最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．圆心在曲线()3
0y x x
=>上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A ．((2
2
9x y +=
B ．()()2
2
2
16315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
C ．()()2
2
218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
D ．()2
2
3292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ 2．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若
a R ∈，
b R ∈且0ab ≠，则
22
11
a b +的最小值为（ ） A ．
72
B ．4
C ．1
D ．5
3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得
||2||PB PA =，则a 的值为（ ）
A ．6-
B ．2-或6
C ．2或6-
D ．2-
4．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()2
2
211x y -++= B ．()()22
214x y -++= C ．()()2
2
421x y ++-=
D ．()()2
2
211x y ++-=
5．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=
B ．310x y +-=
C ．3240x y -+=
D ．230x y --=
6．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4±
B ．－4
C ．4
D ．2±
7．已知圆221:4420C x y x y +---=，圆22
2:2880C x y x y +++-=，则圆1C 与圆
2C 的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．外切
C ．相交
D ．相离
8．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()2
2
2516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
9．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=
，则实数r 的取值范围为（ ）
A ．(0,
B ．
C ．)+∞
D ．+∞[)
10．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22
124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC
的周长为4+k 的值为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．32
±
D ．12
±
11．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5，2 C ．5，1
D ．7，1
12．已知函数22()()4)()f x x a a a R =-+-∈，若关于x 的不等式()2f x ≤有解，则实数a 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．
D
二、填空题
13．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点
P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______．
14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.
15．光线沿直线30x y -+=入射到直线220x y -+= 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.
16．已知圆C 的方程为2240x x y -+=，直线l ：330kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC 面积最大时，直线l 的斜率k =______.
17．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.
18．若直线l ：y x b =+与曲线C ：y 有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是________
19．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．
20．若直线l ：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.
三、解答题
21．已知圆C 的圆心在直线l ：20x y -=上，且过点()0,0O 和()2,6A . （1）求圆C 的方程.
（2）求证：直线1l ：()130m x y m -+-=，m ∈R 与圆C 恒相交. （3）求1l 与圆C 相交所得弦的弦长的最小值及此时对应的直线方程.
22．已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ． （1）求点P 的轨迹方程；
（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程. 23．已知动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12
. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若过点()1,3B 的直线l 与曲线相切，求直线l 的方程；
（3）已知圆Q 的圆心为(,)(0)Q t t t >，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.
24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线
l 的右上方.
（1）求圆C 的方程；
（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜
率；
（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
25．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 26．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()1,0A -，()1,2B . （1）求线段AB 的垂直平分线方程； （2）求圆C 的标准方程；
（3）已知直线l ：1y kx =+与圆C 相交于M 、N 两点，且MN =l 的方程.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
设圆心为(),a b ，利用圆心到直线的距离求出半径，利用基本不等式可求出最小半径，即可求出该圆. 【详解】
设圆心为(),a b ，半径为r ，
则满足条件的圆面积最小时即r 最小时，
3433
55
a b
r
+++
==≥，
∵圆心(),a b在()
3
y x
x
=>上，
∴3
b
a
=，即3
ab=，
∴
min
3
r==，
当且仅当34
a b
=，即2
a=，
3
2
b=时取等号，
∴此时圆的方程为()
2
23
29
2
x y
⎛⎫
-+-=
⎪
⎝⎭
.
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与圆的相切问题，解题的关键是利用基本不等式求出半径的最小值.
2．C
解析：C
【分析】
由题意可知两圆外切，可得出22
49
a b
+=，然后将代数式
22
11
a b
+与
22
4
9
a b
+
相乘，展
开后利用基本不等式可求得
22
11
a b
+的最小值.
【详解】
圆222
240
x y ax a
+++-=的标准方程为()224
x a y
++=，圆心为()
1
,0
C a
-，半径为1
2
r=，
圆222
4140
x y by b
+--+=的标准方程为()2
221
x y b
+-=，圆心为()
2
0,2
C b，半径为21
r=.
由于圆222
240
x y ax a
+++-=和222
4140
x y by b
+--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，
所以，
1212
C C r r
=+
3
=，所以，22
49
a b
+=，
所以，
2222
222222
11411141
551
999
a b a b
a b a b b a
⎛
⎛⎫
+⎛⎫
+=+=++≥⨯+=
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
，当且仅当22
2
a b
=时，等号成立，
因此，
22
11
a b
+的最小值为1.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．B
解析：B 【分析】
设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2
214x a y -++=
，则本题等价于直线1
x =与圆()2
214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】
设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2
2
22344x a y x a y --+=-+，
整理可得()2
214x a y -++=，
则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =
，等价于直线1x =与圆
()
2
214x a y -++=相切，
2=，解得2a =-或6.
