【3套试卷】人教版八年级数学下册第十六章二次根式专题研究(含答案)

人教版八年级数学下册第十六章二次根式专题研究（含答案）
一．平方根、算术平方根
1．若x 2
＝a ，则x 叫a 的___．当a≥0时，a 是a 的___．正数b 的平方根记作__.a 是一个___数，只有___数才有平方根． 2. 4的算术平方根为____ 3．下列说法正确的是( )
A .81的平方根是±3
B ．1的立方根是±1
C .1＝±1
D ．－5是5的平方根的相反数
4.填空：
()2
5＝ ，
()
2
5-＝ ，()
2
2.0-＝ ， －
()2
л-＝ ，
210-＝ 。

5．9的平方根是______
6．二．立方根及性质：
1．若x 3
＝a ，则x 叫a 的____．求一个数的立方根的运算叫___；任一实数a 的立方根记作___；3a 3＝___，(3a)3＝__，3
－a ＝____ 2．下列运算中，正确的是( )
A .9＝±3
B .3
－8＝2 C ．(－2)0＝0 D ．2－1＝1
2
3．下列运算正确的是（ ）． A ．3
3
33--=- B ．3
3
33=- C ．3333-=- D ．33
33-=-
4．求x ：05121253
=+x
三．二次根式的概念
1．(1)形如a(__a ≥0__)的式子叫二次根式，而a 为二次根式的条件是____； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数的因数是____，因式是____；②被开方数中不含有___
2．使代数式1
x ＋3
＋4－3x 有意义的整数x 有( )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
3.已知xy ＞0，化简二次根式x 的正确结果为（ ） A.
B.
C. -
D. -
4.若代数式
x －2
x －1
有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．x ＞1 D ．x ＞2
5.要使式子
a
有意义，a 的取值范围是
四．二次根式的性质
1．(1)ab ＝___(a≥0，b ≥0)；a b ＝a
b
(a≥0，b ＞0)； (2)(a)2＝___(a__≥__0)；(3)a 2
＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a≥0） －a （a ＜0）.
2.若1＜x ＜3，则|x ﹣3|+
的值为（ ）
A.2x ﹣4
B.﹣2
C.4﹣2x
D.2 3.已知a <0，化简二次根式
的正确结果是（ ）．
4.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简
﹣
﹣
．
五．二次根式的运算
1．(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成___，再把___分别
合并；
(2)二次根式的乘法：a ·b ＝____(a≥0，b ≥0)；
(3)二次根式的除法：a
b
＝___(a≥0，b ＞0)；
(4)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算___，后算____，有括号时，先算括号内的(或先去括号)．
【温馨提示】(1)若a 是二次根式，则a ≥0(a≥0)．这个性质称为二次根式的双非负性；
(2)二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．
2.先化简，再求值:2
(2)(1)2a a b a a +-++，其中1a =
，1b =.
3.先化简，再求值:2
()()(2)()x y x y y x y x y +-++--，其中2x =+2y =-.
4.先化简，再求值:2
(1)(1)(21)2(21)x x x x x +-+---，其中1x =.
5.先化简，再求值:22144(1)1a a a a a
-+-÷--，其中2a =+6.计算
（1）+
+ ﹣
（2）（2
﹣3
）
．
（3）+．
（4）(2－3)2 017(2＋3)2 018－2|－3
2|－(－2)0
六．夹逼法
1.二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数___的两个能开得尽方的整数，对其进行____，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间；
2.与1＋5最接近的整数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
3.设a ＝19－1，且a 在两个相邻的整数之间，则这两个整数是( )
A ．1和2
B ．2和3
C ．3和4
D ．4和5
4.已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2
＝1，则 2a ＋b ＝___．
六．非负性质的应用：
1.已知y ＝2x 2
－8－8－2x 2
－4，则xy 的立方根为( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．±4
2. (1) 已知,a b 满足2
(1)0a -+=，则a b +的值为 ;
(2)10b -=，则1a +的值为 .
