2020年吉林省白山市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(附答案详解)

2020年吉林省白山市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）
1.设集合A={x|y=√x−3}，B={x|1<x≤9}，则(∁R A)∩B=()
A. (1,3)
B. (3,9)
C. [3,9]
D. ⌀
2.已知复数z=5i
2−i
+5i，则|z|=()
A. √5
B. 5√2
C. 3√2
D. 2√5
3.设a=313，b=log1
32，c=(1
3
)12，则()
A. b<a<c
B. c<b<a
C. b<c<a
D. c<a<b
4.函数f(x)=cos2(x+π
3
)的最小正周期为()
A. π
2B. 2π C. π D. π
4
5.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”
的概率为()
A. 1
6B. 1
12
C. 1
3
D. 1
2
6.设m，n，l为三条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下面结论正确的是()
A. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n
B. 若m//α，n//β，m⊥n，则α⊥β
C. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D. m//α，n//α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
7.若执行如图所示的程序框图，则输出的S=()
A. ln10
B. 2ln3
C. ln7
D. 3ln2
8.已知函数f(x)=3|x−a|+2，且满足f(5+x)=f(3−x)，则f(6)=()
A. 29
B. 11
C. 3
D. 5
9.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为
半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|=()
A. 16
B. 10
C. 12
D. 8
10.已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=xlnx+1，则曲线y=f(x)在x=−1处
的切线方程为()
A. y=−x
B. y=−x+2
C. y=x
D. y=x−2
11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积
公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，
则该数列的第19项为()(注：12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)
6
)
A. 1624
B. 1198
C. 1024
D. 1560
12.在三棱锥D−ABC中，AB=BC=CD=DA=1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分
别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：
①AC⊥BD；
②MN//平面ABD；
③三棱锥A−CMN的体积的最大值为√2
12
；
④AD与BC一定不垂直．
其中所有正确命题的序号是()
A. ①②③
B. ②③④
C. ①④
D. ①②④
二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.已知数列{a n}是等比数列，a1=1，a3=36，则a2=______．
14.已知向量a⃗=(4,−3),b⃗ =(−1,2)，a⃗,b⃗ 的夹角为θ，则sinθ=______．
15.(2x3−1
x
)8的展开式中常数项是____.(用数字表示)
16.双曲线x2
a22−y2
b22
=1(a2>0,b2>0)与椭圆x2
a12
+y2
b12
=1(a1>b1>0)有相同的焦点，
且左、右焦点分别为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，若sin∠F1PF2=2sin∠PF1F2，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(3a+c)cosB+bcosC=0．
(1)求sinB；
(2)若a=1,b=2√2，求△ABC的面积．
18.如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段
BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．
(1)证明：BP⊥平面DCP．
(2)三棱锥D−BPC的体积最大时，求二面角B−PD−E的余弦值．
19.生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的
男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．
(1)完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女
情况有关；
(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．
附：
K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(其中n=a+b+c+d)．
20.已知F1，F2分别为椭圆C：x2
4+y2
3
=1的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴
的动弦，直线m：x=4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．
(1)证明：点B恒在椭圆C上．
(2)设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否
存在定点T，使得∠PTQ=π
2
恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知函数f(x)=lnx +1−2a −x +a
x 有两个不同的极值点x 1，x 2．
(1)求a 的取值范围．
(2)求f(x)的极大值与极小值之和的取值范围．
(3)若m ∈(0,1
2),n ∈(1
2,+∞)，则f(m)−f(n)是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =1
4+1
2
cosα,
y =√
34+12sinα
(α是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转π
3，交曲线C 于点N ，求|OM|⋅|ON|的最大值．
23. 已知函数f(x)=|x +2|+|x −3|．
(1)解不等式f(x)≤3x −2；
(2)若函数f(x)最小值为M ，且2a +3b =M(a >0,b >0)，求1
2a+1+3
b+1的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x|x≥3}，
∴∁R A={x|x<3}，
∵B={x|1<x≤9}，
∴(∁R A)∩B={x|1<x<3}，
故选：A．
根据交集补集的定义即可求出．
本题主要考查求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】B
【解析】解：∵z=5i
2−i +5i=5i(2+i)
5
+5i=−1+7i，
∴|z|=√(−1)2+72=5√2．
故选：B．
利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求|z|．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】
解：因为a=313>30=1，b=log1
32<log1
3
1=0，0<c=(1
3
)12<1，
所以b<c<a，故选A．
【解析】解：因为f(x)=cos 2(x +π
3)=
cos(2x+
2π
3
)+12
=12
cos(2x +
2π3
)+1
2
，
所以它的最小正周期为2π
2=π， 故选：C ．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性得出结论． 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：骰子向上为6点的概率为1
6， 硬币向上为正面的概率为1
2， 故所求事件的概率为1
6×1
2=112． 故选：B ．
骰子向上为6点的概率为1
6，硬币向上为正面的概率为1
2，由此能求出所求事件的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：对于选项 A 选项中，m ，n 可能异面；故错误． 对于选项B 选项中，α，β也可能平行或相交；故错误． 对于选项D 选项中，只有m ，n 相交才可推出l ⊥α.故错误．
对于选项C ，由于m ⊥α，n ⊥β，则，直线m 和n 可以看做是平面α和β的法向量，由于α⊥β，所以m ⊥n ，故正确． 故选：C ．
直接利用线面垂直和线面平行之间的转换求出结果．
本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行之间的转换，主要考查学生的转换能力及思维能力和空间想象能力，属于基础题型．
【解析】解：运行程序框图中的程序，
可得S=ln2
1+ln3
2
+ln4
3
+⋯+ln8
7
=ln
2
1
×
3
2
×
4
3
×…×
8
7
=ln8
=3ln2．
故选：D．
模拟运行程序框图中的程序，即可得出S的算式，计算即可．
本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8.【答案】B
【解析】解：因为f(5+x)=f(3−x)，所以f(x)的图象关于x=4对称，所以x=4时，3|4−a|=1，a=4，
f(6)=3|6−4|+2=9+2=11，
故选：B．
根据题意得到f(x)关于x=4对称，求出a，再代入x=6，求出即可
考查函数对称性，求函数的解析式，函数求值，中档题．
9.【答案】C
【解析】解：因为A，F，B三点共线，
所以AB为圆F的直径，AD⊥BD．
由抛物线定义知|AD|=|AF|=
1
2
|AB|，所以∠ABD=30°.因为F到准
线的距离为6，
所以|AF|=|BF|=2×6=12．
故选：C．
根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线
的定义，可得∠ABD=30°，所以
|AF|=|BF|=2×6=12．
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)是偶函数，当x >0时，f(x)=xlnx +1， 所以当x <0时，−x >0，
所以f(x)=f(−x)=−xln(−x)+1， 所以f(−1)=1， 又f′(x)=−ln(−x)−1， 所以f′(−1)=−1，
所以曲线y =f(x)在x =−1处的切线方程为y =−x ． 故选：A ．
依题意，可求得x <0时的解析式为f(x)=−xln(−x)+1，求导，可得曲线y =f(x)在x =−1处的切线的斜率，继而可得答案．
本题考查利用导数求曲线某点的切线方程，利用导数求得切线的斜率是关键，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：设该数列为{a n }，令b n =a n+1−a n ， 设{b n }的前n 项和为B n ，