故选：B. 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2
214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
4．A
解析：A 【分析】
设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则11
42
22x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，由此得解轨迹方程．
【详解】
设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则11
42
22x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
11
2422x x y y =-⎧⎨
=+⎩代入22
4x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()
()2
2
211x y -++=．
故选：A ． 5．A
解析：A 【分析】
根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于
x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求
方程即可. 【详解】
解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：4
3
6413
y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.
【点睛】
本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关
于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.
6．B
解析：B 【分析】
由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】
因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】
易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题
7．C
解析：C 【分析】
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆位置关系． 【详解】
解：圆22
1:4420C x y x y +---=，22
(2)(2)10-+-=x y ，()12,2C ，1r =， 圆222:2880C x y x y +++-=，22
(1)(4)25x y +++=，()21,4C --，25r =，
125r r +=，215r r -=
12C C =
=55-<<+，∴两圆相交.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距、半径之和、半径之差，根据三者之间的大小关系即可得到两圆的位置关系.
8．B
解析：B 【分析】
分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】
由题意，圆1C ：22
4470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，
圆2C ：()()22
2516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，
又由125C C ==，且12145r r =+=+，
即1212C C r r =+，所以圆1
2,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】
圆与圆的位置关系问题的解题策略：
判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；
若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22
,x y 项得到.
9．D
解析：D 【分析】
根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】
圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：
d =
=，
且直线20x y ++=不过圆心，
若圆2
2
2
:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，
则有r ≥=
所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.
10．A
解析：A 【分析】
先根据半径和周长计算弦长AB =即可. 【详解】
圆C ：()()2
2
124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r
，故ABC 的周长为
4+24r AB +=+AB =
又直线与圆相交后的弦心距d =
=
，
故由2
22
2AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
得()2
21434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】
本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点
()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到
直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】
直线()130ax a y +-+=， 即()()30a x y y ++-=，
∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，
由030x y y +=⎧⎨
-=⎩，得3
3x y =-⎧⎨=⎩
，
可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，
∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，
点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，
d ∴的最大值为
5PQ =
=，
此时//PQ x 轴，
可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(
),0,0f x y g x y ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩ 求解），借助于曲线系的思想找出定
点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
12．A
解析：A 【分析】 令22y x =
-，则22
2(0)x y y +=≥，将问题转化为圆222x y +=与圆
22()(4)2x a y a -+--=有交点，利用圆心距与半径的关系可得解.
【详解】 令22y x =
-，则22
2(0)x y y +=≥，
所以()2f x ≤有解化为22
()(4)2x a y a -+--≤有解，
则问题转化为半圆22
2(0)x y y +=≥与圆22
()(4)2x a y a -+--=有交点， 因为圆22
()(4)2x a y a -+--=的圆心在直线4y x =+上，如图：
22(4)22a a ++≤
，即2440a a ++≤，即2
(2)0a +≤，解得
2a =-. 故选：A
【点睛】 关键点点睛：令22y x =
-，将问题转化为半圆22
2(0)x y y +=≥与圆
22()(4)2x a y a -+--=有交点是解题关键.
二、填空题
13．【分析】将转化为由圆与圆：有公共点可解得结果【详解】因为所以所以所以圆与圆：有公共点所以所以得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键 解析：22a -≤≤
【分析】
将PA PB ⊥转化为2PO =，由圆222x y +=与圆M ：22
()(2)2x a y -+-=有公共
点可解得结果. 【详解】
因为PA PB ⊥，所以4
APO BPO π
∠=∠=，
所以1PA PB ==，2PO =
，
所以圆22
2x y +=与圆M ：22
()(2)2x a y -+-=有公共点，
所以OM PO PM ≤+=
=
≤24a ≤，所以22a -≤≤. 故答案为：22a -≤≤ 【点睛】
关键点点睛：转化为圆2
2
2x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点求解是解题关键.
14．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用
解析：
【分析】
根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】
圆C ：2
2
4x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，
要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，
即13m <
<⇒<< 0m >
m <<.
故答案为： 【点睛】
关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.
15．【分析】求得直线与直线的交点的坐标然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标进而可求得直线的方程即为反射光线所在直线的方程【详解】联立解得则直线与直线的交点为设直线上的点关于直线的对称点为线段的中点在 解析：730x y --=
【分析】
求得直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点A 的坐标，然后求出直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点C 的坐标，进而可求得直线AC 的方程，即为反射光线所在直线的方程. 【详解】
