云南省昆明市2018届高三数学上学期第二次月考试题理2018010302122

云南省昆明市2018届高三数学上学期第二次月考试题理
注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，时间120分钟。

考试结束后，只交答题卡，试卷本人妥善保存。

第Ⅰ卷选择题（共60分）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是()
A．(0，＋∞)B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
2．函数y＝x2－2x＋m无零点，则m的取值范围为()
A．m＜1 B．m＜－1 C．m＞1 D．m＞－1
2x＋1，x ≤0，
{1－log2x，x >0，)则f(f(3))＝()
3．已知函数f(x)＝
4 2 4
A．B．C．－D．－3
3 3 3
4．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()
3 3 1 1
A．－B．C．－D．
2 2 2 2
1 π
α－
5．已知sin 2α＝3，则cos2(4)＝()
1 1
2 2
A．B．－C．. D．－
3 3 3 3
1
6．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则x＝()
5
A．4 B．－4 C．3 D．－3
θθθ
7．设θ是第三象限角，且|cos |＝－cos ，则是()
2 2 2
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
- 1 -
3 5 ππ
8．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，0)，则sin α
＝
13 (0，
2)(－
5 2
()
33 63 33 63
A．. B．. C．－D．－
65 65 65 65
9．在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()
10．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()
11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导
函数y＝f′(x)的图象如图
所示，则不等式f(x)＜1的解集是()
A．(－3，0) B．(－3，5) C．(0，5) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)
12．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：
①f′(x)>0时，－1<x<2；
②f′(x)<0时，x<－1或x>2；
③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.
- 2 -
则函数f(x)的大致图象是()
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
cos α
13．若sin α·tanα<0，且<0，则α是第________象限角．
tan α
14．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
2
15．x dx=
1-
16．已知x∈R，则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．
三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
π3π
sin（α－）·cos（＋α）·tan（π－α）
2 2
17. (1) 化简：
tan（－α－π）·sin（－α－π）
(2) sin(－1 071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)
- 3 -
4 π
18．已知sin θ＝，<θ<π.
5 2
(1) 求tan θ的值；
sin2θ＋2sin θcos θ
(2) 求的值．
3sin2θ＋cos2θ
19．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1) 求实数m的值；
(2) 作出函数f(x)的图象；
(3) 根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4) 根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
1
20．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
5
(1) 求sin A cos A的值；
(2) 判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3) 求tan A的值．
- 4 -
21．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1) 求a，b的值；
(2) 若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．
22．已知函数f(x)＝(x－k)e x.
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
- 5 -
昆明黄冈实验学校2017-2018学年上学期第二次月考
高三理科数学
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷选择题（共60分）
二．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是()
A．(0，＋∞)B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
D[解析] 由题意知，f′(x)＝e x－e，令f′(x)> 0，解得x>1，故选D.
2．函数y＝x2－2x＋m无零点，则m的取值范围为()
A．m＜1 B．m＜－1 C．m＞1 D．m＞－1
C[解析] 由Δ＝(－2)2－4m＜0，得m＞1，故选C.
2x＋1，x ≤0，
{1－log2x，x >0，)则f(f(3))＝()
3．已知函数f(x)＝
4 2 4
A. B. C．－D．－3
3 3 3
A[解析] 由f(x)的解析式可得f(3)＝1－log23，又1－log23<0，则f(f(3))＝f(1－
22 4
log23)＝22－log23＝＝，故选A.
2log23 3
4．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()
3 3 1 1
A．－B．C．－D．
2 2 2 2
D[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin
1
10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.
2
1 π
5．已知sin 2α＝3，则cos2(α－4)＝()
1 1
2 2
A. B．－ C. D．－
3 3 3 3
π 1
1＋cos(2)
2α－1＋
π1＋sin 2α 3 2
C[解析] c os2(＝＝＝＝，故选C.
α－4)
2 2 2 3
1
6．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则x＝()
5
A．4 B．－4 C．3 D．－3
D[解析] 因为α是第二象限角，所以x<0.
x 1
又由题意知＝x，解得x＝－3.
x2＋16 5
θθθ
7．设θ是第三象限角，且|cos |＝－cos ，则是()
2 2 2
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
- 6 -
3ππθB[解析] 由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋< <k
2 2 2
3π π＋
(k∈Z)；
4
θθθπθ3π
又|cos |＝－cos ，所以cos ≤0，从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，综上可
2 2 2 2 2 2
πθ3πθ
知2kπ＋< <2kπ＋(k∈Z)，即是第二象限角．
2 2 4 2
3 5 ππ
8．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈2)，β∈(，则sin α＝
13 (－
0，，0)
5 2
()
33 63 33 63
A. B. C．－D．－
65 65 65 65
π－5 12
A[解析] 因为β∈(，sin β＝，所以cos β＝.
－，0)
2 1
3 13
3 4
又因为α－β∈(0，π)，cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝，
5 5
33
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝.
65
9．在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()
D[解析] 当a>1时，A中的直线位置错误，排除A；D中的三个函数图象都正确；当0<a<1 时，B中的直线位置错误，排除B，C中的直线与指数函数的图象都错误，排除C.故选D.
