湖北省八校2009届高三第一次联考试题(数学理)(2021年整理)

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2009 届 高 三 第 一 次 联 考
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，满分150分,考试时间120分钟．
第I 卷（选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1．与集合{}1,3x x x ∈>≤N 且相等的集合是
（ )
A ．{}2
B ．{}123，，
C ．{}3,2x x x ==或
D ．{}3,2x x x ==且
2．若四边形ABCD 满足：AB DC = ，且||||AB AD =，则四边形ABCD 的形状是（ ）
A ．矩形
B ．正方形
C ．等腰梯形
D ．菱形
3．设()2
2
11x f x x
+=-， 则11()()(2)(3)23f f f f ++-+-= ( )
A ．
3512 B ．35
12
- C ．1
D ．0
4．已知数列{}n a 的前n 项的和()10n n S a a =-≠，则{}n a
（ ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D ．既不可能是等差数列也不可能是等比数列
湖北省
八校
黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学
孝感高中 襄樊四中 襄樊五中 鄂南高中
5．若,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是 （ ）
A ．3-
B ．32
C ．2
D ．3
6．函数(01)||
x
xa y a x =<<的图象的大致形状是 ( ）
7．设:431p x -≤;()()2:2110q x a x a a -+++≤．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,则实数a 的
取值范围是
( ）
A ．1[0,]2
B ．1(0,)2
C ．(,0]-∞∪1[,)2
+∞
D ．(,0)-∞∪1(,)2
+∞
8．若函数()2cos 2y x ϕ=+是奇函数，且在(0,)4
π
上是增函数，则实数ϕ可能是（ ）
A ．2
π
-
B ．0
C ．
2
π
D ．π
9．数列{}n a 中，135a =
,1
12(2)n n a n a -=-≥ ,则2008a = （ )
A ．13
B ．3
5
C ．20092008
D ．4011
4009
10．下列说法中正确的有
( ）
①命题：“a 、b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“a +b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”；
②若等式()sin sin sin αβαβ+=+对任意角β都成立，则角α可以是π； ③若a 〈0，10b -<<,则ab >a >ab 2
；
④椭圆22
12516
x y +=上一点P 到左焦点的距离等于3，则P 到右准线的距离是5．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分，把答案填在答题卡的相应位置．）
11．平行四边形两条邻边的长分别是和它们的夹角是
4
π
，则平行四边形中较长的对角线的长是
12．数列{}n a 中,111,3(1)n n a a S n +==≥，则{}n a 的通项n a =
13．当[,]2
π
απ∈时，方程22sin cos 1x y αα-=表示的曲线可能是 ．（填上你认为正
确的序号）
① 圆； ②两条平行直线； ③椭圆； ④双曲线； ⑤抛物线． 14．已知0a b >>，则()
216
a b a b +
-的最小值是
15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)y km s 和燃料的质量()x kg 、火箭（除燃料
外)的质量()m kg 的函数关系是4[ln())]2ln 2y m x =+-+,要使火箭的最大速度可达
12/km s ,则燃料质量与火箭质量的比值是
三、解答题：（本大题共6小题，共75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16．（本题满分12分)已知函数223sin 2sin sin()3sin ()2
2
y x x x x ππ=+-+-．
（1）若1
tan 2
x =
，求y 的值； (2）若[0,]2
x π
∈，求y 的值域．
17．(本题满分12分）已知函数2()21(f x ax x a =++∈R)．
(1）若()f x 的图象与x 轴恰有一个公共点，求a 的值； (2）若方程()0f x =至少有一正根,求a 的范围．
18．（本题满分12分）将圆22220x y x y ++-=按向量(1,1)a =-平移得到圆O ．直线l 与圆O 相
交于1P 、2P 两点，若在圆O 上存在点3P ，使1230OP OP OP ++=，且3()OP a λλ=∈R ，求直线l 的方程．
19．（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称．
（1)证明：()f x 是周期为4的周期函数；
（2)若()1)f x x =<≤，求[5,4]x ∈--时，函数()f x 的解析式．
20．(本题满分13分）某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震．当地决定重新选址
建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64a 2m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积a 2m ，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年增加a 2m ．设第n (1,n n ≥∈且N)年新城区的住房总面积为n a 2m ，该地的住房总面积为n b 2m ． （1）求n a ；
