二次函数5抛物线动点问题

如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B ，且18a+c=0． （1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度向终点C 移动．
①移动开始后第t 秒时，设△PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．
②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5
4
y x m =
+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．
（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于
111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究
2112
P P
M M M M ⋅ 是否为定值，并
写出探究过程．
已知二次函数22(3
(1)2
2)t y t x x =++
++在0x =与2x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点A （3-，m ），求m 与k 的值；
（3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧 ），将二次函数的图象B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （0n >）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(0,1),(2,0),(0,0)A B O ,将此三角板绕原点O 逆时针旋转
90︒，得到A B O ''∆.
（1）一抛物线经过点A '、B '、B ,求该抛物线的解析式；
（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB A B ''的面积是A B O ''∆面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB A B ''是哪种形状的四边形？并写出四边形PB A B ''的两条性质.
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．
①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．
x
y
O
-1
1 2
2 A B
A '
B '
如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)，与y 轴交于点C (0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
(2)P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标； (3)点Q 是抛物线第一象限上的一个动点，过点Q 作QN ∥AC 交x 轴于点N ．当点Q 的坐标为
时，四边形QNAC 是平行四边形；当点Q 的坐标为 时，四边形QNAC 是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．
如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2
14
y x =
在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．
（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；
（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；
②平行四边形APQR 为菱形；
（3）除P 点外，直线PH 与抛物线2
14
y x =有无其它公共点？并说明理由．
x l
Q
C P
A O
B H
R y
抛物线y=ax2+bx+c经过A（－3，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l
相交于点D。

设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。

点A（—2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2＋bx＋c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标，若不能，说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点E的坐标.
抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点
M ，连接PB ．
⑴求该抛物线的解析式；
⑵抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由； ⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．
抛物线F ：2
(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =
，3
2
b =-，1
c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’
CDB
的面积（用含a 的式子表示）
抛物线c bx ax y ++=2(a < 0)与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴相交于点C ，对称轴l 与x 轴的正半轴相交于
点D ，与抛物线相交于点F ，点C 关于直线l 的对称点为E ．
⑴当a = －2，b = 4，c = 2时，判断四边形CDEF 的形状，并说明理由； ⑵若四边形CDEF 是正方形，且AB =
2，求抛物线的解析式．
图 18
如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2
-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；
(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．
．如图1,已知直线y =kx 与抛物线 2422273
y x =-
+交于点A （3，6）. （1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；
（2）点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM , 交x 轴于点M （点M 、O 不重合）,交直线OA 于点Q ,
再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N .试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；
（3）如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重
合）,点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE =∠BED =∠AOD .继续探 究：m 在什么范围时,符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？
O x y
A B
E
D
图2
图1
A
x
y
P Q
M
N
O。