联立30220x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得14
x y =⎧⎨=⎩，则直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点为
()1,4A .
设直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点为(),C a b ， 线段BC 的中点3(
,)22
a b M -在直线220x y -+=上，则322022a b
-⨯-+=，整理得220a b --=.
直线220x y -+=的斜率为2，直线BC 与直线220x y -+=垂直，则213
b
a ⋅=-+，整理得230a
b ++=.
所以，220230a b a b --=⎧⎨++=⎩，解得15
8
5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，即点1(,55)8C -.
所以，反射光线所在直线的斜率为8
457115AC
k +
=
=-， 因此，反射光线所在直线的方程为()471y x -=-，即730x y --=. 故答案为：730x y --=. 【点睛】
运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键.
16．1或【分析】由三角形面积公式求得面积最大时这样可求得圆心到直线的距离再由点到直线距离公式求得斜率【详解】圆的标准方程为直线可变形为则圆心为半径为2直线过定点由面积公式可得所以当即圆心到直线的距离为时
解析：1或7- 【分析】
由三角形面积公式求得ABC 面积最大时，2
ACB π
∠=，这样可求得圆心C 到直线BC
的距离，再由点到直线距离公式求得斜率k ． 【详解】
圆C 的标准方程为()2
224x y -+=，
直线l 可变形为()33y k x =-+，则圆心C 为()2,0，半径为2，直线l 过定点()3,3， 由面积公式可得21
sin 2sin 22
ABC
S r ACB ACB =∠=∠≤， 所以当2
ACB π
∠=，即圆心C 到直线l
的距离为d =ABC 的面积取得最大值，
所以d =
=，解得1k =或7-．
故答案为：1或7-．
【点睛】
易错点睛：直线与圆相交于,A B ，圆心为C ，ABC 面积为2
1sin 2
S r ACB =∠，当ACB ∠的最大值θ不小于
2π时，2ABC π
∠=时，S 取得最大值212
r ，当ACB ∠的最大值
2π
θ<时，S 取得最大值21sin 2r θ．不是任何时候最大值都是212
r ．
17．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被
解析：3
4
-
【分析】
先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】
直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-= 所以直线l 会经过定点270
40
x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2
当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短
211
132CM k -=
=-- ，211
l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫
⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，解方程得34m =- 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．
18．【分析】曲线表示以为圆心半径等于1的半圆当直线过点时可得满足条件当直线和半圆相切时由解得数形结合可得实数的取值范围【详解】解：曲线方程变形为表示圆心为半径为1的上半圆根据题意画出图形如图所示：当直线
解析：⎡⎣
【分析】
曲线表示以(0,0)C 为圆心、半径等于1的半圆，当直线y x b =+过点(0,1)时，可得
1b =，满足条件．当直线y x b =+和半圆相切时，由1
=
b =结合可得实数b 的取值范围． 【详解】
解：曲线方程变形为221(0)x y y +=，表示圆心C 为(0,0)，半径为1的上半圆， 根据题意画出图形，如图所示：
当直线y x b =+过点(0,1)时，可得1b =，满足直线y x b =+与曲线21y x =-有两个不同的公共点．
当直线y x b =+和半圆相切时，由111
=
+，解得2b =或2b =- （舍去），
故直线y x b =+与曲线21y x =-有两个不同的公共点时，实数b 的取值范围为
)
1,2⎡⎣
， 故答案为：)
1,2⎡⎣．
【点睛】
本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
19．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0
解析：3x ﹣2y+12=0 【详解】
设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322
x y
++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），
∴直线l 的方程为：32
0342
y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=0
20．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应
在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为
解析：(,)
62
ππ
【解析】
若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为
2π，当交点为()3,0B 时，斜率(033303
k -==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
． 故答案为,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 三、解答题
21．（1）()()2
2
4220x y -+-=；（2）证明见解析；（3）最小值：2方程：0x y -=. 【分析】
（1）设圆的方程为：()()2
2
2x a y b r -+-=，利用待定系数法求解；
（2）可利用圆心到直线的距离运算求证，也可求出直线过定点(3,3)，由点在圆内求证； （3）当弦的弦长的最小时，圆心到直线的距离最大，即(3,3)为垂足时，即可求解. 【详解】
（1）设圆的方程为：()()2
2
2x a y b r -+-=，
由题意得：()()222
222
2026a b a b r a b r ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪-+-=⎪⎩
，
解得：24220a b r =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
故圆C 的方程为：()()2
2
4220x y -+-=. （2）方法一：由（1）知圆心为()4,2
，r ==
所以圆心到直线1l 的距离，
d =
=
=
=
当10m
-=即1m =时，1d =< 直线1l 与圆C 恒相交， 当10m ->
，即1m 时，
d = 令1
11
t m m =-+
-，1
m ， 2t ≥=， 当且仅当1
11
m m -=-，
即2m =时取等，
所以01d ≤<< 直线1l 与圆C 恒相交， 当10m -<， 即1m
<时，
d ==
=
当且仅当1
11m m
-=-， 即
2m =或0m =时取等，
所以0d ≤≤
，
直线1l 与圆C 恒相交，
综上所述，m ∈R ，直线1l 与圆C 恒相交.
方法二：因为直线1l ：()130m x y m -+-=，m ∈R ，
30mx x y m -+-=，
()30m x y x -+-=，
所以直线1l 过定点()3,3， 因为()()2
2
3432220-+-=<， 所以()3,3在圆C 内， 所以直线1l 与圆C 恒相交.
（3）设1l 与圆C 相交于A ，B 两点，
由垂径定理得：AB == 求AB 的最小值即求d 取得最大值时， 由（2
）知max d =
所以min AB == 此时0m =，
所以直线方程为：0x y -=. 【点睛】
关键点点睛：证明过定点的动直线与圆恒相交时，可考虑定点在圆内求解，求直线与圆相交的弦长及最值时，可利用弦心距、半径、半弦长之间的关系求解. 22．（1）22(4)4x y -+=；（2
）y x =
或4x y +=± 【分析】
（1）设(),P x y ，()00,M x y ，用,x y 表示出00,x y ，把00(,)x y 代入已知圆方程化简后可得P 点轨迹方程；
（2）截距均为0时，设切线y kx =，截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程． 【详解】
解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据中点公式得00
82
02x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，
解得00
28
2x x y y =-⎧⎨=⎩．
由220016x y +=，得22
(28)(2)16x y -+=
∴点P 的轨迹方程是22(4)4x y -+=．
（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y kx =
2=
∴3
k =±
，所以切线方程为y x =，
当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠
2
=，∴4a =±4x y +=±
综上：切线方程为y x =或4x y +=± 【点睛】
关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：
直接法：设曲线上动点坐标为(,)x y 后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。

