第六章 实数单元 易错题难题提高题检测试题

第六章 实数单元 易错题难题提高题检测试题
一、选择题
1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162
=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12
；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……②
②-①得10661S S -=-，即10
561S =-，所以10615S -=. 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是
A ．201811a a --
B ．201911a a --
C ．20181a a -
D ．20191a -
3．有一个数阵排列如下：
1 2 4 7 11 16 22
3 5 8 12 17 23
6 9 13 18 24
10 14 19 25 15 20 26
21 27
28
则第20行从左至右第10个数为（ ）
A ．425
B ．426
C ．427
D ．428
4．
1的结果应该在下列哪两个自然数之间（ ）
A ．3，4
B ．4，5
C ．5，6
D ．6，7
5．下列说法正确的是（ ）
A ．
14
是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ．27的平方根是7 D ．负数有一个平方根
6．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B
和
﹣1，则点C 所对应的实数是( )
A ．1+3
B ．2+3
C ．23﹣1
D ．23+1
7．130a b -+-=，则a b +的值是（ ）
A ．0
B ．±2
C ．2
D ．4
8．设n 为正整数，且n ＜65＜n+1，则n 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 9．估计20的算术平方根的大小在（ ）
A ．2与3之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间 10．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③33是3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2的算术平方根是2．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．
12．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[38
5-)= 8-；②[x )
–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．
13．估计512-与0.5的大小关系是：512
-_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 14．若|x |＝3，y 2＝4，且x ＞y ，则x ﹣y ＝_____．
15．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．
16．按下面的程序计算：
若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n 值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n 值可以是________．
17的算术平方根为_______．
18．已知2(21)0a ++=，则22004a b +=________．
19．若x 、y 分别是8-2x -y 的值为________．
20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，＝2，现对72进行如下操
作：72821→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．
三、解答题
21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①31000100==，又1000593191000000<<，
10100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，
<<34<<，可得3040<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写．．．．
结果：
=________．
=________． 22．规律探究，观察下列等式：
第1个等式：111111434a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第2个等式：2111147347a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式：311117103710a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式：41111101331013a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭
请回答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：= ___________ = ___________
（2）用含n 的式子表示第n 个等式：= ___________ = ___________(n 为正整数） （3）求1234100a a a a a +++++
23．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =.
例如：因为328=，所以()3(8)2
3g g ==， 因为1021024=，
所以()10
(1024)210g g ==. （1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：
若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫=-
⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题：
①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫
⎪⎝⎭的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 24．观察下来等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
在上面的等式中，等式两边的数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据以上各等式反映的规律，使下面等式成为“数字对称等式”：
52×_____＝______×25；
(2)设这类等式左边的两位数中，个位数字为a ，十位数字为b ，且2≤a ＋b≤9，则用含a ，b 的式子表示这类“数字对称等式”的规律是_______．
25．对于实数a ，我们规定：用符号为a 的根整
数，例如：3=，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若1=，写出满足题意的x 的整数值______．
如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次
3
=→=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．26．阅读下列解题过程：
（1
2 ====；
（2
==
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程,
的结果为__________________．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
......
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
将2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．
【详解】
解：∵2=1×2，
∴F（2）=1
2
，故①正确；
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小
∴F（24）= 42
=
63
，故②是错误的；
∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小
∴F（27）=31
=
93
，故③错误；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数的积，则F（n）=1，故④是正确的.正确的共有2个．
故答案为B．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先根据题意，设M=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，求出aM的值是多少，然后求出aM-M的值，即可求出M的值，据此求出1+a+a2+a3+a4+…+a2019的值是多少即可．
【详解】
∵M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，
∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，
②-①，可得aM-M=a2019-1，
即（a-1）M=a2019-1，
∴M=
20191
1 a
a
-
-
.
故选：B.
【点睛】
考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．3．B
解析：B
【解析】
试题解析：寻找每行数之间的关系，抓住每行之间的公差成等差数列，便知第20行第一个数为210，而每行的公差为等差数列，
则第20行第10个数为426，
故选B.
4．D
解析：D
【分析】
直接利用已知无理数得出最接近的整数，进而得出答案．
【详解】
解：∵72＝49，82＝64，
∴78
<<，
∴617
<<，
1的结果应该在自然数6，7之间．
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的整数解问题，掌握求无理数的整数解的方法是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B 进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．
【详解】
A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；
B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；
C、72的平方根为±7，所以C选项错误；
D、负数没有平方根．
故选B．
【点睛】
本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作a≥0）；0的平方根为0．
6．D
解析：D
【详解】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()
x1-，解得.
故选D.
7．C
解析：C
【分析】
由算术平方根和绝对值的非负性，求出a、b的值，然后进行计算即可．
【详解】
解：根据题意，得
a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4，
∴
2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确求出a、b的值．
8．D
解析：D
【分析】
n的值．
【详解】
∴89，
∵n n+1，
∴n=8，
故选；D．
【点睛】
9．C
解析：C
【解析】
试题分析：∵16＜20＜25，
∴
∴4＜5．
故选C．
考点：估算无理数的大小．
10．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义判断①；根据实数的定义判断②；根据立方根的定义判断③；根据无理数的定义判断④；根据算术平方根的定义判断⑤．
【详解】
解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故①错误；②实数包括无理数和有理数，故②正确；
3的立方根，故③正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故④错误；
⑤2，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握．
二、填空题
11．-4
【解析】
解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．
解析：-4π
【解析】
解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．
12．③，④
【分析】
①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，
②由定义得[x)x变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义
解析：③，④
【分析】
①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)<x≤[x)+1，[
3
8
5
-)<
3
8
5
-<-8，[
3
8
5
-)=-9即可，
②由定义得[x)<x变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义知[x)<x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)<x联立即可判断．【详解】
由定义知[x)<x≤[x)+1，
①[
3
8
5
-)=-9①不正确，
②[x)表示小于x的最大整数，[x)<x，[x) -x<0没有最大值，②不正确
③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确，
④由定义知[x)<x≤[x)+1，
由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，
∵[x)<x，
∴x1
-≤[x)<x，
④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)<x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．
13．>
【解析】
∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.
