2014春 川大网络学院 工程数学第二次作业满分答案
(完整word版)2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学,推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试(2新课标H 卷)数学(文)试题一、选择题( 本大题共12题, 共计60分)1.已知集合A { 2,0,2}, B {x|x 2 x 20},则 A n B=()A. B. 2 C. {0}D. { 2}2.1 3i (1 i)A.1 2iB. 1 2iC. 1 2iD. 1 2i3.函数f (x)在x X o 处导数存在，若p: f(X o ) 0 : q:x X o 是f (x)的极值点，贝U( )A • p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件 4. 设向量 a,b 满足 a b J T0 , a b 76，则 a b=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列｛a n ｝的公差是2,若a 2,a 4,a 8成等比数列，贝U ｛a n ｝的前n 项和S n()1 (表示1cm )，图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，贝U 切削的部分的体积A. n(n 1)B. n(n 1)C.咛D n(n 1)26.如图，网格纸上正方形小格的边长为27 D.1与原来毛坯体积的比值为( )7•正三棱柱ABC ABQ i 的底面边长为2，侧棱长为.3 , D 为BC 中点，则三棱锥A BQ® 的体积为A.3B.32C.128•执行右面的程序框图，如果输入的 x ，t 均为2， 则输出的S （A.4B.5C.6D. 7x 3y 3 0,10•设F 为抛物线C:y 2+3x 的焦点，过F 且倾斜角为是（ ）A 迈3B.6C.12D.7,311若函数f xkx Inx 在区间1,单调递增， 则k 的取值范围是（）A., 2B., 1C. 2,D. 1,AB （）12.设点 M x o ,1，若在圆 O:x 2+y 2 1上存在点N ，使得 OMNx y 19.设x , y 满足约束条件x y 10,0,则z x 2y 的最大值为（A.8B.7C.2D.130的直线交C 于A, B 两点，则 45，则x o 的取值范围二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13•甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3种颜色的运动服中选择1种，则他们 选择相同颜色运动服的概率为 ________ .14.函数 f(x) sin(x ) 2sin cosx 的最大值为 __________________ . 15•偶函数y f(x)的图像关于直线x 2对称，f(3)3，则f( 1)= __________ .116. ----------------------------------数列｛a n ｝满足 a n 1 __________ ,a 8 2，则 &1 a n三、解答题：17. (本小题满分12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB 1, BC 3, CD DA 2 . (1) 求 C 和 BD ； (2) 求四边形ABCD 的面积.A.[ -1,1]B. c.D. T-718. (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E是PD的中点.(1)证明：PB〃平面AEC ；(2)设AP 1,AD 3，三棱锥P ABD的体积V求A到平面PBC的距离.19. (本小题满分12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下:甲輻门1-乙邯门3594404 4S97J1224566777X9976653321)0i 6«1 f 23 4 6昌E98K77766555554443J321007001134496655200S12334563222090 H 45610000(1) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(3) 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.2 2设F I,F2分别是椭圆C:冷每1(a b 0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴a b垂直，直线MF i与C的另一个交点为N.3(1) 若直线MN的斜率为上，求C的离心率；4(2) 若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN | 5| F i N |，求a,b.21.(本小题满分12分)已知函数f (x) x3 3X2 ax 2，曲线y f (x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求 a ；(2)证明：当k 1时，曲线y f (x)与直线y kx 2只有一个交点.20.(本小题满分12分)如图，P是eO外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与eO相交于B,C , PC 2PA , D为PC的中点，AD的延长线交eO于点E.证明：(1)BE EC ；2(2) AD DE 2PB2在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos , [0,].2（1）求C得参数方程；（2）设点D在C 上, C在D处的切线与直线l : y ,3x 2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标•23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲1设函数 f （x） |x | | x a | （a 0）a（1）证明：f（x） 2 ；（2）若f （3）5,求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标U卷）1. B【解析】试题分析：由已知得，B 2, -1 ,故AI B 2，选B. 考点：集合的运算. 2. B【解析】试题分析：由已知得， S (1 3i)(1D1 2i ，选B.1 i (1 i)(1 i) 2考点：复数的运算. 3. C【解析】试题分析：若x X o 是函数f(x)的极值点，则f (X o ) 0 ；若f (X o ) 0，则X X o 不一定是 极值点，例如f (X ) X 3，当X 0时，f (0)0，但X 0不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C .考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件. 4. A【解析】r 2 r r r 2r 2 r r r 2r r试题分析：由已知得， a 2a b b10， a 2a b b 6，两式相减得，4a b4，r r 故 a b 1.考点：向量的数量积运算. 5. A【解析】试题分析：由已知得，a 42 a 2 a 8，又因为｛a n ｝是公差为2的等差数列，故(a 22d)2 a ? (a ? 6d)，@ 4)2a ? (a ?12)，解得 a ? 4，所以务 a ? (n 2)d 2n ，故 S n n(a1 an) n(n 1).2【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和. 6. C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体. 其中小圆柱底面半径为2、高为4,大圆柱底面半径为3、高为2,则其体积和为 224 32 2 34而圆柱形毛坯体积为 32 6参考答案:数学(文)试题参考答案102754 ，故切削部分体积为20 ，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为54 考点：三视图.7. C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD，因为ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD BC，又因为BB i 面ABC ，故BB i AD ，且BB i I BC B ，所以AD 面BCC i B i ，所以AD 是 三棱锥 A B 1DC 1 的高，所以 V A ^DS -S B ^DC . AD - ,3 -、3 1 .33考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积. 8. D【解析】试题分析：输入x 2,t 2，在程序执行过程中，M,S,k 的值依次为M 1,S 3,k 1 ；M 2,S 5,k2 ;M 2,S 7,k3，程序结束，输出S 7 .