从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。

代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。

几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。

参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。

如果借助中间量（参数），使之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。

待定系数法：由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。

23．（1）22(1)4x y ++=；（2）1x =或12530x y -+=；（3）[3-+. 【分析】
（1）设(,)P x y ，由||2||AP PO =结合两点间距离公式可求；
（2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可；
（3）设出圆Q 方程，利用|2|||2t CQ t -+可求出.
【详解】
解：（1）由题意知：设(,)P x y ， 由||2||AP PO =，得2
2
||4||AP PO =， ∴(
)2
2
22
(3)4x y x y
-+=+，整理得2
2(1)
4x y ++=.
故动点P 的轨迹C 的方程为2
2
(1)4x y ++=；
（2）由（1）知道，曲线C 为以(1,0)-为圆心，2为半径的圆， ①若直线l 斜率不存在，则直线l 为 1x =；
②若直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为3(1)y k x -=-，即3y kx k =-+，
此时圆心C 到直线l 的距离
2d =
=，化简得：125
k =.
综上，直线l 方程为1x =或12530x y -+=.
（3）∵点Q 的坐标为(,)(0)t t t >，且圆Q 与x 轴相切， ∴圆Q 的半径为t ，∴圆Q 的方程为222()()x t y t t -+-=，
∴圆Q 与圆C 的两圆心距离为||CQ == ∵圆Q 与圆C 有公共点，∴|2|||2t CQ t -+，
即2
22(2)
221(2)t t t t -+++，解得：33t -+，
实数t 的取值范围是[3-+. 【点睛】
本题考查圆的切线方程的求解，注意需要讨论斜率不存在的情况，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆心距和半径之间的关系判断.
24．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】
（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.
（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.
（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】
（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-
⎪⎝⎭
，则|410|
25a ， 解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为2
2
4x y +=．
（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．
1，解得k =.
（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为
()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()2222
1240k x k x k +-+-=， 22121222
24
,11
k k x x x x k k -∴+==++
若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y y
x t x t
+=--， 即
()()1212110k x k x x t
x t
--+
=--，
即()12122(1)20x x t x x t -+++=，
即()
2222
242(1)2011
k k t t k k -+-+=++，解得4t =． 综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．
【点睛】
关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34
y x =-. 【分析】
（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222
222
(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=⎨-+-+=⎩
，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=
（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】
（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，
222
222
(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩
解得1,
a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，
由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d =
故由点到直线的距离公式得：1d ==
解得3
4k =-
，所以直线l 的方程为34
y x =-
综上所述，则直线l 的方程为0x =或34
y x =-
【点睛】 易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.
26．（1）1y x =-+；（2）22(1)4x y -+=；（3）1y x =+．
【分析】
（1）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；
（2）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，结合第一问可得结果；
（3）由题意可知：圆心C ，由点到直线的距离公式可得结果.
【详解】
解：（1） 设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．
由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-.
所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+.
(2) 设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为r （0r >）. 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =．所以 圆心(1,0)C ，
||2r CA ==，
所以 圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．
(3)设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得FM FN ==C 到直线l 的距离
||d CF ===
又
d ==1k =，所以直线l 的方程为1y x =+．
【点睛】
方法点睛：圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系．。