解析：>
【解析】
∵1
0.52-=-=20-> , ∴0> , ∴0.5> ,故答案为>.
14．1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x ＝3，y ＝2或x ＝3，y ＝﹣2，
则x ﹣y ＝1或5．
故答案为1
解析：1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x ＝3，y ＝2或x ＝3，y ＝﹣2，
则x ﹣y ＝1或5．
故答案为1或5．
【点睛】
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，
∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，
∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；
③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；
综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2.
故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.
【详解】
请在此输入详解！
16．131或26或5.
【解析】
试题解析：由题意得，5n+1=656，
解得n=131，
5n+1=131，
解得n=26，
5n+1=26，
解得n=5.
解析：131或26或5.
【解析】
试题解析：由题意得，5n+1=656，
解得n=131，
5n+1=131，
解得n=26，
5n+1=26，
解得n=5.
17．【分析】
利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．
【详解】
∵，，
∴的算术平方根为；
故答案为：.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 解析：12
【分析】
14
的值，求出14的算术平方根即可．． 【详解】
14=12
=，
的算术平方根为12； 故答案为：
12. 【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
18．【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴2a＋1＝0，b −1＝0，
∴a＝，b ＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了非负数 解析：54
【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵2(21)0a +=，
∴2a ＋1＝0，b−1＝0，
∴a ＝12-
，b ＝1， ∴222004200411511244a b ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭
， 故答案为：
54． 【点睛】
本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
19．【分析】
估算出的取值范围，进而可得x ，y 的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分x ＝4，小数部分y ＝，
∴2x－y ＝8－4＋，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了估算无理
解析：4+【分析】
估算出8-x ，y 的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵34<<，
∴4<85，
∴8x ＝4，小数部分y ＝448=
∴2x －y ＝8－44=
故答案为：4
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出x ，y 的值．
20．255
【分析】
根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．
【详解】
解：∵，，，
∴只
解析：255
【分析】
根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．
【详解】
解：∵1=，3=，15=，
∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．
三、解答题
21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】
（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】
（1）①31000100==，10001951121000000<< ，
∴10100<<，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
<<
∴56<<，
可得5060<<，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】
此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
22．（1）11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
；（2）[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦；（3）100301
. 【分析】
（1）观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母，再依照前4个等式即可得出答案；
（2）根据前4个等式归纳类推出一般规律即可；
（3）利用题（2）的结论，先写出1234100a a a a a +++++中各数的值，然后通过提取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可.
【详解】
（1）观察前4个等式的分母可知，第5个式子的分母为1316⨯
则第5个式子为：51111131631316a ⎛⎫=
=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 故应填：11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝
⎭； （2）第1个等式的分母为：14(130)(131)⨯=+⨯⨯+⨯
第2个等式的分母为：47(131)(132)⨯=+⨯⨯+⨯
第3个等式的分母为：710(132)(133)⨯=+⨯⨯+⨯
第4个等式的分母为：1013(133)(134)⨯=+⨯⨯+⨯
归纳类推得，第n 个等式的分母为：[]13(1)(13)n n +-⋅+
则第n 个等式为：[]1111313(1)(13)13(1)13n a n n n n +-⋅++⎡⎤==-⎢⎥⎣-⎦
+（n 为正整数） 故应填：[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦
； （3）由（2）的结论得：
[]10013(1001)(13100)298301311111329801a ⎛⎫==+⨯-⨯+⨯⨯=⨯- ⎪⎝⎭
则1234100a a a a a +++++ 1111144771010132983011+++++⨯⨯⨯⨯⨯= 111111111111343473711132981031013301⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++ ⎪ ⎪ ⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭ 111111111++++3447710111290133018=-⎛⎫⨯-+--- ⎪⎝⎭
1330111⎛=⨯-⎫ ⎪⎝⎭ 301301
03⨯= 1
10030=. 【点睛】
本题考查了有理数运算的规律类问题，依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键.
23．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.
【分析】
（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；
（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），
7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16
g g g =-，再代入求解.
【详解】
解：（1）g （2）=g （21）=1，
g （32）=g （25）=5；
故答案为1，32；
（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），
∵g （7）=2.807，g （2）=1，
∴g （14）=3.807；
7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；
②∵()3g p =.
∴22
(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416
g g g p =-=-. 【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．
24．（1）275，572；（2）（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a].【分析】
（1）观察等式，发现规律，等式的左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；等式的右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行写出即可．
【详解】
解：（1）∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
（2）左边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b；
右边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a；
“数字对称等式”为：（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．
故答案为275，572；（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
25．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】
（1
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,
＜6，
∴5
∴
]=[2]=2，]=5，
故答案为2，5；
（2）∵1
2=1，22=4，且]＝1，
∴x=1，2，3，
故答案为1，2，3；
（3）第一次：
，
第二次：，
第三次：，
故答案为3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵，，]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵
，，]=2，]=1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
26．（12）9
【分析】
（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.
【详解】
==
解：（1
（2......
=
=-1+10
=9
【点睛】
此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.。