考点：程序框图. 9. B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数 z x 2y 变形为y lx -，当Z 取到2 2最大值时，直线y lx Z 的纵截距最大，故只需将直线 ylx 经过可行域，尽可能2 2 2平移到过A 点时，Z 取到最大值.10. C【解析】试题分析：由题意，得F (― ,0).又因为k tan300 -—，故直线AB 的方程为y —3 (x ―)，43 3 4与抛物线y 2=3x 联立，得16x 2 168x 90，设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)，由抛物线定义得，x 1 x 2 p3—12，选 C.21、抛物线的标准方程; 11. D【解析】x y 1 0x 3y 3 0，得A(3,2)，所以ZmaxAB168 16 考点: 2、抛物线1 1 试题分析：f '（x ） k —,由已知得f '（x ） 0在x 1, 恒成立，故k —,因为x 1 ,xx所以0 1 1，故k 的取值范围是1,•x【考点】利用导数判断函数的单调性. 12. A【解析】试题分析：依题意，直线 MN 与圆0有公共点即可，即圆心0到直线MN 的距离小于等于1 即可，过0作OA MN,垂足为 A ，在Rt OMA 中，因为 OMA 45°，故 0A| OM|sin45° 亍|0M | 1，所以 0M 迈，则 J x °2 1 V2，解得 1 x 0 1 .【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、 白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有 9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白， 蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）.他们选择相同颜色运动服有 3种不同的结果，即 （红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为 P --.9 3考点：古典概型的概率计算公式. 14. 1 【解析】 试 题分 析： 由 已 知 得13.13sin( x)f （x） sin xcos cosxs in 2cos xs in sin xcos cosxs in1，故函数f（x） sin（x ） 2sin cosx的最大值为1.考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质.15. 3【解析】试题分析：因为y f （x）的图像关于直线x 2对称，故f （3） f （1） 3，又因为y f（x）是偶函数，故f（ 1）f（1） 3.考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性.三、解答题(17) 解：(I )由题设及余弦定理得B D 2BC 2 CD 22BC CD cosC=13 12cosC①B D 22 2AB DA2AB DA cos A5 4cosC .②1._由①，②得 cosC —，故 C 600， BD 。
工程数学线性代数题库及答案
文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持一、判断题1.若A,B为n阶对称阵，则AB也是对称阵。
（b）2.整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（a）3,设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则i2是对应的齐次线性方程组AX0的解。
（a）4.若A可逆，则A也可逆。
（a）5.若A的顺序主子式都大于0,则A正定。
（bA）6.部分向量组线性无关，则整个向量组线性无关。
（b）7.A和A T具有相同的特征值。
（a）8.若A可逆，则A也可逆。
（a）9.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fX T AX是正定的。
（a）10.设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则12是对应的齐次线性方程组AX0的解。
（a）11.设1是线性方程组AXb的两个不同的解，2是齐次线性方程组AX0的解，则12是对应的线性方程组AXb的解。
（bA）12.若A可逆，则A1也可逆。
（a）13.设1,2L s是非齐次线性方程组AXb的s个不同的解，KHL k s为实数，满足k〔k2Lk s1,则xk11k22Lk ss也是它的解。
（a）14.n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
（a）15.设丫1x（x1,x2Lx n）T x1,x2Lx n R满足x1x2Lx n0，则V1是向量空间。
（a）16.A和A T具有相同的特征值。
文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持17.若A可逆，则A也可逆18.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fX T AX是正定的。
（a）二、选择题k121.行列式0的充分必要条件是（C）2k12.设A与B都是n阶方阵，则必有（C）3.设1，2……s均为n维向量，下列结论不正确的是（）4.设A,B为同阶可逆方阵，则必有（D）5.正定实二次型的矩阵是（）A.实对称且所有元素为正B.实对称且对角线上元素为正数C.实对称且各阶顺序主子式为正数D.实反对称且行列式值为正数6.A是三阶矩阵，特征值为10,21,31,其对应的特征向量分别是1,2,3，设P（1,2,3），则有P1AP（）k217.行列式2k00的充分条件是（）1118.设A是n阶可逆万阵，A是A的伴随矩阵，则（）9.若向量组1,2……s的秩为r,下列结论不正确的是（C）11.已知1, 2是AXb的两个不同的解, 2是其对应的齐次方程组AX0的10.矩阵（）是二次型X126x1X23x2的矩阵KH是任意常数,则（）是以b的通解。
工程数学期末考试复习题(212页)
工程数学期末考试复习题《工程数学》综合练习一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( )． A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 正确答案：A2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ ）． A . 1 B . 3 C . 2 D . 4正确答案： B3．n 元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．A . )()(b A r A r =B .不是行满秩矩阵C .D .正确答案：A4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A .256 B . 103 C . 203 D . 259正确答案：D 5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是μ无偏估计．A .321515151x x x ++ B . 321x x x ++ C . 321535151x x x ++ D . 321525252x x x ++正确答案： C6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立．A . I AA=-1B . A A ='C . 1-='A A D . A A =-1正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）．A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D .7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦正确答案：D8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A .B . A O ≠C .D . A 的行向量线性相关正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P 正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μD . