江苏省木渎高级中学二○○三届高考模拟试卷数学三(8月27日)

江苏省木渎高级中学二○○三届高考模拟试卷
数学三(8月27日)
班级 学号 姓名 得分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数y ＝cos (2x ＋π
2
)的图象的一条对称轴方程是
A .x ＝－π
2
B .x ＝－π
4
C .x ＝π8
D .x ＝π
2. 设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，M ＝{c ，d ，e }，N ＝{a ，b ，e }，那么集合{a ，b }可以表示为
A .M ∩N
B .(
C I M )∩N
C .M ∩(C I N )
D .(C I M )∩(C I N )
3. 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA
→·OB →＝ A .3
4 B .－34
C .3
D .－3
4. 直线a 是平面α的斜线，b ⊂α，当a 与b 成60º的角，且b 与a 在α内的射影成45º角时，
a 与α所成的角是 A .60º
B .45º
C .90º
D .120º
5. 已知π
2
＜α＜π，则直线xcosα＋ysinα＋1＝0的倾角是
A .α
B .π－α
C .3π2
－α D . α－π
2
6. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0(x 是无理数)
1(x 是有理数)
，那么f (x )是
A .奇函数且为周期函数
B .偶函数且为周期函数
C .非奇非偶函数且非周期函数
D .偶函数且非周期函数
7. 假设f (x )＝⎩⎨⎧2(x ＜0)
x ＋a (x ≥0)
在(－∞，＋∞)上处处连续，则常数α等于
A .0
B .1
C .2
D .任意实数
8. 设a ，b 是直线，α是平面，给出下列四个结论: ①若a ∥b ，a ⊂α则b ∥α.②若a ∥α，b ⊂α，
则a ∥b ；③若a ∥b ，a ∥α则b ∥α.④若a ∥α，b ∥α则a ∥b .其中不正确的命题的个数为 A .1
B .2
C .3
D .4
9. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ＞0)3x (x ≤0)
，则f [f (14)]的值是
A .9
B .1
9
C .－9
D .－19
10. 如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2
＋y 2
＋kx －y －4＝0交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线x ＋y ＝0
对称，则点M ，N 的坐标是 A .(1，2)，(－2，－1) B .(－1，2)，(－2，1) C .(－3，2)，(－2，3)
D .(3，－2)，(2，－3)
11. 甲乙两乒乓球队各有运动员三男二女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行
混合双打比赛。

则两个种子选手都上场的概率是 A .1
6
B .536
C .512
D .13
12. 用计算器验算函数y ＝lgx
x
(x ＞1)的若干个值，可以猜想下列命题中真命题只能是
A .y ＝lgx
x 在(1，＋∞)上是单调减函数
B .y ＝lgx
x ，x ∈(1，＋∞)的值域为(0，lg 33]
C .y ＝lgx
x ，x ∈(1，＋∞)有最小值
D .lim
n →∞lgn n
＝0(n ∈N *
)
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13. 一个递减等差数列的首项是4，且第1项，第4项，第2项恰好是某个等比数列的连续三项，
则S 10＝________________.
14. 各边长均为1的空间四边形ABCD 中，若二面角A －BD －C 为直二面角，二面角B －AC －
D 等于60°，则三棱锥A －BCD 的体积为_________.
15. 对于任意定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动
点，若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋1没有不动点，则实数a 的取值范围是___________.
16. P 是椭圆x 2
45＋y
2
20
＝1上第三象限内的点，若它与两焦点的连线互相垂直，则P 到右准线的距
离是__________.
三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (12分)清明节这天，据气象部门考察统计，A 地不下雨的概率为0.1，B 地不下雨的概率为
0.05，C 地不下雨的概率为0.2，求某报社分派三名记者分赴三地至少有一人遇天下雨的概率.
18. (12分)设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos (α－π4)＝3
5，sin (3π4＋β)＝513
.
求sin (α＋β)的值。

19.(12分)四面体P－ABC中，面P AC⊥底面ABC，P A＝BC＝a，PC＝AB＝2a，∠APC＝60º，
D为AC的中点.
(1)求证:P A⊥AB；
(2)求二面角P－BD－A的正切值；
(3)求点A到平面PBD的距离.
20. (12分)某沿海城市计划今年起在江河入海口对一片滩涂每年都实行围垦造地
(1)为了环保，最终围垦造地的总面积不允许超过现有滩涂面积的1
4，因此计划围垦造地的面
积每年以1%的速度递减，问今年围垦的面积最多只能占现有滩涂面积的百分之几; (2)由于围垦的土地地势较低，为了防涝需要购置设备建排水站，设所需经费与当年所围土地面积x (公顷)的平方成正比，比例系数为a ，又设围垦前每公顷面积的年平均经济收入为b 元，围垦后每公顷面积的年平均经济收入为c 元，那么为使所围垦面积的年收入不少于当年建设排水站的支出与围垦前的年平均经济收入之和，试求所围垦面积x (公顷)的最大值.(其中a ，b ，c 为常数)
21. (12分)抛物线y 2
＝4x 上有两个不同的点P ，Q 关于直线y ＝kx ＋3对称.
