八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质课时练习(含解析)(新版)新人教版

【答案】3. 【解析】如图，过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
4
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
1 ×4×2+ 1 ×AC×2=7，
2
2
解得 AC=3．
10.如图，△ABC 的周长是 12，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，则△ABC 的面积
弧，两弧交于点 N， ∴∠ACM=∠MCB=30°， ∵∠B=90°， ∴CM=2BM，
∵BC= 3 ，
∴由勾股定理得：BM2+（ 3 ）2=（2BM）2，
解得：BM=1， ∵∠B=90°，∠ACM=∠BCM， ∴点 M 到 AC 的距离等于 BM 的长，即是 1， 故选 A． 6.如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BA 和 CD 的延长线交于点 E，若点 P 使得 S△PAB=S△PCD，则满足此条件的 点 P（ ）
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，
∴AC 边上的高=DE=3，
∴AC=6×2÷3=4，
故选 D．
2.已知，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD：CD=9：7，则 D 到 AB 的距离
为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
【答案】C.
【答案】3：5 【解析】∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴设△ABD 的边 AB 上的高与△ACD 的 AC 上的高分别为 h1，h2， ∴h1=h2， ∴△ABD 与△ACD 的面积之比=AB：AC=3：5． 9. 如 图 ， AD 是 △ABC 中 ∠BAC 的 平 分 线 ， DE⊥AB 于 点 E ， S△ABC=7 ， DE=2 ， AB=4 ， 则 AC 的 长 是 ．
A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成∠E 的角平分线
D．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外）
【答案】D．
【解析】作∠E 的平分线，
可得点 P 到 AB 和 CD 的距离相等，
3
因为 AB=CD， 所以此时点 P 满足 S△PAB=S△PCD． 故选 D． 7.在△ABC 中，∠B，∠C 平分线的交点 P 恰好在 BC 边的高 AD 上，则△ABC 一定是（ ）
【解析】∵BC=32，BD：DC=9：7
∴CD=14
∵∠C=90°，AD 平分∠BAC
∴D 到边 AB 的距离=CD=14．
故选 C．
3.如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上一个动点，若 PA=3，则 PQ 的最小值为（ ）
A． 3
B．2
【答案】C． 【解析】过点 P 作 PB⊥OM 于 B，
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C．
【解析】∵∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点 P 恰好在 BC 边的高 AD 上，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD 和△ACD 中AD
，
ADB ADC 90
∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB=AC， ∴△ABC 一定是等腰三角形． 故选 C． 二、填空题 8.在△ABC 中，AB=3，AC=5，BC=7，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是 ．
C．3
D．2 3
1
∵OP 平分∠MON，PA⊥ON，PA=3， ∴PB=PA=3， ∴PQ 的最小值为 3． 故选 C． 4.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 38，则△ EDF 的面积为（ ）
A．8
B．12
C．4
（1）说明 OF 与 CF 的大小关系；
（2）若 BC=12cm，点 O 到 AB 的距离为 4cm，求△OBC 的面积．
6
【答案】（1）OF=CF．（2）24cm2. 【解析】（1）OF=CF． 理由：∵BE=EO， ∴∠EBO=∠EOB， ∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O， ∴∠EBO=∠OBC， ∴∠EOB=∠OBC， ∴EF∥BC， ∴∠FOC=∠OCB=∠OCF， ∴OF=CF； （2）过点 O 作 OM⊥BC 于 M，作 ON⊥AB 于 N，
2
E、F 为圆心，大于 1 EF 为半径画弧，两弧交于点 N，若 BC= 3 ，则点 M 到 AC 的距离是（ ） 2
A．1
B． 3
C． 3
D．3
3
【答案】A． 【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠B=90°∠A=30°， ∴∠ACB=60°，
∵以 C 为圆心，小于 BC 长为半径画弧与 AC、BC 边交于点 F、E．分别以 E、F 为圆心，大于 1 EF 为半径画 2
的面积是
．
【答案】30. 【解析】如图，连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
5
∵OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC 的周长是 22，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，
∴S△ABC= 1 ×AB×OE+ 1 ×BC×OD+ 1 ×AC×OF= 1 ×（AB+BC+AC）×3
角的平分线的性质
一、选择题 1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则 AC 长是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D．
【解析】∵DE=3，AB=6，
∴△ABD 的面积为 1 3 6=9 ， 2
∵S△ABC=15， ∴△ADC 的面积=15﹣9=6，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=7， ∴S△ADB+S△ADC=7，
∴ 1 AB DE 1 AC DF 7 ，
2
2
∴ 1 4 2 1 AC 2 7 ，
2
2
解得：AC=3．
13.△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作一直线交 AB、AC 于 E、F．且 BE=EO．
∴△ACD≌△AED， ∴AC=AE； （2）∵DE⊥AB，点 E 为 AB 的中点， ∴AD=BD， ∴∠B=∠DAB=∠CAD， ∵∠C=90°， ∴3∠B=90°， ∴∠B=30°， ∵CD=DE=4，∠DEB=90°， ∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE= 82 42 4 3 ．
8
2
2
2
2
= 1 ×20×3=30． 2
三、解答题
12. 如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求 AC 长．
【答案】3. 【解答】过 D 作 DF⊥AC 于 F，
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，DE=2，
【答案】D．
【解析】如图，过点 D 作 DH⊥AC 于 H，
D．6
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在 Rt△DEF 和 Rt△DGH 中，
DE DF
DG DH
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△EDF=S△GDH，设面积为 S， 同理 Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴S△ADF=S△ADH， 即 38+S=50﹣S， 解得 S=6． 故选 D． 5.Rt△ABC 中，∠B=90°∠A=30°．以 C 为圆心，小于 BC 长为半径画弧与 AC、BC 边交于点 F、E．分别以
∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，点 O 到 AB 的距离为 4cm，
∴ON=OM=4cm，
∴S△OBC= 1 ×BC×OM= 1 ×12×4=24（cm2）．
2
2
14.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交 CB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．
是 ．
【答案】18. 【解析】如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，作 OF⊥AC 于 F，
∵OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD=OF=3，
∴△ABC 的面积= 1 ×12×3=18． 2
11.如图所示，已知△ABC 的周长是 20，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于 D，且 OD=3，则△ABC
（1）求证：AC=AE；
（2）若点 E 为 AB 的中点，CD=4，求 BE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 3 .
【解析】（1）∵在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB， ∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD， 在△ACD 和△AED 中
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CAD EAD C AED AD AD