数学人教B版选修4-4课后导练：1-2极坐标系 含解析 精

课后导练
基础达标
1.点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )
A.(2,
4π) B.(2,43π) C.(2,45π) D.(2,4
7π)
解析:因为点P(-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为4
3π
,故选B.这种
类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础. 答案:B
2.点P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )
A.(-ρ0,θ0)
B.(ρ0,-θ0)
C.(-ρ0,-θ0)
D.(-ρ0,θ0+π) 解析:由ρ取负值时点的确定方法即得. 答案:A
3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线 解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2. 答案:C
4.曲线的极坐标方程为aρcos 2θ+bcosθ-sinθ=0(a≠0),则曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线 解析:将方程aρcos 2θ+bcosθ-sinθ=0各项都乘以ρ,
aρ2cos 2θ+bρcosθ-ρsinθ=0⇒ax 2+bx-y=0⇒y=ax 2+bx,是抛物线. 答案:D 5.点P 1(2,
4π),P 2(-3,-4
π
),则|P 1P 2|的值为( ) A.13 B.5 C.2613+ D.2613- 解析:应用极坐标系中两点间的距离公式
|P 1P 2|=)cos(212212
22
1θθρρρρ--+(ρ1、ρ2≥0). 其中P 1(2,4
π),P 2(3,43π),代入可得.
答案:A 6.已知点A(-2,-2
π),B(2,43π),O(0,θ),则△ABO 为( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.锐角等腰三角形
D.等腰直角三角
形
解析:点A(-2,2
π
-)即为A(2,
2
π), ∴∠AOB=
4
π
,且|OB|=2,|OA|=2. ∴△ABO 为等腰直角三角形. 答案:D
7.直线l 过点A(3,
3π)、B(3, 6
π
),则直线l 与极轴夹角等于_____________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴的夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据
点A 、B 的位置分析夹角的大小
.
∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=
3π-6π=6
π, ∴∠OAB=
12526ππ
π=-
. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π
.
答案:4
π
8.极坐标方程ρ2=θ
θ
ρ2
sin cos 44+f 所对应的直角坐标方程为____________. 解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==,
0,tan ,
,sin ,cos 222x x y
y x y x θρθρθρ将ρ、θ消去,换成字母x 、y 即可.
答案：y 2=4(x+1)
9.已知下列各点的极坐标为A(5,2π),B(2,0),C(6,-65π),D(-4,6π),E(0,3
π
),画出这些点,并求出它们的直角坐标. 解:这些点如下图
.
利用公式⎩
⎨⎧==,sin ,
cos θρθρy x
即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(33-,-3),D(32-,-2),E(0,0).
10.极坐标方程4ρsin 2
2θ
=5表示的曲线是…( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线 解析:利用半角公式把原方程化为2
c o s 14θ
ρ
-=5,即4ρ-4ρcosθ=10,∴4ρ=4x+10. ∵ρ=2
2y x +,∴16(x 2+y 2)=(4x+10)2.整理,得4y 2-20x-25=0.∴为抛物线.
答案:D 综合运用
11.极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是( )
A.两条射线
B.两条相交直线
C.圆
D.抛物线 解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin 2θ=3ρ2,即4y 2=3(x 2+y 2),即y=x 3±. ∴所表示的曲线是两条相交直线. 答案:B
12.极坐标方程ρ=cos(
4
π
-θ)所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos
4πcosθ+sin 4
π
sinθ. 两边同乘以ρ,得ρ2=
θρθρsin 2
2
cos 22+, 即x 2+y 2=
y x 2
222+, 即为x 2+y 2-y x 2
2
22-=0表示圆. 答案:D
13.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
4π)=2
2
,则原点到该直线的距离是___________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=2
2,∴ρsinθcos 4π+ρcosθsin 4π=22
, 即x+y=1.
∴原点到直线x+y=1的距离为d=
2
2
2
1=
. 答案:
2
2 拓展探究
14.在极坐标系中,O 是极点,设点A(4,
3
π),B(5,-65π),则△AOB 的面积是______________. 解析:如图,|OA|=4,|OB|=5,∠AOB=2π-3π-6
5π=65π
.
∴S △OAB =
2
1×4×5×sin 65π
=5.
答案:5
点评：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P 的一极坐标为(4π,4
π
)，那么点P 适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(
4π,4
9π)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，当且仅当点P 的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C 的方程.。