，是生物呈现出新的性状。

（5）对生物适应性好的基因或染色体经常比适应性差的基因或染色体有更多的机会遗传到下一代。

遗传算法是一种更为宏观意义下的仿生算法，他模仿的机制是一切生命与智能的产生与进化过程。

他通过模拟达尔文“优胜劣汰、适者生存”的原理激励好的结构；通过模拟孟德尔遗传变异理论在迭代过程中保持已有的结构，同时寻找更好的结构。

作为一种随机的优化与搜索方法，遗传算法有着其鲜明的特点：
（1）遗传算法的操作对象是一组可行解，而非单个可行解；搜索轨迹有多条，而非单条，因而具有良好的并行性。

（2）遗传算法只需利用目标的取值信息，而无需梯度等高价值信息，因而适用于任何大规模、高度非线性的不连续多峰函数的优化以及无解析表达式的目标函数的优化，具有很强的通用性。

（3）遗传算法择优机制是一种“软”选择，加上其良好的并行性，使他具有良好的全局优化性和稳健性。

遗传算法操作的可行解是经过编码化的，目标函数解
释为编码个体的适应度，因而具有良好的可操作性与简单性。

第一章遗传算法概述
1.1 遗传算法的形式
下述的数学模型【1】是为求解函数最大值的优化问题：
Max f(X) (1-1)
S.t. XR (1-2)
R⊆U (1-3)
········式中，
决策变量：X=[]T
x2,
x1, ；
,
xn
目标函数：f(X)；
约束条件：式（1-2）、（1-3）；
基本空间：U；
R是U的一个子集；
若X满足式（1-2）、（1-3）则称其为可行解，R为全体X构成的集合，也叫可行解集合。

他们之间的关系如图
基本空间U
R
X（i=1,2,...,n）遗传算法中，将n维决策变量X=[]T
x2,
x1, 用n个记号
xn
,
i
所组成的符号串X来表示： X=X1X2...Xn=>X=[]T
x2,
x1,
,
xn
X看做一个遗传基因，他的所有可能取值为等位基因，这样，X 把每一个
i
就可看作是由n个遗传基因所组成的一个染色体。

一般情况下，染色体的长度n 是固定的，但对于一些问题n也可以是变化的。

根据不同的情况，这里的等位基因可以是一组整数，也可以是某一围的实数值，或者是纯粹的一个记号。

最简单的等位基因是由0和1这两个整数组成的，相应的染色体就可以表示为一个二进制串。

这种编码所组成的排列形式X，对于每一个个体X，要按照一定的规则确定其适应度。

个体的适应度与其对应的个体表现性X的目标函数值相关联，X越
接近目标函数的最优点，其适应度最大；反之，其适应度最小。

遗传算法中，决策变量X组成了问题的解空间。

对问题最优解的搜索是通过对染色体X的搜索过程来进行的，从而有所有的染色体X就组成了问题的搜索空间。

生物的进化是以集团为主体的。

与此相对应遗传算法的运算对象是由M个个体所组成的集合，称为群体。

与生物一代一代的自然进化过程相类似，遗传算法的运算过程也是一个反复迭代的过程，第t代群体叫做P（t）,经过一代遗传和进化后，得到第t+1代群体，他们也是由多个个体组成的集合，叫做P（t+1）。

这个群体不断地经过遗传和进化操作，并且每次都按照优胜劣汰的规则将适应度较高的个体更多的遗传到下一代，这样最终会在群体中得到一个优良的个体X，它所对应的表现性X将达到或接近问题的最优解*
X。