3.若x ，y 为实数，且y ＝
＋
＋
．求x+y 的值________．
4.若x －1＋(y ＋2)2
＝0，则(x ＋y)2 018
等于( )
5.使x －6有意义的x 的最小整数是____．A ．－1 B ．1 C ．32 018 D ．－32 018
6.若y ＝
x －4＋4－x 2
－2，则(x ＋y)y
＝___． 7.若ABC 的三边长分别为a,b,c ，其中a 和b 满足，求边长c 的取值
范围是多少？ 8.已知、
为实数，且
，求
的值．
七：同类二次根式的概念及应用
1..与是同类二次根式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列根式中是最简二次根式的是( )
A .
2
3
B . 3
C .9
D .12
a 的值为 .
4.下列二次根式中，与 能够合并的是（ ）
A. B.
C.
D.
八．和差问题：
1. 已知x y +=x y -=
，则式子44()()xy xy
x y x y x y x y
-+
+--+的值是( )
A. 48
B.
C. 16
D. 12
2.已知 ，则
的值为（ ）
A.
B. ±2
C. ±
D.
3.已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则2
2
4.已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式( C )
A ．9
B ．±3
C ．3
D .5
六．数形结合：
1.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋
的结果是（ ）
A ．﹣2a ＋b
B ．2a ﹣b
C ．﹣b
D ．b 2.在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简（a －5）2
＋|a －2|的结果为____．
3.如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简:a = .
4.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，
也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为,,a b c ，那么该三角形的面积为
S =现已知ABC ∆的三边长分别为1，2求ABC ∆的面积.
5.已知一个直角三角形的周长是4+， 斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是
（ ）
A. 5
B.
C.
D. 1
6.数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：
九．找规律：
1.阅读下面的材料，并解答后面的问题：
= = ﹣1
= = ﹣ ；
= = ﹣
（1）观察上面的等式，请直接写出 （n 为正整数）的结果________；
（2）计算（
）（
）=________；
（3）请利用上面的规律及解法计算：（ + + +…+ ）
（
+1）．
2.将2，3，6按下列方式排列，若规定(m ，n)表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)
与(15，7)表示的两数之积是___．
3.将一组数3，6，3，23，15，…，310，按下面的方式进行排列：3，6，3，23，15，32，21，26，33…若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( )
A ．(5，2)
B ．(5，5)
C ．(6，2)
D ．(6，5)
答案：
一．平方根、算术平方根
1．__算术平方根__．___非负__
．( A ) 4.略 5二．立方根及性质：
1.__立方根__．_开立方__；任；3a 3＝__a__，(3a)3＝__a__，3－a ＝
2.( D ) 3．C 4.5
8-
五．二次根式的概念
1．(1)__a ≥0__；(2)__整数__，__整式__；②_开得尽方的因数或因式__ 2．( B ) 3.（ C ）4.( B )5.略
六．二次根式的性质
1．； (2)__a__(a__≥__0)； 2.A 3.A 4.﹣2b ．
五．二次根式的运算
1．略．2.1，3.3，4.1，5.1=
.6.（1）5
﹣2 （2）9 ．（3）﹣2(4)1
六．夹逼法
1.略
2.( B )
3.( C )
4.__2.5__．
六．非负性质的应用：
1.( A )
2. 略
3.略
4.( B )
5.__6__．
6.__1
4
__．7.略8.
七：同类二次根式的概念及应用
1..略2．( B )3.略4.略
九．和差问题：
1. 略
2.略
3.__10__．
4.( C )
六．数形结合：
1.A ．
2.__3__．
3.略
4.
