导数的运算-2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册
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他们两个的乘积,即2x乘以1/u,但千万别忘了把u= 2 带进去,
所以答案就是2 2 。
求下列函数的导数
1
2、 =
(5 − 4)3
1、 = 3 − 4
解：令 = 3 − 4, 则 = =
∴ ’ = ’ ∙ ’
1
2
解：令 = 5 − 4, 则 = −3
令t= 1 +
1
−2
1
+ 2 )−2 ∙
=(1 +
1
−
2
= −(1 − 2)
’= ’cos − sin
1
2 ,t’=2 (1
令 = + 1 +
1
2
=
1
2 )−2
2 ,’=1+(1
’ =
= −(1 − 2) cos −(1 − 2) sin
2
∴ ’ = ’ ∙ ’
= −3−4 ∙ (−4)
1 1
= −2 ∙ (−4)
2
1
= -2(3 − 4)−2
=12(5 − 4)−4
3、 =
解：令
令t=1 −
5
1
1−��
1
1
5
=
, 则 = = 5
1−
1
,则= ,∴ ’ = ’ ∙ ’
1
=- 2 ∙ (−1)
=
解：令 = 2 − 4 + 3，’ = 2 − 4
(3)’=3cos 3
1
=
() = ( 2 − 4 + 3)23
1
ln ln(ln )
’() = 2’3 +3 2 cos 3
= ( 2 − 4 + 3)[2(2 − 4)��3 +3( 2 − 4 + 3) cos 3]
cos 2
2
例题讲解
对下列函数进行求导
= 3 ( 2 − 4)
解： = 5 − 4 3
’ = 5 4 − 12 2
sin
解：’ =
cos −sin
2
1
=
=
=
解：’ =
+
= ( + 1)
解: ’ =
1
∙−ln
5
要点总结
对于导数的运算需要注意以下几点：
1、不要求根据导数定义推导，对应基本初等函数的导数公
式要熟记并利用它们进行简单求导
2、利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式，只有
当函数符合上述形式，才能直接利用导数公式求导。
3、遇到分式中分子、分母为齐次结构函数，可考虑通过裂
项为和差形式再进行求导。
=()处可导，则复合函数y= ()=[()]在点x处也可导,
并且( [()])ˊ=ˊ [()]ˊ() 或记作 y’x=’•’
例1：求() = sin ��2 的导数。
解：令= 2 ，则() = () = sin
∴ ’() = ’() = ∙ ’ = 2 ∙ 2
导数的运算
1
知识要点
1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）
（1）求函数的增量
∆ = ( + ∆) − ()
（2）求平均变化率
∆ ( + ∆) − ()
=
∆
∆
（3）取极限求导数
’()= lim
(+∆)−()
∆
∆→0
2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数
’
1 + (1 +
1
−2
2
)
+ 1 + 2
+
1
2 )−2
() = ln(ln(ln ))
解：令 = ln, 则’ =
1
(ln(ln ))’=(lnt)’’
() = 2 3��
ln
令 = ln(ln ) , ()=ln
1
’()= ’
在某一点’(0 )的导数就是导函数()，当 = 0 时的
函数值。
3．常用的导数公式及求导法则：
（1）基本初等函数求导公式
常数求导：’ = 0
的幂次方求导：( )’ = ( − )
−
三角函数求导求导： ( )’ =
指数函数求导：( )’ = ln
4、对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差
形式。
感谢聆听
1
=
(1−)2
∴ ’ = ’ ∙ ’
1 −4
1
= 5∙
5
(1 − )2
1
5
4
= −5 ∙
=
பைடு நூலகம்
1
1
(1−)2
6
5(1−)5
思考：第一题、第二题与第三题有什么区别？
4
拔高训练
= ln( + 1 + 2 )
= 1 − 2 cos
1
1
−2
解： = 1 − 2, ’ = 2 (1 − 2) ∙ (−2)
= 2 2
二、复合函数求解方法
复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量
对自变量的导数。
正如上述例1，设u= 2 ,则u就是中间变量，则f (u) =sin (1)
原函数对中间变量的导就是函数(1)的导,即cos 中间变量
对自变量的导就是u对x求导,即2x.最后原函数的导数等于
() ()’() − ()’()
=
()
��2()
问题探究：你能根据上述的公式推导出tan 的导数吗？
sin
(sin )’ cos − (cos )’ sin sin 2 + cos 2
1
(tan )’ = (
)’ =
=
=
cos
cos 2
cos 2
2
1−ln
注：遇到带根号形式的函数先化成幂次形式再求导
=
= 4 cos − 5 sin
解:’ = −4 − 5
=
1
2
解： = ∙ =
3 1
’ = 2
2
3
2
3
难点探究
复合函数求导
一、基本公式：如果函数()在点x处可导，函数f ()在点
对数函数求导：(log )’ =
1
ln
注：红色部分为常考的函数求导
( )’ =