染色体的变异和染色体之间的交叉是生物的进化的必经之路。

将这个过程推而广之应用到最优解搜索过程中便是遗传算法最基本的思想，在群体P（t）上作用遗传算子，进行以下一些遗传操作，群体P（t+1）由此产生。

(1)选择：有规则的对每个个体的适应度进行排列，从中挑取较好的个体遗传到下一代。

(2)交叉：对群体中随机搭配的每一对个体，以某一概率交换他们的部分染色体。

(3)变异：对群体中的每一个个体，以某一概率改变某一个或某一些基因座上的基因值为其他的等位基因。

1.2 遗传算法的运算过程
下图为遗传算法的运行过程示意图
1.3 基本遗传算法的构成
（1）染色体编码方法：在基本遗传算法中群体中的个体用固定长度的二进制符号串来表示，二值符号集{0,1}组成了其等位基因。

初始群体中各个个体的基因值可用均匀的随机数来生成。

如：
X=1
(2)个体适应度评价：在基本遗传算法中，个体适应度越高的个体遗传到下一代的机会越多。

这里要求所有个体的适应度必须为正数或零。

对不同种类的问题，目标函数值按照不同的规则转换成个体适应度值。

(3)遗传算子：基本遗传算子是最基本的一些算子包括比例选择算子；单点交叉算子；基本位变异算子。

（4）运行参数：基本遗传算法4个需要提前设定运行参数：
•M：群体大小，一般取为20--100.
•T：终止进化代数，一般取为100--500.
•
p：交叉概率，一般取为0.4--0.99。

c
•
p：变异概率，一般取为0.0001--0.1；
m
1.4基本遗传算法的形式化定义
基本遗传算法可定义为一个8元组：
SGA=(C,E,
P,M,Φ,Γ,ψ,T)
式中 C---个体的编码方法；
E---个体评价适应度函数‘
P---初始群体；
M---群体大小；
Φ---选择算子；
Γ---交叉算子；
ψ---变异算子；
T---遗传运算终止条件。

第二章 遗传算法的基本实现技术
2.1遗传算法的编码原则
2.1.1二进制编码方法
遗传算法中最基本的一种编码方法是二进制编码，它的个体基因型是一个二进制编码符号串组成，它的编码符号是由二进制符号0和1所组成。

问题所要求的求解精度决定二进制符号串的长度。

若使参数编码时的对应关系如下： 00000000···00000000=0 -->
00000000···00000001=1 -->δ+max U
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
11111111···11111111=12-l --> max U
则二进制编码的编码精度为：
假设某一个体编码是：
1221b b b b b X l l l --：
则对应的解码公式：
1
2m in m ax --=l U U δ122x min max 11min --•⎪⎭⎫ ⎝⎛•+=∑
=-l l i i i U U b U
2.1.2浮点数编码方法：
浮点数编码方法，是指用某一围的一个浮点数来表示个体的每个基因值，决策变量的个数与个体的编码长度相同。

由于这种编码方法使用的是决策变量的真实值，所以浮点数编码方法也叫做真值编码方法。

在浮点数编码方法中，必须保证基因值在给定的限制围之，遗传算法中所使用交叉、变异等遗传算子也必须保证其运算结果所产生的新个体的基因值也在这个围。

浮点数编码方法有以下几个优点：
（1）适合在遗传算法中表示围较大的数；
（2）适合于精度要求较高的遗传算法；
（3）便于较大空间的遗传搜索；
（4）改善了遗传算法的计算复杂性，提高了运算效率；
（5）便与遗传算法与经典优化算法的混合使用；
（6）便于设计针对问题的专门知识性遗传算子；
（7）便于处理复杂的决策变量约束条件。

2.2遗传算法的适应度函数
下一步的有关搜索信息通过所求问题的目标函数值来得到，目标函数值最主要的作用就是通过它来评价个体的适应度。

评价个体适应度的一般过程是：
个体编码串解码 个体的表现性 个体的目标函数值 个体的适应度
最优化问题由以下两大类组成，一类为求目标函数的全局最大值，另一类为求目标函数的全局最小值。

对于求最大值的问题，做下述转换：
f(X) + min C , if f(X) + min C >0
F(X)=
0, if f(X) + min C <=0
式中，min C 为一个适当相对较小的数。