又令c n =b n+1−b n ，设{c n }的前n 项和为C n ． 易c n =n ，C n =n 2+n 2
，进而得b n+1=3+C n =3+
n 2+n 2
，
所以b n =3+
n(n−1)2
=n 22
−12
n +3，则B n =
n(n+1)(n−1)
6
+3n ，
所以a n+1=1+B n ，所以a 19=1024． 故选：C ．
设该数列为{a n }，令b n =a n+1−a n ，设{b n }的前n 项和为B n ，又令c n =b n+1−b n ，设{c n }的前n 项和为C n .运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n 项自然数的平方和公式，计算可得所求．
本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化
简运算能力，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：设AC的中点为O，连接OB、OD，如图所示；
则AC⊥OB，AC⊥OD，
又OB∩OD=O，所以AC⊥平面OBD，
所以AC⊥BD，故①正确；
因为MN//BD，所以MN//平面ABD，故②正确；
当平面DAC与平面ABC垂直时，V三棱锥A−CMN最大，
最大值为V
三棱锥A−CMN =V
三棱锥N−ACM
=1
3
×1
4
×√2
4
=√2
48
，故③错误；
若AD与BC垂直，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，
又BD⊥AC，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥OB，
因为OB=OD，所以显然BD与OB不可能垂直，故④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
故选：D．
根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．
13.【答案】±6
【解析】解：设{a n}的公比为q，由a1=1，a3=36，得q2=36，
所以q=±6，
故a 2=±6． 故答案为：±6
结合已知及等比数列的通项公式可求公比q ，进而可求
本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题
14.【答案】√5
5
【解析】解：∵向量a ⃗ =(4,−3),b ⃗ =(−1,2)，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=
a
⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b
⃗ |=
5√5=−
2√5
5
， ∴sinθ=√1−cos 2θ=√5
5
， 故答案为：√5
5．
由题意利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
15.【答案】112
【解析】解：(2x 3−1
x )8的展开式的通项为：T r+1=C 8
r
(2x 3)8−r (−1
x )r =28−r (−1)r C 8r x 24−4r
，
令24−4r =0，解得r =6，
则(2x 3−1
x )8的展开式中常数项是28−6(−1)6C 86=112，
故答案为：112．
利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为0得常数项． 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
16.【答案】1+√52
【解析】解：设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，|F 1F 2|=2c ，
由正弦定理，得|PF 2|sin∠PF 1F 2
=|F 1F 2
|
sin∠F 1
PF 2
．
∵sin∠F1PF2=2sin∠PF1F2，∴|F1F2|=2|PF2|，∴|PF2|=c．∵|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|−|PF2|=2a2，
∴|PF1|=2a1−c=2a2+c，∴a1=a2+c．
又∵e1⋅e2=c a
1⋅c
a2
=c
a2+c
⋅c
a2
=1，
∴e22−e2−1=0，
∴e2=1+√5
2
．
故答案为：1+√5
2
．
根据椭圆和双曲线的定义结合条件，建立关于双曲线的离心率的方程，然后求出双曲线的离心率．
本题考查了椭圆、双曲线的定义，双曲线离心率的求法和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为(3a+c)cosB+bcosC=0，
所以3sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
所以3sinAcosB=−(sinBcosC+sinCcosB)=−sinA．
因为sinA>0，所以cosB=−1
3
，
所以sinB=2√2
3
；
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=a2+c2+2
3
ac，
因为a=1,b=2√2，所以c2+2
3
c−7=0，
即3c2+2c−21=(c+3)(3c−7)=0，
所以c=7
3
．
所以△ABC的面积为1
2acsinB=1
2
×1×7
3
×2√2
3
=7√2
9
．
【解析】(1)先对已知等式边化角，在利用两角和的正弦公式即可求解；
(2)先利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题．
18.【答案】(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，且ABCD是
