2019年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介优化练习

2019年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简
介优化练习
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．点A 的柱坐标是，则它的直角坐标是( ) A ．(，1,7) B ．(，1，－7) C ．(2，1,7)
D ．(2，1，－7)
解析：∵ρ＝2，θ＝，z ＝7，∴x＝ρcos θ＝，y ＝ρsin θ＝1，z ＝7，∴点A 的直角坐标是(，1,7)．
答案：A
2．若点M 的直角坐标为(2,2,2)，则它的球坐标为( ) A. B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，π
4，π
4
C.
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫4，3π4，3π4 解析：由坐标变换公式得，r ＝＝4，由rcos φ＝z ＝2得cos φ＝，所以φ＝，又tan θ＝＝1，点M 在第Ⅰ卦限，所以θ＝，所以M 的球坐标为.
答案：B
3．若点P 的柱坐标为，则P 到直线Oy 的距离为( ) A ．1 B ．2
C.
D.
6
解析：由于点P 的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos ＝，可得P 到直线Oy 的距离为.
答案：D
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z 轴对称点的柱坐标为( ) A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π
4，1
C.
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫2，7π
4，1 解析：(1,1,1)关于z 轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为. 答案：C
5．已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|＝( ) A. B.
29 C.
D ．4
2
解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则得⎩⎨⎧
x1＝2，
y1＝－2
3，
z1＝0.
故P1(2，－2，0)，
设点P2的直角坐标为(x2，y2，z2)，
故得⎩⎨⎧
x2＝3，y2＝1，
z2＝1.
故P2(，1,1)． 则|P1P2|＝＝. 答案：A
6．已知柱坐标系Oxyz 中，点M 的柱坐标为，则|OM|＝________.
解析：∵(ρ，θ，z)＝，
设M的直角坐标为(x，y，z)，
则x2＋y2＝ρ2＝22，
∴|OM|＝＝＝3.
答案：3
7．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝______，tan θ＝______.
解析：
如图所示，
tan φ＝＝，
tan θ＝＝2.
答案：2
8．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________.
解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN 在平面xOy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3 6
9．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解析：由变换公式得：
x ＝rsin φcos θ＝4sincos ＝2. y ＝rsin φsin θ＝4sinsin ＝2. z ＝rcos φ＝4cos ＝－2.
它的直角坐标为(2,2，－2)．
10．已知点M 的柱坐标为，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标． 解析：M(，，1)的直角坐标为
∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． (－1，－1，－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝. tan θ＝＝1，又x<0，y<0.∴θ＝. ∴其柱坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫2，
5π
4，－1 ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为.
[B 组 能力提升]
1．球坐标系中，满足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P(r ，φ，θ)的轨迹为( )
A ．点
B ．直线
C ．半平面
D ．半球面
解析：由于在球坐标系中，θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故射线OQ 平分∠xOy，由球坐标系的意义，动点P(r ，φ，θ)的轨迹为二面角x­OP­y 的平分面，这是半平面，如图．
答案：C
2．已知点P 的柱坐标为，点B 的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为( )
A ．P(5,1,1)，
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
364，324，62
B ．P(1,1,5)，B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
364，324，62
C ．P ，B(1,1,5)
D ．P(1, 1,5)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
62，364，324
解析：设点P 的直角坐标为(x ，y ，z)，则
x ＝cos ＝×＝1， y ＝sin ＝1，z ＝5.
设点B 的直角坐标为(x′，y′，z′)，则
x′＝sincos ＝××＝， y′＝sinsin ＝××＝， z′＝cos ＝×＝.
所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为. 答案：B
3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1，则此长方体外接球的体积为________．
解析：由A1、C1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R ，则有
(2R)2＝16＋25＋36＝77， 所以R ＝，V 球＝πR3＝.
答案：
7777π
6
4．已知球坐标系中，M ，N ，则|MN|＝________. 解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，
由得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4sin π6cos π
3
＝1，
y ＝4sin π6sin π3＝
3，
z ＝4cos π6
＝2 3.
∴M 的直角坐标为(1，，2)， 同理N 的直角坐标为(3，，2)， ∴|MN|＝
－
＋
3－3
＋
3－
＝2. 答案：2
5－2 3
5.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
解析：点C1的直角坐标为(1,1,1)，
设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，
由公式及⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，
z ＝rcos φ，
得及⎩
⎪⎨⎪⎧
r ＝
x2＋y2＋z2，
cos φ＝z
r ，
得及
结合题图得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝.
∴点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(，，1)，球坐标为，其中tan φ＝，0≤φ≤π.
6．以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy ，以原点指向北极点的方向为z 轴正方向，本初子午线(0°经线)所在平面为坐标平面xOz ，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，已知地球半径为R ，点A 的球坐标为，点B 的球坐标为，求：
(1)A ，B 两地之间的距离； (2)A ，B 两地之间的球面距离．
解析：(1)由于球坐标(r ，φ，θ)的直角坐标为(x ，y ，z)＝(rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ)，
所以A ，B 点的直角坐标分别为
⎝ ⎛⎭⎪⎫2
4
R ，64R ，22R ，，
所以A ，B 两地之间的距离为|AB|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋64R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22
R －22R 2＝R.
(2)由上述可知，在△OAB 中，|OA|＝|OB|＝|AB|＝R ，得∠AOB＝，
所以A ，B 两地之间的球面距离为＝R.。