1ABC S ∆=5 。

略 6.﹣2．
九．找规律：
1.（1）﹣（2）1
（3）解：（+ + +…+ ）（+1）
=（﹣1+ ﹣+…+ ﹣）（+1）
=（﹣1）（+1）
=2017﹣1
=2016．
2.略3略
人教版八年级数学下册 第十六章 二次根式 单元测试题（解析版）
一、选择题(共10小题，每小题3分,共30分) 1.下列的式子一定是二次根式的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2.当x 分别取－3，－1,0,2时，使二次根式
值为有理数的是( )
A ． －3
B ． －1
C ． 0
D ． 2
3.实数x 取任何值，下列代数式都有意义的是( ) A ． B ． C ．
D ．
4.式子y ＝
中x 的取值范围是( )
A ．x ≥0
B ．x ≥0且x ≠1
C ． 0≤x ＜1
D ．x ＞1 5.化简
得( )
A ． ±4
B ． ±2
C ． 4
D ． －4
6.下列计算正确的是( )
A ． 3
×4
＝12
B ．
＝
×
＝(－
3)×(－5)＝15 C ． －3＝＝6 D ．＝
＝5
7.计算÷
÷
的结果是( )
A ．
B ．
7
2
C ．
D ．
8.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9.计算－9的结果是()
A．B．－C．－D．
10.对于任意的正数m、n定义运算※为：m⊗n＝计算(3⊗2)＋(8⊗12)的结果为()
A．＋B．2C．＋3 D．－
二、填空题(共8小题，每小题3分,共24分)
11.在，，，，中是二次根式的个数有________个．
12.若实数a满足＝2，则a的值为________．
13.若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
14.已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1－a|＋的结果为________．
15.计算×结果是______________．
16.已知x＝3，y＝4，z＝5，那么÷的最后结果是____________．
17.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a＝__________.
18.设的整数部分为a，小数部分为b，则的值等于________．
三、解答题(共8小题，每小题8分,共66分)
19.（6分）判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
，－，，，(a≥0)，.
20. （8分）计算
(1)(2＋)(2－)；
(2)(－)－(＋)．
21. （8分）先化简，再求值： (a －)(a ＋
)－a (a －6)，其中a ＝
＋
2
1.
22. （8分）已知a ，b 为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝＋
＋4，求
此三角形的周长．
23. （8分）若实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，试化简：－
＋|b ＋c |
＋|a －c |.
24. （8分）有这样一道题：
计算＋－x2(x＞2)的值，其中x＝1 005，某同学把“x＝1 005”错抄成“x ＝1 050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．
25. （10分）观察下列各式及其验证过程
2＝.
验证：2＝×＝
＝＝＝；
3＝.
验证：3＝＝
＝＝.
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证．
26. （10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝(一)
＝＝(二)
＝
＝＝－1(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝
＝＝
＝－1.(四)
(1)请用不同的方法化简.
①参照(三)式得
＝__________；
②参照(四)式得＝__________.
(2)化简：＋＋＋…＋
答案解析
1.【答案】C
【解析】A.当x＝0时，－x－2＜0，无意义，错误；B.当x＝－1时，无意义；故本选项错误；C.∵x2＋2≥2，∴符合二次根式的定义；正确；D.当x＝±1时，x2－2＝－1＜0，无意义；错误；故选C.
2.【答案】D
【解析】当x＝－3时，＝，故此数据不合题意；当x＝－1时，＝，故此数据不合题意；当x＝0时，＝，故此数据不合题意；当x＝2时，＝0，故此数据符合题意；故选D.
3.【答案】C
【解析】A.由6＋2x≥0，得x≥－3，
所以，x＜－3时二次根式无意义，错误；
B．由2－x≥0，得x≤2，
所以，x＞2时二次根式无意义，错误；
C．∵(x－1)2≥0，
∴实数x取任何值二次根式都有意义，正确；
D．由x＋1≥0，得x≥－1，
所以，x＜－1二次根式无意义，
又x＝0时分母等于0，无意义，错误．
4.【答案】B
【解析】要使y＝有意义，必须x≥0且x－1≠0，
解得x≥0且x≠1，
故选B.
5.【答案】C
【解析】＝4.故选C.
6.【答案】D
【解析】3×4＝24，A错误；
＝＝3×5＝15，B错误；
－3＝－＝－，C错误；
＝＝5，D正确．
故选D.
7.【答案】A
【解析】原式＝＝.
故选A.
8.【答案】A
【解析】是最简二次根式，A正确；
＝3，不是最简二次根式，B不正确；
＝2，不是最简二次根式，C不正确；
被开方数含分母，不是最简二次根式，D不正确，
故选A.
9.【答案】B
【解析】－9＝2－9×＝2－3＝－.
故选B.
10.【答案】C
【解析】(3⊗2)＋(8⊗12)＝－＋＋
＝－＋2＋2
＝＋3.
故选C.