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= ．应该填写：-182．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称λ为A 的特征值． 应该填写：AX X λ= 3．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．应该填写：0.3 4．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时．应该填写：275．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ．应该填写：ˆ()E θθ= 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ．应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ．应该填写：0.3 9．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为：（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。
工程数学试卷及答案
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN ,}4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)2．C 3．D 4．A 5．A6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
数学_2014年陕西省某校高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2014年陕西省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若集合A ={−1, 1}，B ={0, 2}，则集合{z|z =x +y, x ∈A, y ∈B}中的元素的个数为( )A 5B 4C 3D 2 2. 复数Z =1−3i 1+i的实部是（ ）A 2B −1C 1D −43. 在等差数列{a n }中，a 1+3a 3+a 15=10，则a 5的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 54. 条件p:|x +1|>2，条件q:x ≥2，则￢p 是￢q 的（ ）A 充分非必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件 5. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A √2 B √3 C 2 D 36. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是（ ）A 0B 1C 2D −17. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A 48B 32+8√17C 48+8√17D 808. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB +bcos 2A =√2a ，则b a=( )A 2√3B 2√2C √3D √29. 设第一象限内的点(x, y)满足约束条件{2x −y −6≤0x −y +2≥0，若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为40，则5a+1b的最小值为（ ）A 256B 94C 1D 410. 规定[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[3.1]=3，[−2.6]=−3，[−2]=−2；若f′(x)是函数f(x)=ln|x|导函数，设g(x)=f(x)⋅f′(x)，则函数y =[g(x)]+[g(−x)]的值域是（ ）A {−1, 0}B {0, 1}C {0}D {偶数}二、填空题（每小题5分，共25分）： 11. 已知向量a →=(√3, 1)，b →=(0, −1)，c →=(k, √3)．若a →−2b →与c →共线，则k =________． 12. 观察下列式子：1+122<32，1+122+123<53，1+122+132+142<74，…，则可以猜想：1+122+132+142+⋯+120112<________．13. 函数f(x)={2x −2,x ≤1x 2−4x +3，x >1的图象和函数g(x)=ln(x −1)的图象的交点个数是________．14. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是________．不等式选讲选做题15. 不等式|x +1|+|x −1|<3的解集为________．坐标系与参数方程选做题16. 已知两曲线参数方程分别为{x =√5cosθy =sinθ (0≤θ<π)和{x =54t 2y =t(t ∈R)，它们的交点坐标为________．几何证明选讲选做题17. 如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=________．三、解答题（本题6小题，共75分解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）18. 设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R)．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0,π6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，AD=PD=2，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点．（1）求证：AP // 平面EFG；（2）求平面GEF和平面DEF的夹角．20. 已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2−14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1−12b n.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．21. 某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75, 80)，第2组[80, 85)，第3组[85, 90)，第4组[90, 95)，第5组[95, 100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(A)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(B)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．22. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为√2，倾斜角为45∘的直线l过点F．(1)求该椭圆的方程；(2)设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2=4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l 对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．23. 设函数f(x)＝2ln(x−1)−(x−1)2．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）若关于x的方程f(x)+x2−3x−a＝0在区间[2, 4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．2014年陕西省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. B3. A4. A5. A6. C7. C8. D9. B10. A11. 112. 4021201113. 214. 1315. (−32，32)16. (1, 2√55)17. √3518. 