对于求最小值问题，作如下转换：
max C - f(X)， if max C > f(X)
F(X)=
0, if max C <= f(X)
式中，max C 为一个适当的相对较大的数。

2.2.1乘幂尺度变换
乘幂尺度变换的公式为：
k F F ='
新的适应度是原适应度的k 乘幂。

所求解的问题决定幂指数k ，而且在算法的执行过程中为了使尺度变换满足一定的伸缩要求需要不断对其校正。

2.2.2指数尺度变换
指数尺度变换的公式为：
()F F β-='ex p
新的适应度是原有适应度的某个指数。

式中系数β决定了选择的强制性，β越小，原有适应度较高的个体的新适应度就越与其他个体的新适应度相差较大，亦即越增加了该个体的强制性。

2.3遗传算法的选择算子
下面列出几种常用的选择算子操作方法。

2.3.1比例选择
比例选择方法的基本思想是：适应度越大的个体被选中的概率就越大。

但由于它的操作带有随机性，所以它的选择误差比较大。

设群体大小为M ，个体i 的适应度i F ，则个体i 被选中的概率is p 为：
（i=1,2,....M ）
由上式可见，适应度越高的个体被选中的概率越大。

2.3.2最优保存策略
在遗传算法的运行过程中，新的个体在对个体进行交叉、变异等遗传操作过程中产生。

即使在群体的进化过程中会产生出越来越多的优良个体，但选择、交叉、变异等遗传操作的随机性可能破坏掉当前群体中适应度最好的个体。

这样的现象对于求解最优解显然是不利的，因为它会降低当前群体的平均适应度，并且对遗传算法的运行效率、收敛性都有不利的影响。

所以，适应度最好的个体应该尽可能保留到下一代群体中。

为此，可以使用最优保存策略模型来进行优胜劣汰操作。

最优保存策略进化模型的具体操作过程是：
∑==M
i i i F F 1is p
（1）找出当前群体中适应度最高的个体和适应度最低的个体。

（2）若当前群体中最佳个体的适应度比总的迄今为止的最好个体适应度还要高，则以当前群体中的最佳个体作为新的迄今为止的最好个体。

（3）用迄今为止的最好个体替换掉当前群体中的最差个体。

最优保存策略可作为其他选择操作的一部分。

它可以保证到目前为止所得到的最优个体不会被遗传运算所破坏，它是遗传算法操作的一个重要保证条件。

2.3.3确定式采样选择
确定式采样选择方法的基本思想是按照一种确定的方式来进行操作。

其具体基本过程是：
(1)计算群体中各个个体在下一代群体中的期望生存数目i N ： （i=1,2,...,M ）
(2)用i N 的整数部分⎣⎦i N 确定各个对应个体在下一代群体中的生存数目。

其中
⎣⎦x 表示取不大于x 的最大的整数。

由该步共可确定出下一代群体中的
个个体。

(3)按照i N 的小数部分对个体进行降序排序，顺序取前M- 个个体加入到
下一代群体中。

至此可完全确定出下一代群体中的M 个个体。

这种选择操作方式可保证适应度较大的一些个体一定能够被保留在下一代群体中，并且操作也比较简单。

2.4交叉算子
单点交叉算子是最常用的交叉算子。

但单点交叉操作又有一定的局限性。

下面介绍几种适合于二进制编码个体或浮点数编码个体的交叉算子。

2.4.1单点交叉
单点交叉是指在个体编码串中随机设置一个交叉点，然后在该点相互交换两个配对个体的部分染色体。

单点交叉的重要特点是：若邻接基因座之间的关系能提供较好的个体性状和较高的个体适应度的话，则这种单点交叉操作破坏这种个体性状和降低个体适应度的可能是最小。

2.4.2算数交叉
算数交叉是指对两个浮点数编码所组成的个体进行线性组合而产生出两个
⎣⎦∑=M
i N 1
i ∑=•=M
i i i F F M N 1i /⎣⎦∑=M
i N 1i
新的个体。