10．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是
()
- 7 -
D [解析]当 x <0时，由导函数 f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数 f (x )在该区间内 单调递减；当 x >0时，由导函数 f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的 值是大于 0的，则在此区间内函数 f (x )单调递增．只有 D 选项符合题意．
11．(2017·郑州第一次质量预测)
已知定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为 f (x )的导函数，且导函数 y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式 f (x )＜1的解集是( )
A ．(－3，0)
B ．(－3，5)
C ．(0，5)
D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 12．函数 f (x )的导函数 f ′(x )有下列信息： ①f ′(x )>0时，－1<x <2； ②f ′(x )<0时，x <－1或 x >2；
③f ′(x )＝0时，x ＝－1或 x ＝2. 则函数 f (x )的大致图象是( )
C [解析] 根据信息知，函数 f(x)在(－1，2)上是增函数． 在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选 C.
第Ⅱ卷 非选择题（共 90分）
三、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分）
cos α
13．若 sin α·tan α<0，且 <0，则 α 是第__三______象限角． tan α
[解析] 由 sin α·tan α<0可知 sin α，tan α异号，从而 α 为第二或第三象限角； cos α 由 <0，可知 cos α，tan α异号，从而 α 为第三或第四象限角．综上，α为第三象限 tan α 角．
14．曲线 y ＝x 2与直线 y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．
y ＝x 2，
(1)如图，阴影部分的面积即为所求．由{y ＝x ， )得 A (1，1)．
1
1
1 1
故所求面积为 S ＝
∫(x －x 2
)d x ＝
| ＝ .
(
x 3
)
x 2－
10
2
3
6
2
15．
x dx =
1-
2
1
2
∫0 ∫0 ∫
|1－x|d x＝(1－x)d x＋(x－1)d x
1
- 8 -
1
1 1 1
1
＝
(
| ＋
| ＝
－0＋
－
＝1.
x － x 2
)
x 2－x
)
× 12－1
)
1
2
) ( × 22
－2) (
2
1－
2 2
2 2
16．已知 x ∈R ，则使 sin x >cos x 成立的 x 的取值范围是________．
π 5π
[解析] 在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当 x ∈( ， )时，sin x >cos x ，所以
4 4 π 5π
使 sin x >cos x 成立的 x 的取值范围是(2k π＋ ，2k π＋ )，k ∈Z . 4 4
π 5π
[答案] (2k π＋ ，2k π＋ )，k ∈Z 4 4
三．解答题（共 6小题，第 17小题 10分，其余各小题 12分，共 70分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤）
π 3π
sin （α－ ）·cos （ ＋α）·tan （π－α） 2 2
17. (1) 化简：
tan （－α－π）·sin （－α－π）
π 3π
sin （α－ ）·cos （ ＋α）·tan （π－α） 2 2
[解] (1) f (α)＝
tan （－α－π）·sin （－α－π）
（－cos α）·sin α·（－tan α）
＝ ＝－cos α.
（－tan α）· sin α
(2) sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)
[解析] 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填 0. 4 π
18．已知 sin θ＝ ， <θ<π. 5 2
(1) 求 tan θ的值； sin 2θ＋2sin θcos θ
(2) 求 的值．
3sin 2θ＋cos 2θ
9 [解] (1)因为 sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以 cos 2θ＝
. 25
π 3
又 <θ<π，所以 cos θ＝－ . 2 5 sin θ 4 所以 tan θ＝ ＝－ . cos θ 3 sin 2θ＋2sin θcos θ tan 2θ＋2tan θ 8
(2)由(1)知， ＝ ＝－ . 3sin 2θ＋cos 2 θ 3tan 2θ＋1 57
19．已知函数 f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且 f (4)＝0. (1)求实数 m 的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
- 9 -
[解] (1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)由(1)得f(x)＝x|4－x|
x（x－4）＝（x－2）2－4，x≥4，
＝{－x（x－4）＝－（x－2）2＋4，x< 4.) f(x)的
图象如图所示．
(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．
(4)由图象可知，f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．
1
20．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
5
(1)求sin A cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
1
[解] (1)因为sin A＋cos A＝，①
5
1
所以两边平方得1＋2sin A cos A＝，
25
12
所以sin A cos A＝－.
25
12
(2)由sin A cos A＝－<0，且0<A<π，
25
可知cos A<0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
24 49 (3)因为(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝1＋＝，
25 25
又sin A>0，cos A<0，所以sin A－cos A>0，
7 所
以sin A－cos A＝，②
5
4 3
所以由①，②可得sin A＝，cos A＝－，
5 5
4
sin A 5 4
所以tan A＝＝＝－
cos A 3 3
－
5
21．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，所以f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
f′（2）＝0，12a＋b＝0，a＝1，
故有{f（2）＝c－16，)即{8a＋2b＋c＝c－16，)解得{b＝－12.) (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
- 10 -
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，－2)上为增函数．
当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2，2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可
知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，
在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16. 由题设条件知16＋c＝28，得
c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4.
22．已知函数f(x)＝(x－k)e x.
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
[解] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) －0 ＋
f(x) －e k－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增．所以f(x)在区间[0，1]
上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最
小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1＜k＜2时，f(x)min＝－e k－1；
当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
- 11 -。