解：（1）f(x)=1+cos2x+sin2x+a=√2sin(2x+π4)+1+a，∵ ω=2，∴ T=π，∴ f(x)的最小正周期π；当2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)时f(x)单调递增，解得：kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)，则x∈[kπ−3π8, kπ+π8](k∈Z)为f(x)的单调递增区间；（2）当x∈[0, π6]时，π4≤2x+π4≤7π12，当2x +π4=π2，即x =π8时，sin(2x +π4)=1， 则f(x)max =√2+1+a =2， 解得：a =1−√2，令2x +π4=kπ+π2(k ∈Z)，得到x =kπ2+π8(k ∈Z)为f(x)的对称轴．19. 解：（1）如图，以D 为原点，以DA ，DC ，DP 为方向向量建立空间直角坐标系D −XYZ则P(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)G(1, 2, 0)，E(0, 1, 1)，F(0, 0, 1)，A(2, 0, 0) ∴ AP →=(−2, 0, 2)，EF →=(0, −1, 0)，EG →=(1, 1, −1)． 设平面EFG 的法向量为n →=(x, y, z)⊂ ∴ {EG →⋅n →=0˙即{−y =0x +y −z =0∴ {x =z y =0令x =1， 则n →=(1, 0, 1)．∵ n →⋅AP →=1×(−2)+0×0+1×2=0， ∴ AP →⊥n →又AP 不在平面EFG 内， ∴ AP // 平面EFG（2）∵ 底面ABCD 是正方形，∴ AD ⊥BC 又PD ⊥平面ABCD∴ AD ⊥PD 又PD ∩CD =D ，∴ AD ⊥平面PCD ． ∴ 向量DA →是平面PCD 的一个法向量，DA →=(2, 0, 0) 又由（1）知平面EFG 的法向量n →=(1, 0, 1)． ∴ cos <n →，DA →>=|n →|⋅|DA →|˙=22√2=√22． ∴ 二面角G −EF −D 的平面角为45∘．20. 解：（1）∵ a 3，a 5是方程x 2−14x +45=0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴ a3=5，a5=9，公差d=a5−a35−3=2.∴ a n=a5+(n−5)d=2n−1．又当n=1时，有b1=S1=1−12b1，∴b1=23.当n≥2时，有b n=S n−S n−1=12(b n−1−b n)，∴b nb n−1=13(n≥2).∴ 数列{b n}是等比数列，b1=23，q=13.∴ b n=b1q n−1=23n.（2）由(I)知c n=a n b n=2(2n−1)3n ，c n+1=2(2n+1)3n+1，∴ c n+1−c n=2(2n+1)3n+1−2(2n−1)3n=8(1−n)3n+1≤0.∴ c n+1≤c n．21. 解：(1)根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽，得到第三组的频率为0.06×5=0.3；第四组的频率为0.04×5=0.2；第五组的频率为0.02×5=0.1．(2)用分层抽样法可知从第三组抽取3人从第四组抽取2人从第五组抽取1人。
四川大学版工程数学课后习题答案
证明：
1 2 ei x 1 x 2 d dx
2 d 1 x ei x dx
2 d 1 ei d
工程数学习题答案 付里叶变换的推导
f ( x)定义在 , 上, 在 l, l 上可展开成付里叶级数。
即f x a0 n n a cos x b sin n n 2 n 1 l l x
1
1 l n 其中a f ( ) cos d ; n l l l 1 l n b f ( )sin d ; 3 n l l l 1 l a0 f ( )d ; l l b0 0;
1 2 1 4
u x, t
cos atei x d
i x at e i x at e d
由逆变换公式得，
1 x at x at 。 2 例题 2.求解热传导方程的哥西问题。
①'和②' 是带参数 的常微分方程的哥西问题，它的解是 u , t e a t 。
2 2
u x, t 1 u , t
于是定解问题 ①和② 的解应为：
1 e a t 2 2 1 x 1 e a t
f x f x ig x 1 2 1 2 1 2
d
f ( )ei x d
e i x d
2014电大《工程数学》形成性考核册作业答案
2014电大《工程数学》形成性考核册作业答案《工程数学》作业题参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1.i =5，k = 4；2.40；3.；4.；5.—-2 ；6.充分。
7. 1. 16；8.;9.r = n ， r10.-17;11.。
二、简答题（每小题4分，12分）1．举出任何反例皆可。
当AB=BA时，等式成立。
2．一定不为零。
若A的特征值，则存在使得，即方程有非零解，所以|A|=0，即A不可逆，与已知矛盾。
3．不相似。
否则有可逆阵C使C-1AC=B，即A=B，矛盾。
4．分别是(4分)。
5．不相似(2分)。
否则，存在可逆阵C使C-1AC=B，即A=B，矛盾(2分)。
6．A+B一定为正定阵因为，从而，所以A+B一定为正定阵。
三、计算题（一）（每小题8分，共32分）1.值为120（答案错误可适当给步骤分）。
2.解：由化简得，可逆，所以。
3.解：∽，故或为一个最大线性无关组（或其他正确答案）。
4.解：利用分块矩阵，则5.是，6.(1) ；(2)。
7.(1)（0，-2），零维1，秩2。
(2)；(3)；(4)，。
8.由化简得（A-E）X=(A-E)(A+E)，可逆，所以。
四、计算题（二）（每小题12分，共24分）1．解：方程组的系数得列式（1）当时，方程组有惟一解；（2）当时，原方程组的三个方程成为，其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1，所以方程组有无穷多解，其解为（为任意实数）或写为（为任意实数）。
（3）当时，，此时原方程无解。
2．解：(1)因，A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即，解得a=5,b=6(2)当时，求解齐次方程组，其基础解系为当时，求解齐次方程组，其基础解系为令，则有。
3．解：方程组的系数得列式（3）当时，方程组有惟一解；（4）当时，原方程组的三个方程成为其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1，所以方程组有无穷多解，其解为（为任意实数）或写为（为任意实数）（5）当时，，此时原方程无解。
国家开放大学《工程数学》综合练习题参考答案
A． a1 a2 a3 0
B． a1 a2 a3 0
C． a1 a2 a3 0
D． a1 a2 a3 0
28.设矩阵
A
1 1
1
1
的特征值为 0，2，则 3A 的特征值为
(D)
．
A．0，2 B．2，6 C．0，0 D．0，6 29.若事件 A 与 B 互斥，则下列等式中正确的是（A）．
国家开放大学《工程数学》综合练习题参考答案
一、单项选择题
本套练习题包括题型：
一、单项选择题（40） 二、填空题（35） 三、计算题（28） 四、证明题（6）
1.设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）． A. ( A B)1 A1 B 1 B. A B A B
C. 2AB 2n A B D. ( AB)1 B 1 A1
B． AB AB C． AB 1 B 1 A1 D． A B 1 A1 B 1
23.设 A , B 是两个随机事件，下列命题中不正确的是(B) ． A. P( A B) P( A) P(B) P( AB) B. P( AB) P( A)P(B)
C. P( A) 1 P( A) D. P( A B) P( AB)
A． P( A B) P( A) P(B)
B． P(B) 1 P( A)
C． P( A) P( A B)
D． P( AB) P( A) P(B)
30.设 x1, x2 ,, xn 是来自正态总体 N (5,1) 的样本，则检验假设 H 0 : 5 采用统计 量 U =（C）．
A． x 5 5
7.向量组 1 0, 0, 0, 2 1, 0, 0, 3 1, 2 , 0, 4 1, 2 , 3的极大线性无关
2014届四川省成都市高三第二次诊断性考试理科数学试题（含答案解析）