正方形，
所以DC ⊥平面BPC ，
因为BP ⊂平面BPC ，所以BP ⊥DC ，
因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP ⊥PC ， 又DC ∩PC =C ，所以BP ⊥平面DCP ；
(2)解：根据题意，当点P 位于BC 的中点时，△BCP 的面积最大，三棱锥D −BPC 的体积也最大，
不妨设BC =2，记AD 中点为G ，
以E 为原点，分别以EB ，EP ，EG 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，B(1,0,0)，D(−1,0,2)，P(0,1,0)， BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2) 设平面BDP 的法向量为m
⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +2z =0
令x =1，得m
⃗⃗⃗ =(1,1,1)， 设平面DEP 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，{n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +2c =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b +2c =0，
令a =2，得n ⃗ =(2,0,1)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=
√3⋅√5
=
√15
5
， 由图可知，二面角B −PD −E 为锐角，
故二面角B −PD −E 的余弦值为√15
5
．
【解析】(1)先证明DC ⊥平面BPC ，得到BP ⊥DC ，再证明线面垂直即可；
(2)以E 为原点，分别以EB ，EP ，EG 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BDP 和平面EDP 的法向量，利用夹角公式求出即可． 考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理和性质定理，向量法求二面角的余弦值，中档题．
19.【答案】解：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5=100．
因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525=105． 2×2列联表如下：
K 2
=
200×(60×55−45×40)2105×95×100×100
=600
133>3.841，
故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．
(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户， 则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4．
P(X =1)=33
C 41C
C 74=4
35； P(X =2)=23
C 42C
C 74=
1835； P(X =3)=13
C 43C
C 74=12
35； P(X =4)=
C 44C 7
4=
135
．
X 的分布列为
EX =1×4
35+2×18
35+3×12
35+4×1
35=
167
．
【解析】(1)由头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的概率为0.525，计算可得头胎为女孩的总户数和生二孩的总户数，可得2×2列联表，再由K 2的计算公式可判断结论； (2)按照分层抽样的方法，计算可得X 的可能取值为1，2，3，4.再由古典概率的计算公式，以及数学期望公式，计算可得所求．
本题考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：由题意知F 2(1,0)，A(4,0)，设M(s,t)，N(s,−t)，则s 2
4+t 23
=1，
t 2=3(1−s 2
4).
直线MF 2 的方程为y =t
s−1(x −1)，直线AN 的方程为y =−t
s−4(x −4)，
联立可得x B =5s−82s−5，y B =3t 2s−5，即B 的坐标为(5s−82s−5,3t
2s−5).
因为x B 2
4
+y B
2
3
=
(5s−8)2+12t 24(2s−5)2
=
(5s−8)2+36−9s 2
4(2s−5)2
=16s 2−80s+100
16s 2−80s+100=1，
所以B 点恒在椭圆C 上．
(2)解：.当直线n 的斜率不存在时，不符合题意．
不妨设直线n 的方程为y =kx +b ，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得∠PTQ =π2
恒成立，则T 一定在x 轴上，故设T(x 0,0)，
由{y =kx +b x 24+y 23=1可得(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0．
因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，
所以△=64k 2b 2−4(3+4k 2)(4b 2−12)=48(4k 2−b 2+3)=0，可得b 2=3+4k 2， 所以x P =−
4k
b
，y P =kx P +b =3
b ． 又因为Q(4,4k +b)，∠PTQ =π2，所以TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4k b −x 0,3
b
)⋅(4−x 0,4k +b)=0， 即(x 0+
4k b
)(x 0−4)+
3(4k+b)
b
=0，
所以x 0
2
−4x 0+3+k