11.【答案】2
【解析】当a＜0时，不是二次根式；当a≠0，b＜0时，a2b＜0，不是二次根式；当x＜－1即x＋1＜0时，不是二次根式；∵x2≥0，∴1＋x2＞0，∴是二次根式；∵3＞0，∴是二次根式．故二次根式有2个．
12.【答案】5
【解析】平方，得a－1＝4.解得a＝5.
13.【答案】x≥1
【解析】根据二次根式有意义的条件，x－1≥0，
∴x≥1.
14.【答案】1－2a
【解析】由数轴可得出：－1＜a＜0，
∴|1－a|＋＝1－a－a＝1－2a.
15.【答案】2
【解析】原式＝＝＝2.
16.【答案】
【解析】当x＝3，y＝4，z＝5时，原式＝÷＝＝＝.
17.【答案】2
【解析】二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a＝2.
18.【答案】7－12
【解析】∵3＜＜4，
∴a＝3，b＝－3，
∴＝
＝
＝7－12.
19.【答案】解，－，(a≥0)，符合二次根式的形式，故是二次根式；，是三次根式，故不是二次根式；，被开方数小于0，无意义，故不是二次根式．
【解析】根据形如(a≥0)的式子是二次根式，可得答案．
20.【答案】解(1)原式＝(2)2－()2
＝20－3
＝17；
(2)原式＝2－－－
＝－.
【解析】(1)利用平方差公式计算；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
21.【答案】解 原式＝a 2－3－a 2＋6a ＝6a －3，当a ＝＋
2
1
时，原式＝6＋3－3＝6.
【解析】先理由平方差公式，再化简． 22.【答案】解 ∵，
有意义，
∴
∴a ＝3， ∴b ＝4，
当a 为腰时，三角形的周长为3＋3＋4＝10； 当b 为腰时，三角形的周长为4＋4＋3＝11.
【解析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a 的值，继而得出b 的值，然后代入运算即可．
23.【答案】解 根据题意，得a ＜b ＜0＜c ，且|c |＜|b |＜|a |， ∴a ＋b ＜0，b ＋c ＜0，a －c ＜0，
则原式＝|a |－|a ＋b |＋|b ＋c |＋|a －c |＝－a ＋a ＋b －b －c －a ＋c ＝－a .
【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果． 24.【答案】解 原式＝
＋
－x 2
＝
＋
－x 2
＝－x 2
＝－2
因为化简结果与x 的值无关，所以该同学虽然抄错了x 的值，计算结果却是正确的． 【解析】将二次根式进行分母有理化，根据题中给出的条件准确计算，计算结果是正确的，因为通过根式化简结果与x 的值无关． 25.【答案】解 4
＝
；
理由：4＝
＝＝
＝.
【解析】观察上面各式，可发现规律如下规律：n＝，按照规律计算即可26.【答案】解(1)
＝＝＝－，
＝＝＝－.
(2)原式＝＋
＋＋…
＋
＝＋…＋
＝.
【解析】仿照题中的方法将原式分母有理化即可．
人教版（湖北）八年级数学下册：第十六章单元检测题一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列式子一定是二次根式的是(C)
A.3－x
B.－5
C.x2＋1
D.3 4
2．下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是(C)
A.3－x
B.6＋2x
C.2x－6
D.
1 x－3
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是(A)
A．2xy B.ab
2 C.0.1 D.x
4＋x2y2
4．下列二次根式，不能与12合并的是(B)
A.48
B.0.3
C.11
3D．－75
5．下列各式运算正确的是(C) A.2＋3＝ 5 B．2＋2＝2 2
C．3 2－2＝2 2 D.18－8
2＝9－4＝3－2＝1
6．设5＝a，6＝b，用含a，b的式子表示 2.7，则下列表示正确的是(A) A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2D．0.1a2b
7．化简（－4）2＋32－(－2 3)2的结果是(A)
A．－5 B．18 C．－13 D．11
8．等式x＋1
x－1
＝
x＋1
x－1
成立的条件是(A)
A．x＞1 B．x＜－1 C．x≥1 D．x≤－1
9．已知y＜2x－6＋6－2x＋3，化简（y－3）2＋2x－y2－8y＋16为(C)
A．2y－13 B．13－2y C．5 D．3
10．已知正整数a，m，n满足a2－42＝m－n，则这样的a，m，n的取值(A)
A．有一组B．有两组C．多于两组D．不存在
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．化简：18x2y3(x＞0，y＞0)＝．
12．比较大小：2 3__＜__3 2.