假设在两个个体t X X 、t
B X 之间进行算数交叉，则交叉运算所产生的
两个个体是:
()t
A t
B t A X X X αα-+=+11
()t
B t A t B X X X αα-+=+11
式中，α为一参数，它可以是一个常数，此时所进行的交叉运算称为均匀算数交叉；他可以是一个进化代数所决定的变量，此时所进行的交叉运算称为非对称均匀算术交叉。

2.5变异算子
最简单的变异算子是基本位变异算子。

但它并不能满足所有问题的求解要求，需要开发出别的算子以满足需求。

下面列出一些比较常用的变异算子。

2.5.1基本位变异
基本位变异操作是指对个体编码串中某一位或某几位基因座上的基因值做变异运算这些位置以变异概率m p 随机指定的。

在基本位变异操作中只有编码串的个别几个基因座上的基因值被改变，并且变异发生的概率也比较小，所以其发挥的作用比较慢，作用的效果也不明显。

2.5.2均匀变异
均匀变异操作是指分别符合某一围均匀分布的随机数，以某一较小的概率来替换个体编码串中各个基因座上的原有基因值。

均匀变异的具体操作过程是：
（1）依次指定个体编码串中的每个基因座为变异点。

（2）对每一个变异点，以变异概率m p 从对应基因的取值围取一随机数来替代原有基因值。

假设有一个体为l k x x x x X 21=，若l x 为变异点，其取值围为，在该点对个体X 进行均匀变异操作后，可得到一个新的个体
l k
x x x x X '=21，其中变异点的新基因值是： ()k
k k k
U U r U x min max min -•+=' 式中，r 为[0,1]围符合均匀概率分布的一个随机数。

均匀分布操作特别适合应用于遗传算法的初期运行阶段，它使得搜索点可以在整个搜索空间自由移动，从而可以增加群体的多样性，使得算法处理更多的模式。

第三章投资组合
3.1投资组合理论的提出
证券投资的目的是为了取得收益，但同时投资者也不得不承担风险。

由于一般的情况是预期收益越高的证券风险越大。

那么，能否找到适当的方法去避免或降低投资中的风险呢?回答是肯定的，这就是采取分散投资也就是组合投资的方式。

即俗话说的：“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”。

将投资对象分散到什么程度，如何进行合理搭配，才能达到高收益——低风险的最佳配合，从而使投资者的效用最大化，这正是组合投资理论首先要回答的问题。

组合投资理论的起源。

可追溯到1952年，美国经济学家马柯维茨在《金融杂志》上发表了一篇论文《资产组合的选择》。

在这篇论文中，他利用一套系统
分析的方法展示了如何采用组合投资的方式创造投资的新领域，使在一定的风险水平下，取得最大可能的预期收益。

马柯维茨分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的预期收益水平和风险，建立均值方差模型来阐述如果全盘考虑上述两个问题。

1959年他又出版了同名专著，详细论述了“资产组合”的基本原理，从而奠定了现代组合投资理论的基础。

投资组合理论中马科维兹的均值--方差模型为人们提供了证券投资决策的理论基础。

然而这种方法所面临的最大问题是其计算量太大。

3.2证券组合投资理论
马柯维茨资产组合理论认为，若在具有相同回报率的两个证券之间进行选择的话，任何投资者都会选择风险小的。

这同时也表明投资者若要追求高回报必定要承担高风险。

同样，出于避风险的原因，投资者通常持有多样化投资组合。

马柯维茨从对回报和风险的定量出发，建立了一个投资组合的分析模型，其要点为：
（1）．投资组合的两个相关特征是期望回报率及其方差。

（2）．投资将选择在给定风险水平下期望回报率最大的投资组合，或在给定期望回报率水平下风险最低的投资组合。

（3）．对每种证券的期望回报率、方差和与其他证券的协方差进行估计和挑选，并进行数学规划(Mathematical Programming)，以确定各证券在投资者资金中的比重。