b (4x 0−4)=0， 对于任意的满足4k 2−b 2+3=0 的k ，b 恒成立， 所以{4x 0−4=0
x 02
−4x 0+3=0
解得x 0=1． 故在平面内存在定点T(1,0)，使得∠PTQ =π
2 恒成立．
【解析】(1)由题意求出A ，F 2点的坐标，设M ，N 的坐标，求出直线MF 2，AN 的方程，两条直线联立求出交点B ，代入椭圆方程恰好成立，证得B 在椭圆上；
(2)分直线n 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线n 的方程，与直线m 联立求出Q 点的坐标，与椭圆联立，由题意判别式为0，可得参数之间的关系，及切点P 的坐标，假设存在定点T ，设T 的坐标，由∠PTQ =π
2恒成立，则TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得T 的坐标的关系，与判别式等于0联立求出存在T 使得∠PTQ =π
2恒成立． 考查直线与椭圆的综合，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=1x −1−a x 2=−x 2
+x−a x 2，x >0，
因为f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2．
所以x 2−x +a =0有两个不同的正根， 故0<a <1
4．
(2)因为x 1x 2=a ，x 1+x 2=1，不妨设x 1<x 2， 所以f(x)极小值=f(x 1)，f(x)极大值=f(x 2)，
所以以f(x)极小值+f(x)极大值=f(x 1)+f(x 2)=lnx 1x 2+2(1−2a)+a(x 1+x 2)x 1x 2
−(x 1+
x 2)=lna +2−4a ．
令t(a)=lna −4a +2，则t′(a)=1
a −4>0，
所以t(a)在(0,14)上单调递增，所以t(a)<t(1
4)=1−2ln2， 即f(x)的极大值与极小值之和的取值范围是(−∞,1−2ln2)． (3)由(2)知x 1x 2=a ，x 1+x 2=1． 因为m ∈(0,12)，n ∈(12,+∞)，x 1<1
2<x 2， 所以f(x)min =f(x 1)，f(x)max =f(x 2)，
所以[f(m)−f(n)]min =f(x 1)−f(x 2)=ln x
1
x 2+x 2−x 1+a ×
x 2−x 1x 1x 2
因为x 1=1−x 2，所以[f(m)−f(n)]min =ln 1−x 2x 2
+2(x 2−1)=ln(1−x 2)−lnx 2+
4x 2−2，(1
2<x 2<1)，
令ℎ(x)=ln(1−x)−lnx +4x −2，(1
2<x <1)， 则ℎ′(x)=1
x−1−1
x +4=
(2x−1)2x(x−1)
<0，
所以ℎ(x)在(12,1)上单调递减，ℎ(x)无最小值， 故f(m)−f(n)没有最小值．
【解析】(1)先对函数求导，然后结合极值存在的条件，结合二次方程的根的存在条件即可求解；
(2)结合(1)可先表示f(x)极小值+f(x)极大值，然后构造函数后结合导数即可求解； (3)结合二次方程根的存在条件及导数，及函数的性质进行推理论证可求．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值成立的条件的应用，还考查了考生的逻辑推理论证的能力．
22.【答案】解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+1
2cosα,
y =√3
4
+12
sinα
(α是参数)，消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√3
2
y =0．
所以C 的极坐标方程为ρ=√3
2
sinθ+1
2
cosθ，
即ρ=sin(θ+π
6)．
(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π
3)，θ∈[0,2π]，
则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π
6)sin(θ+π
6+π
3)=1
2sin(2θ+π
6)+1
4． 当θ=π
6时，取得最大值，最大值为3
4．
【解析】(1)直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．
(2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】解：(1)∵f(x)=|x +2|+|x −3|，f(x)≤3x −2，
∴当x <−2时，−x −2−x +3≤3x −2，即x ≥3
5，无解； 当−2≤x ≤3时，x +2−x +3≤3x −2，即7
3≤x ，得7
3≤x ≤3； 当x >3时，x +2+x −3≤3x −2，即x ≥1，得x >3． 故所求不等式的解集为[7
3,+∞)．
(2)∵f(x)=|x +2|+|x −3|≥|(x +2)−(x −3)|=5， ∴2a +3b =5(a >0,b >0)，则2a +1+3(b +1)=9，
∴
12a +1+3b +1=19(12a +1+3b +1
)[2a +1+3(b +1)] =1
9[10+
3(b+1)2a+1
+3(2a+1)b+1
]≥
169
．
当且仅当{2a +1=b +12a +3b =5a >0,b >0
，即{a =5
8
b =54时取等号．
故1
2a+1+3
b+1
的最小值为16
9
．
【解析】(1)根据f(x)≤3x−2，分x>3，−2≤x≤3和x<−2三种情况分别解不等式即可；
(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用基本不等求出1
2a+1+3
b+1
的
最小值．
本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。