寒假测试卷(11)A(教师用)

寒假测试卷（11）A 批改人 家长签字 得分
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：（共8道小题，每小题5分，共40分，选对一项得5分，多选则该小题不得分。

） 1. 已知命题p :所有有理数都是实数，命题q :正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 （ D ）
A ．q p ∨⌝)(
B ．q p ∧
C ．)()(q p ⌝∧⌝
D ．)()(q p ⌝∨⌝
2. 过抛物线2m y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，若,A B 的纵坐标之积为4-，则实数 m =（ Ｃ ）
A 、2
B 、2或2-
C 、4或4-
D 、1或1- 3. 若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当
AB
取最小值时，x 的值等于（ Ｃ ）
A ．19
B ．7
8- C ．78 D ．1419
4. 抛物线y x =2
的准线方程是（ B ） A. 014=+x
B. 014=+y
C. 012=+x
D. 012=+y 5. 满足f (x )＝f ′(x )的函数是（ C ）
A f (x )＝1－x
B f (x )＝x
C f (x )＝0
D f (x )＝1
6. 命题“存在∈0x R ，0
2
x ≤0”的否定是( D )
A ．不存在∈0x R, 0
2x >0 B ．存在∈0x R, 0
2
x ≥0
C ．对任意的∈x R, 2x
≤0 D ．对任意的∈x R, 2x
>0
7. 曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ A ） A
B
．
C
．
D ．0
8. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ D ）
第Ⅱ卷（非选择题 共60分）
二、填空题：（共6道小题，每小题5分，共30分）
9. 已知向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=若//a b
则实数=m _____，=r _______。

答案：=m 15 =r 1
5
-。

10. 若向量(1,2,2),(2,1,2)a b =-=-
，且a 与b 的夹角余弦为_____________.
答案：
9
8。

11. 与双曲线116
92
2=-y x 有共同的渐近线、且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为
答案：
4
5。

12. 椭圆
14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是_____________. 答案：
10
13. 已知圆22670x y x +--=与抛物线2
2y px = （p ＞0）的准线相切，则p =
答案：2。

14. 已知向量k j i ,,不共面，向量+-=2，23++-=，x +-=3共面，则=x
答案：7。

三、解答题：（共4道大题，6分+8分+8分+8分）
15. 已知命题p ：方程
11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线152
2=-m
x y
的
离心率)2,1(∈e ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围。

解：若命题p 为真命题：由方程
22121x y m m -=-化为22
112y x m m
+=-则 10
20
12m m m m
->⎧⎪
>⎨⎪->⎩
解得：0＜m ＜13 ………………………………………（4分） 若命题q 为真命题：1＜
55
m
+＜4 解得： 0＜m ＜15 …………………………………………（8分） 因为p 或q 为真命题，p 且q 为假命题 所以p q 、为一真一假
（1）若p q 真假 则 m ∈∅ …………………………………………（10分） （2）若p q 假真 则 1
3
m ≤＜15 ……………………………………………（12分） 故m 的取值范围为
1
3
m ≤＜15 …………………………………………（13分） 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD
，AB =1BC =，2PA =， E 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB
内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离
.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、
B
、,0)C 、(0,1,0)D 、
(0,0,2)P 、1
(0,,1)2
E ，
从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则
,14
7
37
23cos =
=
=
θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为
14
7
3.。

6分 （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则
)1,2
1
,(z x --=，由NE ⊥面PAC 可得，
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021
3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.
0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(
，从而N 点到AB 和AP
的距离分别为1,
6
.。

12分 17. P 为双曲线
22
1169
x y -=上一点，12F F 、为左右焦点，1260F PF ∠= .（1）求△12F PF 的面积；（2）求P 点的坐标。

解：（1）由已知条件得：4,3,5a b c === …………………………………（1分） 根据双曲线的定义得：128PF PF -= ① ………………………（3分）
根据余弦定理得：22
2
12122cos 6010PF PF PF PF +-= …………（4分）
即2121212()22cos60100PF PF PF PF PF PF -+-=
②
由①代入②得：1236PF PF = …………………………………（6分）
12121
sin 602
F PF S PF PF ∆=
= …………………………………（7分）
（2）设点(,)P x y ，由121
252
F PF S c y y ∆== 得5y =……………（9分）
所以 y =±
…………（10分）
将y =2
2
(51169
x -=
解得：x =……………（12分）
所以P 或P 或(P 或(P …………………………………………（14分）
18. 已知函数2ln 83)(2
++=
x x x f ，x x g =)(.求函数)(2)()(x g x f x F ⋅-=的极值点； 解：由题知：x x x x F 22ln 8
3)(2
-++=的定义域为（0,+∞）………1分
∵x
x x x F 4)
2)(23()(--='……………………………………2分
∴函数)(x F 的单调递增区间为),2[32,0+∞⎥⎦
⎤
⎝⎛和 ,)(x F 的单调递减区间为]2,32[，
所以3
2
=x 为)(x F 的极大值点，……………………………3分
2=x 为)(x F 的极小值点， ……………………………4分。