(1)当k ＝－1
2 时，求|PQ |的值；
(2)求k 的范围.
22. (14分)已知函数f (x )＝log 3(2x －a )，当点P (x ，y )是函数f (x )的图象上的点时，
点Q (2x ，1
2y )是函数y ＝g (x )的图象上的点.
(1)求函数y ＝g (x )的解析式；
(2)当－1＜a ＜0时，不等式4g (x )≤f (x )的解区间的长度记为h (a )，已知a 1≠a 2，，且a 1，a 2∈
(－1，0)，试比较h (a 1＋a 22)与h (a 1)＋h (a 2)2
的大小，并说明理由.
江苏省木渎高级中学二○○三届高考模拟试卷解答
数学三(8月27日)
一．选择题
提示：
1．在x ＝－π
4时，函数取得最大值．
2．C I M ＝{a ，b }．
3．过焦点的直线取特殊x ＝12，可得A (12,1),B (12,－1)，则OA →·OB →＝12·12－1·1＝－34． 5．有直线方程可得y ＝－cot α·x －1sin α＝tan (α－π2)·x －1sin α，当π
2＜α＜π时，
可得0＜α－π2＜π
2
．
6．任何非零有理数都是函数的周期． 9．f [f (14)]＝f (log 214)＝f (－2)＝3－2
＝19
．
10．由已知可得k ＝1，只有A 中的两个点均在直线y ＝x ＋1上． 二．填空题：
(13)－60 (14)27
49 (15)－1＜a ＜3 (16)12．
提示：
(13)设公差为d ＜0，由已知可得(4＋3d )2
＝4(4＋d ),⇒d ＝－209，
S 10＝10×4＋10×92×(－20
9
)＝－60．
(14)如图，ABCD 是边长都为1的空间四边形， 分别取BD 中点E 和AC 中点F ,且设AE ＝a 则由△ABD ≌△CBD ，有CE ＝a 又△ABD 和△CBD 均为等腰三角形， 所以AE ⊥BD ,CE ⊥BD ，即BE ＝1－a 2
且∠AEC 为二面角A －BD －C 的平面角， 即∠AEC ＝90°⇒ AC ＝2a
A
B
C
D
E
F
又△ABC 为等腰三角形，取AC 中点F ，则BF ⊥AC 且DF ⊥AC ⇒ BF ＝DF ＝1－a
2
2
且∠BFD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BFD ＝60° 所以，△BFD 为等边三角形，即BD ＝1－a 2
2
而在△ABD 中，BD ＝2BE ＝21－a 2
∴ 21－a 2
＝1－a 2
2
解得a 2
＝67
于是V A －BCD ＝16CE ·BD ·AE ＝16·21－a 2·a 2
＝2749
(15)f (x )无不动点，即方程x 2
＋ax ＋1＝x 无解，所以－1＜a ＜3．
(16)因为P 点与两焦点的连线互相垂直，所以P 点又在圆x 2
＋y 2
＝25上，解方程组 ⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
＝25x 245＋y 2
20＝1，又P 在第三象限，所以P (－3，－4)，且右准线方程为x ＝a 2c ＝9,
则P 到准线的距离为12． 三．解答题：
(17)解：P ＝1－0.1×0.05×0.2＝0.999
(18)解：∵α∈(π4，3π4)，∴0＜α－π4＜π2，又cos (α－π4)＝35，∴sin (α－π4)＝4
5．
∵β∈(0,π
4),∴3π4＜β＋3π4＜π，又sin (β＋3π4)＝513，∴cos (β＋3π4)＝－1213．
∴sin (α＋β)＝sin (α－π4＋3π4＋β－π2)＝－cos [(α－π
4)＋(3π4＋β)]
＝sin (α－π4)sin (3π4＋β)－cos (α－π
4)cos (3π4＋β)
＝
513·45－35·(－1213)＝5665
19解：(1)在△P AC 中，P A ＝a ，PC ＝2a ，∠APC ＝60º，∴ AC ＝ 3 a ，则有
022290,=∠∴=+PAC PC AC PA 即P A ⊥AC ．又∵ 平面P AC ⊥平面ABC ，
面P AC ∩底面ABC ＝AC ，P A ⊥AC ，∴ P A ⊥底面ABC ，∴ P A ⊥AB .