2014届四川省成都市⾼三第⼆次诊断性考试理科数学试题（含答案解析）第 1 页共 11 页启⽤前☆绝密【考试时间:2014年3⽉20⽇下午3:00~5:00】成都市2011级⾼中毕业班第⼆次诊断性检测数学（理⼯类）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，第I 卷（选择题）第1⾄2页，第II 卷（⾮选择题）3⾄4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将⾃⼰的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使⽤2B 铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪擦擦拭⼲净后，再选涂其他答案标号。
3.答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题⽬必须在答题卡上做答，在试题卷上答题⽆效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分.在每⼩题给出的四个选项中，有且只有⼀项是符合题⽬要求的.1. 设复数i z +=3（i 为虚数单位）在复平⾯中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转0°得到OB ，则点B 在（A ）第⼀象限（B ）第⼆象限（C ）第三象限（D ）第四象限2. 执⾏如图的程序框图，若输⼊的x 值为7，则输出的x 的值为（A ）41 （B ）3log 2（C ）2（D ）33. ()101-x 的展开式中第6项系的系数是（A ）510C - （B ）510C（C ）610C - （D ）610C 4. 在平⾯直⾓坐标系xoy 中，P 为不等式??≤--≥-+≤01021y x y x y 所表⽰的平⾯区域上⼀动点，则直线OP 斜率的最⼤值为（A ）2 （B ）31 （C ）21 （D ）1 5. 已知βα,是两个不同的平⾯，则“平⾯//α平⾯β”成⽴的⼀个充分条件是。
2014年4月全国网络统考资料《高等数学B》第2套模拟题及参考答案
高等数学B2一．选择题（满分20分）本大题共4个小题，每小题5分．对于每小题给出的命题，认为正确请选A ，认为不正确请选B 。
1．函数()1,0,2,0,x x f x x -≥⎧=⎨<⎩则()01f =． A ．正确 B ．不正确2．极限0lim30x x →=． A ．正确 B ．不正确3．函数()31f x x =-在点1x =处连续．A ．正确B ．不正确4．定积分12201d d x x x x =⎰⎰． A ．正确 B ．不正确二．选择题（满分30分）本大题共6个小题，每小题5分．对于每小题给出的命题，认为正确请选A ，认为不正确请选B 。
5． ()cos f x x =在(),-∞+∞内不是周期函数．A ．正确B ．不正确6． 极限13lim 12x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭． A ．正确 B ．不正确7．设函数 4y x =，则 d 4d y x =．A ．正确B ．不正确8．设函数4y =，则22d 4d y x=． A ．正确 B ．不正确9．不定积分2322d 3x x x C =+⎰． A. 正确 B. 不正确10． d d y xy x= 是可分离变量的微分方程． A. 正确 B. 不正确三．选择题（满分30分）本大题共6个小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母答在题中相应位置上．11．极限211lim 1x x x →-=-( ) ． A. 1 B. 2 C. 4 D. 012．设函数2e x y =，则d y =（ ）．A ．22e d x xB ．2e d x xC ．21e d 2x x D ．e d x x 13．设函数sin y x x =，则d d y x=（ ）． A ． sin x B ． cos x xC ． cos xD ． sin cos x x x +14．设函数()f x =()f x ( ).A ．在(),0-∞内单调增加,在()0,+∞内单调减少B ．在(),0-∞内单调减少,在()0,+∞内单调增加C ．在(),-∞+∞单调增加D. 在(),-∞+∞内单调减少15． ()()d1d d x x x -=⎰（ ）． A. x B. 1- C. 1x - D. 1x +16．定积分π20(cos 2)d x x x +=⎰（ ）．A ．2π14--B ．2π14-C ．2π14-D ．2π14+ 四．选择题（满分20分）本大题共4个小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母答在题中相应位置上．17． 不定积分d3x x =⎰( ) ．A. 33d x x x x +⎰B. 33ln 3d x x x x +⎰C. 33d x x x x -⎰D. 33ln 3d x x x x -⎰18．曲线3231y x x =--+的凸区间是（ ）．A ．()2,1--B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(),-∞+∞19．定积分x x x d 1)1ln(1-e 0⎰++=（ ）．A ．21-B ．0C ．1e -D ．21 20． 微分方程d cos d cos y x x y =- 的通解是（ ）． A ．sin sin x y C += B ．cos cos x y C -=C ．sin sin x y C -=D ． cos cos x y C +=解答 1．B 2．A3．A 4．B 5．B 6．B7．A 8．B 9．A 10．A 11．B 12．A13．D 14．C 15．C 16．D 17．C 18．B19．D 20．A。
工程数学作业2答案
工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）．A. 3B. 2C. 4D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ ）成立．Ａ．λ是AB 的特征值 Ｂ．λ是A+B 的特征值Ｃ．λ是A －B 的特征值 Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 12120+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-31000101001001020001310004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x２．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］∴ 当1≠λ且2-≠λ时，3)()(==A R A R ，方程组有唯一解当1=λ时，1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解３．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解：向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,解：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=0000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关５．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系． 解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-0001000143100145010001002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ，得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ ６．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =，24k x =，这里1k ，2k 为任意常数，得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x７．试证：任一４维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα 任一４维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a 44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解，即n A R R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9．设λ是可逆矩阵Ａ的特征值，且0≠λ，试证：λ1是矩阵1-A 的特征值．证明： λ是可逆矩阵Ａ的特征值∴ 存在向量ξ，使λξξ=A∴ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A I∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值 10．用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型．解：42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++= 222423221)()(x x x x x x -+-++= ∴ 令211x x y +=，4232x x x y +-=，23x y =，44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=。