( )’ = =
( )’ =
=
（2）法则
(() ± ())’ = ’() ± ’()
(() ∙ ())’ = ()’() + ()’()
所以答案就是2 2 。
求下列函数的导数
1
2、 =
(5 − 4)3
1、 = 3 − 4
解：令 = 3 − 4, 则 = =
∴ ’ = ’ ∙ ’
1
2
解：令 = 5 − 4, 则 = −3
令t= 1 +
1
−2
1
+ 2 )−2 ∙
=(1 +
1
−
2
= −(1 − 2)
’= ’cos − sin
1
2 ,t’=2 (1
令 = + 1 +
1
2
=
1
2 )−2
2 ,’=1+(1
’ =
= −(1 − 2) cos −(1 − 2) sin
2
∴ ’ = ’ ∙ ’
= −3−4 ∙ (−4)
1 1
= −2 ∙ (−4)
2
1
= -2(3 − 4)−2
=12(5 − 4)−4
3、 =
解：令
令t=1 −
5
1
1−��
1
1
5
=
, 则 = = 5
1−
1
,则= ,∴ ’ = ’ ∙ ’
1
=- 2 ∙ (−1)
=
解：令 = 2 − 4 + 3，’ = 2 − 4
(3)’=3cos 3
1
=
() = ( 2 − 4 + 3)23
1
ln ln(ln )
’() = 2’3 +3 2 cos 3
= ( 2 − 4 + 3)[2(2 − 4)��3 +3( 2 − 4 + 3) cos 3]
cos 2
2
例题讲解
对下列函数进行求导
= 3 ( 2 − 4)
解： = 5 − 4 3
’ = 5 4 − 12 2
sin
解：’ =
cos −sin
2
1
=
=
=
解：’ =
+
= ( + 1)
解: ’ =
1
∙−ln
5
要点总结
对于导数的运算需要注意以下几点：
1、不要求根据导数定义推导，对应基本初等函数的导数公
式要熟记并利用它们进行简单求导
2、利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式，只有
当函数符合上述形式，才能直接利用导数公式求导。
3、遇到分式中分子、分母为齐次结构函数，可考虑通过裂
项为和差形式再进行求导。
=()处可导，则复合函数y= ()=[()]在点x处也可导,
并且( [()])ˊ=ˊ [()]ˊ() 或记作 y’x=’•’
例1：求() = sin ��2 的导数。
解：令= 2 ，则() = () = sin
∴ ’() = ’() = ∙ ’ = 2 ∙ 2
导数的运算
1
知识要点
1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）
（1）求函数的增量
∆ = ( + ∆) − ()
（2）求平均变化率
∆ ( + ∆) − ()
=
∆
∆
（3）取极限求导数
’()= lim
(+∆)−()
∆
∆→0
2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数
’
1 + (1 +
1
−2
2
)
+ 1 + 2
+
1
2 )−2
() = ln(ln(ln ))
解：令 = ln, 则’ =
1
(ln(ln ))’=(lnt)’’
() = 2 3��
ln
令 = ln(ln ) , ()=ln
1
’()= ’
在某一点’(0 )的导数就是导函数()，当 = 0 时的
函数值。
3．常用的导数公式及求导法则：
（1）基本初等函数求导公式
常数求导：’ = 0
的幂次方求导：( )’ = ( − )
−
三角函数求导求导： ( )’ =
指数函数求导：( )’ = ln
4、对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差
形式。
感谢聆听
1
=
(1−)2
∴ ’ = ’ ∙ ’
1 −4
1
= 5∙
5
(1 − )2
1
5
4
= −5 ∙
=
பைடு நூலகம்
1
1
(1−)2
6
5(1−)5
思考：第一题、第二题与第三题有什么区别？
4
拔高训练
= ln( + 1 + 2 )
= 1 − 2 cos
1
1
−2
解： = 1 − 2, ’ = 2 (1 − 2) ∙ (−2)
= 2 2
二、复合函数求解方法
复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量
对自变量的导数。
正如上述例1，设u= 2 ,则u就是中间变量，则f (u) =sin (1)
原函数对中间变量的导就是函数(1)的导,即cos 中间变量
对自变量的导就是u对x求导,即2x.最后原函数的导数等于
() ()’() − ()’()
=
()
��2()
问题探究：你能根据上述的公式推导出tan 的导数吗？
sin
(sin )’ cos − (cos )’ sin sin 2 + cos 2
1
(tan )’ = (
)’ =
=
=
cos
cos 2
cos 2
2
1−ln
注：遇到带根号形式的函数先化成幂次形式再求导
=
= 4 cos − 5 sin
解:’ = −4 − 5
=
1
2
解： = ∙ =
3 1
’ = 2
2
3
2
3
难点探究
复合函数求导
一、基本公式：如果函数()在点x处可导，函数f ()在点
对数函数求导：(log )’ =
1
ln
注：红色部分为常考的函数求导
( )’ =
( )’ = =
( )’ =
=
（2）法则
(() ± ())’ = ’() ± ’()
(() ∙ ())’ = ()’() + ()’()