13．如果最简二次根式3a－8与17－2a能够合并，那么a的值为__5__．
14．若（2a－1）2＝1－2a，则a的取值范围为________．
15．观察下列式子：1＋1
12＋
1
22＝1
1
2，1＋
1
22＋
1
32＝1
1
6，1＋
1
32＋
1
42＝1
1
12……根
据此规律，若1＋1
a2＋1
b2＝11
90，则a
2＋b2＝__181__．
16．已知a ，b ，c 满足a ＝2b ＋2，且ab ＋32c 2＋14＝0，则bc
a
的值为__0__． 三、解答题(共72分) 17．(8分)计算： (1) 27－12＋
1
3
； (2) (48－75)×113
； 【解析】原式＝4 3
3. 【解析】原式＝－2.
(3) (48＋4 6)÷27； (4) (23－5)(23＋5)－(5－3)2. 【解析】原式＝43＋4
3 2. 【解析】原式＝－1＋2 15.
18．(8分)先化简，再求值：(a －1＋2
a ＋1)÷(a 2＋1)，其中a ＝2－1.
【解析】原式＝1a ＋1＝2
2.
19．(8分)已知a ＋1a ＝6，求a －1a ，a 2－1
a
2的值．
【解析】(a ＋1a )2＝a 2＋1a 2＋2＝6，∴a 2＋1a 2＝4.∴(a －1a )2＝a 2＋1a 2－2＝2.∴a －1
a ＝±2.∵
(a 2＋1a 2)2＝a 4＋1a 4＋2＝16，∴a 4＋1a 4＝14.∴(a 2－1a 2)2＝a 4＋1a 4－2＝12，∴a 2－1
a
2＝±2 3.
20．(8分)一个三角形的三边长分别为2
3
27x ，24
x 12，1
x
75x 3，其中x ＞0. (1)求它的周长(要求结果化简)；
(2)请你给出一个适当的x 的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 【解析】(1)周长＝113x. (2)当x ＝3时，周长＝33.
21．(8分)化简求值： (1)已知x ＝
5－1
2
，求x 2＋x －1的值； 【解析】原式＝0.
(2)已知x ＋y ＝－4，xy ＝2，求
x y
＋y
x
的值． 【解析】原式＝（x ＋y ）xy
xy ＝－2 2
22．(10分)已知长方形的长a ＝1232，宽b ＝1
3
18.
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系． 【解析】(1)2(a ＋b)＝2×(1232＋1
3
18)＝2×(2 2＋2)＝6 2.故长方形的周长为6 2.
(2)4 ab ＝4
12 32×1
3
18＝4 2 2×2＝4×2＝8.因为6 2＞8，所以长方形
的周长大．
23．(10分)全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下的关系式：d ＝7×t －12(t ≥12)．其中d 代表苔藓的直径，单位是厘米；t 代表冰川消失的时间，单位是年．
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，请问冰川约是多少年前消失的？
【解析】(1)d ＝7×t －12，当t ＝16时，d ＝7×16－12＝14.即冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米．
(2)在d ＝7×t －12中，当d ＝35时，35＝7×t －12，即t －12＝5，解得t ＝37.即苔藓的直径是35厘米时，冰川约是37年前消失的．
24．(12分)解答下列各题：
(1)已知x ＝3＋23－2，y ＝3－23＋2
，求x 3－xy 2x 4y ＋2x 3y 2＋x 2y 3的值； 【解析】x ＝(3＋2)2＝5＋2 6，y ＝(3－2)2＝5－2 6，∴x －y ＝4 6，xy ＝1，
x ＋y ＝10.∴原式＝x －y xy （x ＋y ）
＝2 65.
(2)当x ＝1－2时，求x x 2＋a 2－x x 2＋a 2＋2x －x 2＋a 2x 2－x x 2＋a 2＋1x 2＋a 2
的值． 【解析】令m ＝x 2＋a 2，则x 2＋a 2＝m 2.原式＝
x m （m －x ）＋2x －m x （x －m ）＋1m ＝（m －x ）2mx （m －x ）＋1m ＝1x
＝－1－ 2.。