2014年春 川大网络学院 工程数学第二次作业满分答案
你的得分：100.0完成日期：2014年07月19日14点58分说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，标准答案将在本次作业结束(即2014年09月11日)后显示在题目旁边。
一、单项选择题。
本大题共11个小题，每小题5.0 分，共55.0分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( A )A. AB. BC. CD. D2.( C )A. AB. BC. CD. D3.( A )A. AB. BC. CD. D4.( C )A. AB. BC. CD. D5.( C )A. AB. BC. CD. D6.( A )A. AB. BC. CD. D7.( B )A. AB. BC. CD. D8.( A )A. AB. BC. CD. D9.( C )A.0B. 1C. 2D. 410.( D )A. AB. BC. CD. D11.( D )A. AB. BC. CD. D二、多项选择题。
本大题共4个小题，每小题5.0 分，共20.0分。
在每小题给出的选项中，有一项或多项是符合题目要求的。
1.( BC )A. AB. BC. CD. D2.下面描述正确的是（）。
( AB )A.调和场的旋度为0B.调和场的散度为0C.调和场的梯度为0D.调和场的旋度和散度有可能不全为03.下面描述正确的是（）。
( BC )A.数量场的梯度场是数量场。
B.数量场的梯度场是矢量场。
C.矢量场没有梯度场。
D.矢量场有梯度场。
4.( AC )A. AB. BC. CD. D三、判断题。
本大题共5个小题，每小题5.0 分，共25.0分。
1.(错误)2.(正确)3.(错误)4.卷积满足结合律，但是不满足交换律。
(错误)5.(错误)。
工程数学乙卷
安顺学院2013—2014学年度第二学期期末考试试卷 《 工程数学 》试卷（乙卷）第1页（共4页） 安顺学院2013－2014学年度 第二学期期末考试 工程数学 试卷 一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 1. 13i +的指数式为（ ）。
A.232i e π B.23i e π C.32i e π D.62i e π 2. 复函数LnZ （ ）。
A .在复平面上处处解析； B.在复平面上处处不解析； C. 除去原点外处处解析； D.除去原点及负半实轴外处处解析. 3. 由柯西积分公式得，积分||12z dz z =-⎰的值为（ ）。
A.0 B. 1 C. 2 D.无解 4. 洛朗级数的正幂部分叫（ ）。
A.主要部分 B.解析部分 C.无限部分 D.都不对 5. z 1sin 在点z=0处的留数为（ ）。
A.-1 B.0 C.1 D.2 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 题号 一 二 三 四 总分 得分 得分 得分 考生座位号电子与信息工程学院 2012级 电子信息工程专业 姓名学号―――――⊙――――――装――――――⊙―――――订―――――⊙――――――线――――――⊙―――――考 生 答 题 不 得 超 过 此 线 试卷代码安顺学院2013—2014学年度第二学期期末考试试卷《 工程数学 》试卷（乙卷）第2页（共4页）1. ()53i -= 。
2. 幂级数()21!n n n n z n∞=∑收敛半径为： 。
3. 孤立奇点可分为可去奇点、极点和 三种。
4. 在扩充复平面上两点1z 与2z 是关于圆周C 的对称点的充要条件是通过1z 与2z 的任何圆周Γ与C 。
5. 按定义，函数()f x 的傅里叶变换式为 。
三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10 分）1. 如果平面点集G 中的每一点都是它的内点，则称G 为开集。
（ ）2. ln z 的所有分支可表示为ln 2z Lnz k i π=+。
《工程数学》广播电视大学历年期末试题及答案及中央电大工程数学形成性考核册答案
试卷代号：1080中央广播电视大学2011～2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）工程数学(本) 试题2012年1月一、单项选择题(每小题3分，共15分)1． 设A ，B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下列（ ）成立．A ． AB A B +=+ B ．AB A B '=C ． 1AB A B -=D ．kA k A =2． 设A 是n 阶方阵，当条件（ ）成立时，n 元线性方程组AX b =有惟一解．3．设矩阵1111A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ ）。
A ．0，2 B ．0，6C ．0，0D ．2，64．若随机变量(0,1)X N :，则随机变量32Y X =-: ( )．5． 对正态总体方差的检验用( )．二、填空题(每小题3分，共15分)6． 设,A B 均为二阶可逆矩阵，则111O A B O ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ．8． 设 A ， B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =,则称A 与B ．9．若随机变量[0,2]X U :，则()D X = ．10．若12,θθ都是θ的无偏估计，且满足 ______ ，则称1θ比2θ更有效。
三、计算题(每小题16分，共64分)11． 设矩阵234123231A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111111230B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么A B -可逆吗？若可逆，求逆矩阵1()A B --． 12．在线性方程组123121232332351x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩中λ取何值时，此方程组有解。
在有解的情况下，求出通解。
13. 设随机变量(8,4)X N :,求(81)P X -<和(12)P X ≤。
(已知(0.5)0.6915Φ=，(1.0)0.8413Φ=，(2.0)0.9773Φ=)14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。
(南通、泰州、扬州)2014届高三第二次调研测试数学(word版-含答案)
南通市2014届高三第二次调研测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．． 1．已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R▲ ．2．某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 3．复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ． 6．若12log 11aa <-，则a 的取值范围是 ▲ ． 7．若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ▲ ．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）9．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲ ． 10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为 ▲ ．13． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ． 14．