潞城市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

潞城市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． （+
）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（
）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
2． 函数的定义域是（
）
A ．（﹣∞，2）
B ．[2，+∞）
C ．（﹣∞，2]
D ．（2，+∞）
3． 已知函数，其中，对任意的都成立，在12
2
()32f x x ax a =+-(0,3]a ∈()0f x ≤[]1,1x ∈-和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为，则（ ）
T T =A ． B ．
C ．
D ．2015
22015
320152
3
20152
2
4． 已知数列{a n }是等比数列前n 项和是S n ，若a 2=2，a 3=﹣4，则S 5等于（ ）A ．8
B ．﹣8
C ．11
D ．﹣11
5． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
6． 记集合和集合表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，{
}
22
(,)1A x y x y =+£{}
(,)1,0,0B x y x y x y =+£³³ 若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1
2p
1
p
2p
13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
7． 已知函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），则{a n }的前28项之和S 28=（ ）
A ．7
B ．14
C ．28
D ．56
8． 定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ）
A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
9． 命题“若a ＞b ，则a ﹣8＞b ﹣8”的逆否命题是（ ）
A ．若a ＜b ，则a ﹣8＜b ﹣8
B ．若a ﹣8＞b ﹣8，则a ＞b
C ．若a ≤b ，则a ﹣8≤b ﹣8
D ．若a ﹣8≤b ﹣8，则a ≤b 10．直线的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）
y x ,⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3
12．已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数()cos()3
f x x π
=+'()y f x =()
y f x =的图象（ ）
A ．向右平移
个单位 B ．向左平移
个单位
2
π
2π
C. 向右平移个单位
D ．左平移个单位
23
π
23
π
二、填空题
13．已知向量满足，，，则与的夹角为 .
,42
=2||=4)3()(=-⋅+【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.
14．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2；②
当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值；⑤M 中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
15．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ．
16．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
17．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
18．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．　
三、解答题
19．已知集合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0}（1）求A ∩B
（2）若A ∪C=C ，求实数m 的取值范围．
20．如图，四棱锥中，，P ABC -,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====M 为线段上一点，为的中点．
AD 2,AM MD N =PC
（1）证明：平面；
//MN PAB （2）求直线与平面所成角的正弦值；
AN PMN
21．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．
22．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．
23．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．
24．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
潞城市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】 B 【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n ，可求常数项．【解答】解：由已知（
+
）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数为
最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，又展开式的通项为=
，
令5﹣
=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n ，利用通项求特征项．2． 【答案】D
【解析】解：根据函数有意义的条件可知∴x ＞2故选：D
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数，对任意的都成立，所以，解得
2
2
()32f x x ax a =+-()0f x ≤[]1,1x ∈-()()
10
10f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩或，又因为，所以，在和两数间插入共个数，使之与，构成等
3a ≥1a ≤-(0,3]a ∈3a =122015,...a a a 2015比数列，，，两式相乘，根据等比数列的性质得，
T 122015...a a a =A 201521...T a a a =A ()
()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，故选C.
T =2015
2
3
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.4． 【答案】D
【解析】解：设{a n }是等比数列的公比为q ，因为a 2=2，a 3=﹣4，所以
q=
=
=﹣2，
所以a 1=﹣1，根据S 5
==﹣11．
故选：D ．
【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n 项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．　
5． 【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误；在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确．故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
6． 【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示及其内部，OAB D
由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为，故选A.
1
1
2P ==p 2p
7． 【答案】C
【解析】解：∵函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．∴函数f （x ）关于直线x=1对称，
∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），
∴a6+a23=2．
则{a n}的前28项之和S28==14（a6+a23）=28．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D
9．【答案】D
【解析】解：根据逆否命题和原命题之间的关系可得命题“若a＞b，则a﹣8＞b﹣8”的逆否命题是：若a﹣8≤b﹣8，则a≤b．
故选D．
【点评】本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系，要求熟练掌握四种命题之间的关系．比较基础．
10．【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tanα=，
∵0°＜α＜180°，
∴α=30°
故选A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
11．【答案】D
【解析】
考
点：简单线性规划．12．【答案】B 【解析】
试题分析：函数，所以函数()cos ,3f x x π⎛⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到
()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭()y f x =2π，故选B.
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭考点：函数的图象变换.
()sin y A x ωϕ=+二、填空题
13．【答案】3
2π【
解
析
】
14．【答案】　①③⑤　
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．
∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1
，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
15．【答案】　②③　．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，
②函数=cosx是偶函数，故②正确，
③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
16．【答案】1－1，3]
【解析】
试题分析：A∪B＝{}{}
<∈-∈
≤≤≤＝1－1，3]
x x x R x x x R
|03,|12,
考点：集合运算
【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
17．【答案】　[，3]　．
【解析】解：直线AP的斜率K==3，
直线BP的斜率K′==
由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
18．【答案】 ．
【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，
设点P到CD的距离为h，
则有V=×2×h××2，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，
则四面体ABCD的体积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．
∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．
（1），
（2）由A∪C=C，可得A⊆C．
即，解得﹣3≤m≤﹣1．
20．【答案】（1）证明见解析；（2.
【解析】
试题解析：
（2）在三角形中，由，得AMC 22,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=，
2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=A A ，则，
222AM MC AC +=AM MC ⊥∵底面平面，
PA ⊥,ABCD PA ⊂PAD ∴平面平面，且平面平面，
ABCD ⊥PAD ABCD PAD AD =∴平面，则平面平面，
CM ⊥PAD PNM ⊥PAD 在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角。

PAD A AF PM ⊥PM F NF ANF ∠AN PMN
在中，由，得，Rt PAM ∆PA AM PM AF =A A AF =
sin ANF ∠=
所以直线与平面．1AN PMN
考点：立体几何证明垂直与平行．
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，
所以|cos＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：∵直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点
∴≤1⇒a2≥1，即a≥1或a≤﹣1，
命题p为真命题时，a≥1或a≤﹣1；
∵点（a，1）在椭圆内部，
∴，
命题q为真命题时，﹣2＜a＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题即p真q假，则⇒a≥2或a≤﹣2．
故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1；
当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0，
由1＞可得＜x＜1；
当a=1时，（x﹣1）2＞0，即有x∈R，x≠1；
当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜；
当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞．
综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}；
a＜0时，解集为{x|＜x＜1}；
a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；
a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}；
0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞}．
（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，
即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即a（x2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．
设g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．
则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，
即﹣（x2﹣1）﹣x+1＞0，且（x2﹣1）﹣x+1＞0，
即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0，
解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0．
可得﹣2＜x＜0．
故x的取值范围是（﹣2，0）．
24．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．。