马柯维茨的证券组合理论作为一种投资方法，归纳起来共有三个步骤： 一是想够买最佳证券组合的投资者先要确定一系列的证券作为考虑对象； 二是对这些证券的前景进行分析，即进行基本分析和技术分析，对所考虑的所有证券的收益率、方差和协方差做出估计； 三是要找出投资者的最佳证券组合。

3.3马克威茨的均值—方差模型
3.3.1单个资产的收益、风险和资产间的相互关系 1、预期收益
预期收益率是各种可能的收益率按其发生的概率进行加权平均而得到的收益率。

2、风险及其度量
（1）定义：风险指收益（或价格）的不确定性，也就是收益（或价格）对其期
1
()n
i i
i E r h r ==∑
望值（或均值）的偏离。

（2）度量：一般用收益率的方差或标准差来表示。

方差：2
21[()]n
i i i i h r E r σ==-∑
标准差：σ=
3、资产之间的相互关系——协方差和相关系数 （1）协方差：
协方差测度的是两个风险资产收益的相互影响的方向与程度。

正的协方差意味着两个资产的收益同向变动；而负的协方差则表明它们朝相反的方向变动。

（2）协方差的估计 ：
（3）相关系数：
(1)1ρ= 完全正相关； (2)1ρ=- 完全负相关； (3)0ρ= 不相关； (4)11ρ-<< 不完全相关
3.3.2资产组合的收益和风险
设投资者选择了n 种证券作为投资对象,第i 种证券收益率为 i r , ()
i E r 1
cov(,)[()][()]n
i j ik i jk j k
k r r r E r r E r p ==--∑cov(,)
i j ij i j
r r ρσσ=
1
()()cov(,)1
n
ik
i jk j k i j r
r r r r r N =--=
-∑
为第 i 种证券的预期收益率，i x 为投资者投向第 i 种证券的投资比例系数, p
r 为投资组合的收益率，()p E r 为投资组合收益率的期望值，2
p σ投资组合收益率的
方差，则有
非系统风险 系统风险
1
n
p i i
i r x r ==∑1
()()
n
p i i i E r x E r ==∑2
11
cov(,)n
n
p
i j i j i j x x r r σ===∑∑11
n
n
i j i j ij
i j x x σσρ===
∑∑222111221
11
()
2()
n n n
p
i
i
i j i j ij i i j n n
n
i
i
i j i j ij i i j x x x i j x x x i j σσσσρσσσρ=======+≠=+>∑∑∑∑∑∑
3.4现代投资理论的组成和发展
APT模型、行为金融理论、资本资产定价模型、投资组合理论以及有效市场理论等部分共同构成了现代投资组合理论的框架。

这些理论及模型的出现改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、组合化、科学化的方向发展。

1952年3月，美国经济学者哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》，作为现代证券组合管理理论的开端。

马克威茨通过均值方差模型对风险和收益进行了量化，提出了确定最佳资产组合的基本模型。

因为这个模型要求计算所有资产的协方差矩阵，所以其在实践中的应用具有很大的局限性。

1963年，威廉·夏普的研究极推动了投资组合理论的实际应用，其基于对协方差矩阵加以简化估计的夏普单因素模型。

上个世纪60年代，夏普、林特和莫森分别在1964、1965和1966年提出资本资产定价模型。

该模型不仅提供了评价收益-风险相互转换特征的可运作框架，也为投资组合分析、基金绩效评价提供了重要的理论基础。

1976年，针对CAPM模型所存在的不可检验性的缺陷，罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型，即APT模型。

该模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实践上的广泛应用。

3.5投资组合的应用
投资组合理论为投资组合的分析和有效投资组合的构建做出了重要贡献，其对现代投资管理实践的影响主要表现在以下4个方面：
1．马考威茨首次对风险和收益这两个投资管理中的基础性概念进行了准确。