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（第5题）PABC E（第16题） 在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1 1.4）．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)xy a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O 的最短距离为．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不 重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2rt S r S t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）； （2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log nb 为等比数列；（3）在（2）的条件下，求121nk n kk b T b-==-∑．20．(本小题满分16分)设函数()e ()xf x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2． （1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP // AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△P AE∽△BDE．（第21—AABCDDA 1B 1CE（第22题）21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ． 求证：|1|||x a x a -++-≥3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EBλ=．（1）证明：11D E A D ⊥； （2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．23.（本小题满分10分）设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，， （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数．南通市2014届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.{}13xx -<≤．2.18. ． 4.76. 5.48. 6.()4+∞，. 7.3-．8.充要． 10y +=． 10.－36． 11. 3415． 12.14π3 13.1. 14.12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=，亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分（方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，PABCDE （第16题）PABCD E（第16题）FM则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分 （方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分 （2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得sin()cos cos sin A B a B b A C c--=22cos cos 169725ac B bc A c c --===．……… 14分 16．（本小题满分14分）【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面P AD ，DF⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分 17．（本小题满分14分）【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分 当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分 （2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天， 浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=y有最小值为4a --.令44a -≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-．……… 14分 18．（本小题满分16分）【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分（2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，， 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=，即()()222182y x+=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分 （方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k+==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分 （解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． …………… 15分 当k ＝0，S △AMB 116129=⨯=>； 当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． …………… 16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OM k k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM+⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1） 19．(本小题满分16分)【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t S r S t=，得21nS n S =，即21n S a n =．… 2分 当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分 （2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分 （3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分 所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分 20．(本小题满分16分) 【解】（1）()e xf x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．………………… 2分 所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数； 于是当ln x a =时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分 因为函数()e ()xf x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0af <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>， 又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断， 可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分 设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s sg s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数，则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e xf x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i xi ax a -+=，则(1)e 0i xi a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分 所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<，（第21—A 题）由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x x a x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分 即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21A ．