(2)过A 在平面ABC 内作AE ⊥BD 于E 点，连结PE ．
∵ P A ⊥底面ABC ，AE ⊥BD ，∴ PE ⊥BD ，∴ ∠PEA 即二面角P －BD －A 的平面角． ∵ AB ＝2a ，BC ＝a ，AC ＝ 3 a ，∴ △ABC 也是直角三角形，又D 是边AC 的中点，所以A 点到BD 的距离AE 长与C 到BD 的距离相等，设C 到BD 的距离为h ，则在△BCD
中利用三角形面积相等可得h ＝
a ·
32
a a 2
＋(32
a )
2
＝217
a ，
∴AE ＝
217
a ． 在Rt △ABE 中，tan ∠PEA ＝
P A AE ＝213
． (3)在平面P AE 中过A 作AF ⊥PE 于F 点．
∵AE ⊥BD ，PE ⊥BD ，∴ BD ⊥平面P AE ，AF ⊥BD ，又AF ⊥PE ，∴ AF ⊥平面PBD .所以线段AF 的长即为点A 到平面PBD 的距离．在△P AE 中利用等面积计算得AF ＝30
10
，所以A 到平面PBD 的距离为
30
10
． (20)解(1)设现有滩涂面积为d ，今年围垦的面积最多只能占现有滩涂面积的百分之x ， 则有d ·x %＋d ·x %·99%＋…d ·x %(99%)n ＋…≤1
4d
即d ·x %·11－0.99≤14d x ≤1
4
即今年围垦的面积最多只能占现有滩涂面积的百分之0.25.
(2)由已知可得cx ≥bx ＋ax 2
，又x ≥0，∴0≤x ≤c －b a ，所以x 的最大值为c －b a ．
(21)解(1)当k ＝－12时，直线为y ＝－1
2
x ＋3，设PQ 所在的直线方程为y ＝2x ＋b ，
代入y 2
＝4x 消y 整理得4x 2
＋4(b －1)x ＋b 2
＝0(*)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1x 2是方程(*)的两根．
所以x 1＋x 2＝1－b ,x 1·x 2＝b 2
4，∴x 0＝1－b
2，∵ M 在直线y ＝2x ＋b 上，所以代入可得
y 0＝1．又M 在直线y ＝－12x ＋3上，∴1＝b －1
4＋3，所以b ＝－7．
|PQ |＝1＋22
|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝564－49＝53．
A
(2)k ＝0时，显然不成立；
k ≠0时，设PQ 的方程为y ＝－1k x ＋b ,则代入y 2
＝4x 整理得
x 2
－(2kb ＋4k 2
)x ＋k 2
b ＝0 (*)
设P (x 1,y 1),Q (x 2.y 2),线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1x 2是方程(*)的两根． 所以有x 0＝x 1＋x 22
＝kb ＋2k 2
，
因为点M 在直线y ＝－1k x ＋b 上，所以y 0＝－1
k x 0＋b ＝－2k ．
又点M 在直线y ＝kx ＋3上，所以有y 0＝kx 0＋3， 即－2k ＝k (kb ＋2k 2
)＋3，所以b ＝－2k 3
＋2k ＋3
k
2
． 又点M 在抛物线内，所以y 02
＜4x 0，即4k 2
＜4kb ＋2k 2
，把b ＝－2k 3
＋2k ＋3
k
2
代入整理可得 (k ＋1)(k 2
－k ＋3)k ＜0，又k 2
－k ＋3＞0，所以－1＜k ＜0．
(22)解(1)把y ＝log 3(2x －a )改写成 y 2＝1
2log 3(2x －a )，所以
y ＝g (x )＝1
2
log 3(x －a )．
(2)解:4g (x )≤f (x )⇔2log 3(x －a )≤log 3(2x －a )⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2
≤2x －a
x －a ＞02x －a ＞0
(*)
解(*)可得a ＋1－a ＋1≤x ≤a ＋1＋a ＋1，又x ＞a 2，－1＜a ＜0，所以可得a ＋1－a ＋1＞a
2，
所以不等式的解集为{x |a ＋1－a ＋1≤x ≤a ＋1＋a ＋1}， 则h (a )＝2a ＋1，h (a 1＋a 2
2
)＝2
a 1＋a 2
2
＋1，h (a 1)＝2a 1＋1,h (a 2)＝2a 2＋1． ∵a 1≠a 2,a 1、a 2∈(－1,0)，∴a 1＋1≠a 2＋1且均大于零，∴a 1＋1＋a 2＋1＞2(a 1＋1)(a 2＋1)， ∴2(a 1＋a 2＋2)＞(a 1＋1＋a 2＋1)2
，两边开方得2(a 1＋a 2＋2)＞a 1＋1＋a 2＋1， 从而有h (a 1＋a 22)＞h (a 1)＋h (a 2)
2
．。