选修4—1：几何证明选讲【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分 21B ．选修4—2：矩阵与变换 【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ab c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ 的中点M ()1cos cos 2sin sin 2αααα+++，． ……………………… 4分 从而()()2222cos cos 2sin sin 222cos d MA ααααα==+++=+ ………………… 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分word 格式-可编辑-感谢下载支持ABC D D ABC E（第22题）于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分 21D ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………… 8分 又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥．………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系．不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)， B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)． 因为AE EB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分（2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)．又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()2201CE x y λλ=+-=+，n 2·120CD y z =-+=， 所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，，． 因为二面角D 1—EC—D 的大小为π4，则1212|||⋅=n n |n n ．解得λ=±2 33－1．又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为2 33－1． ……… 10分 23.（本小题满分10分）【解】（1）当3n =时，131a a ==．因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =．故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分word 格式-可编辑-感谢下载支持（2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件：77181111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)． 反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ． 显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1．当k 给定时，{b n }的取法有77C C kkk -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3， 故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。
2014年工程数学考试试卷A
)。
Байду номын сангаас
学 号 ：
封
)
) (C)π-arctan(1/2) ) (C)椭圆 (C) Z =0 (D)双曲线 (D)arg=π (D)π+arctan(1/2)
C
5、利用 Fourier 变换求积分方程
g(ω)cosωtdω=
0
sint
t
的解。
6、求函数 f (t)= tm 的 Laplace 变换，其中 m 为正整数。
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GDOU-B-11-302 广东海洋大学 2014—2015 学年第一学期
班 级 ：
《工程数学》课程考试试题
课程号：
题 (2014-2015-1)-16621001x2 √考试 -163006-1 □考查 二 20 三 60
四 五 六 七 八
√A 卷 B卷
九 十
√闭卷 □开卷
阅卷教师 100
号 一
总分
各题分数 20
姓 名 ： 密
实得分数
一、单项选择题（每题 2 分，共 20 分）
1、事件表达式 A B 的意思是( ) (A)事件 A 与事件 B 同时发生 (B) 事件 A 发生但事件 B 不发生 (C)事件 B 发生但事件 A 不发生 (D) 事件 A 与事件 B 至少有一件发生 2、掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现 1 点的概率为( (A)1/3 (B)1/2 (C)1/6 (D)2/3 2 3、样本(X1,X2,X3)取自总体 X，E(X)=μ, D(X)=σ , 则有( ) (A)X1+X2+X3 是 μ 的无偏估计 (B)(X1+X2+X3)/3 是 μ 的无偏估计 2 2 (C)X2 是σ 的无偏估计 (D)[(X1+X2+X3)/3]2 是σ2 的无偏估计 4、已知随机变量 X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则 X2＋Y2 服从( (A)自由度为 1 的 2 分布 (B)自由度为 2 的 2 分布 (C)自由度为 1 的 F 分布 (D)自由度为 2 的 F 分布
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你的得分：100.0
完成日期：2014年07月19日14点58分
说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，标准答案将在本次作业结束(即2014年09月11日)后显示在题目旁边。
一、单项选择题。
本大题共11个小题，每小题5.0 分，共55.0分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
( A )
A. A
B. B
C. C
D. D
2.
( C )
A. A
B. B
C. C
D. D
3.
( A )
A. A
B. B
C. C
D. D
4.
( C )
A. A
B. B
C. C
D. D
5.
( C )
A. A
B. B
C. C
D. D
6.
( A )
A. A
B. B
C. C
D. D
7.
( B )
A. A
B. B
C. C
D. D
8.
( A )
A. A
B. B
C. C
D. D
9.
( C )
A.0
B. 1
C. 2
D. 4
10.
( D )
A. A
B. B
C. C
D. D
11.
( D )
A. A
B. B
C. C
D. D
二、多项选择题。
本大题共4个小题，每小题 5.0 分，共20.0分。
在每小题给出的选项中，有一项或多项是符合题目要求的。
1.
( BC )
A. A
B. B
C. C
D. D
2.下面描述正确的是（）。
( AB )
A.调和场的旋度为0
B.调和场的散度为0
C.调和场的梯度为0
D.调和场的旋度和散度有可能不全为0
3.下面描述正确的是（）。
( BC )
A.数量场的梯度场是数量场。
B.数量场的梯度场是矢量场。
C.矢量场没有梯度场。
D.矢量场有梯度场。
4.
( AC )
A. A
B. B
C. C
D. D
三、判断题。
本大题共5个小题，每小题5.0 分，共25.0分。
1.
(错误)
2.
(正确)
3.
(错误)
4.卷积满足结合律，但是不满足交换律。
(错误)
5.
(错误)。