（2）若每年拆除4a 2m ，比较+1n a 与n b 的大小．
21．(本题满分14分）已知(1,0),(2,0)A B -，动点M 满足
2MBA MAB ∠=∠(0)MAB ∠≠．
(1)求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）若直线l ：(7)y k x =+，且轨迹E 上存在不同两点C 、D 关于直线l 对称．
①求直线l 斜率k 的取值范围；
②是否可能有A B C D 、、、四点共圆？若可能，求实数k 取值的集合;若不可能，请说明理由．
参考答案
1．C 2．D 3．D 4．C 5．D 6．D 7．A 8．A 9．D 提示：由()1
1
22n n a n a -=-
≥得, 1
1111
11n n n n a a a a -----=-
= ，
即 111111111
n n n n a a a a ---==+---， 所以 1
{
}1
n a -是等差数列．故25
27
n n a n -=
-．
10．A 11．
．21(1),
34(2).n n n -=⎧⎨⋅≥⎩
13．①②③ 14．16 15．31e - 16．解：22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++
)24
x π
=++
（1）2222sin 2sin cos 3cos sin cos x x x x y x x ++=+22tan 2tan 3tan 1
x x x ++=+17
5=．
（2)函数y )24
x π=++在[0,]8
π
上单调递增,
在[,]82
ππ
上单调递减．
所以，当8
x π
=
时，max 2y =2
x π
=
时，min 1y =．
故
y 的值域为[1,2．
17．解：⑴若0a =，则()21f x x =+，()f x 的图象与x 轴的交点为1(,0)2
-,
满足题意．若0a ≠,则依题意得:440a ∆=-=， 即1a =． 故0a =或1． ⑵显然0a ≠．若0a <， 则由121
0x x a
=
<可知, 方程()0f x =有一正一负两根，此时满足题意． 若0a >，则0∆=时,1x =-，不满足题意．
0∆>时，方程有两负根，也不满足题意．故0a <．
18．解：由题意可知圆O 的方程为222x y +=,于是1λ=±．
1λ=时,设111(,)P x y ,222(,)P x y ,
则由1230OP OP OP ++=得，
121x x +=-,121y y +=．所以12
PP 的中点坐标为11
(,)22
-． 又由123OP OP OP +=-,且12||||OP OP =，可知直线l 与直线3OP 垂直， 即直线l 的斜率为1．
此时直线l 的方程为11
22
y x -
=+，即10x y -+=． 1λ=-时,同理可得直线l 的方程为10x y --=．
故直线l 的方程为10x y -+= 或 10x y --=．
19．证明：⑴由函数()f x 的图象关于直线1x =对称，有(1)(1)f x f x +=-,
即有()(2)f x f x -=+．又函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 有()()f x f x -=-．
故(2)()f x f x +=-．从而(4)(2)()f x f x f x +=-+=． 即()f x 是周期为4的周期函数．
⑵由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，有(0)0f =．
[1,0)x ∈-时，(0,1]x -∈
，()()f x f x =--=
故[1,0]x ∈-
时，()f x =
[5,4]x ∈--时，4[1,0]x +∈-，
()(4)f x f x =+=
从而，[5,4]x ∈--时，
函数()f x
的解析式为()f x =
20．解：⑴设第n 年新城区的住房建设面积为n c 2m ，则
当14n ≤≤时，12n n c a -=；当5n ≥时，(4)n c n a =+． 所以， 当14n ≤≤时，(21)n n a a =- ；
当5n ≥时，2489(4)n a a a a a a n a =+++++++ (2922)
2
n n a +-=
． 故2(21)(14),922(5).2
n n a n a n n a n ⎧-≤≤⎪
=⎨+-≥⎪
⎩ ．
⑵13n ≤≤时，11(21)n n a a ++=-,(21)644n n b a a na =-+-, 显然有1n n a b +<．
4n =时，1524n a a a +==，463n b b a ==，此时1n n a b +<．
516n ≤≤ 时，211112
2n n n a a ++-=,
29226442
n n n b a a na +-=+-，
1(559)n n a b n a +-=-．所以,511n ≤≤时， 1n n a b +<；1216n ≤≤时，1n n a b +>．
17n ≥时，显然1n n a b +>． 故当111n ≤≤时，
1n n a b +<；当 12n ≥时，1n n a b +>．
21．解：⑴方法一 设动点M 的坐标为(,)x y ，
则||
tan 2y MBA x ∠=
+，||tan 1y MAB x
∠=-． 由2MBA MAB ∠=∠(0)MAB ∠≠,
得2||
2
||1||21()
1y y x y x x
-=+--，
化简得2233x y -=(当2
MBA π
∠=
时也满足）．
显然,动点M 在线段AB 的中垂线的左侧,且0MAB ∠≠，故轨迹E 的方程为 2233x y -=(1)x <-．
方法二 作B ∠的平分线交MA 于F ， 则有
MB MF BA
FA
=，且
MB MF MA
MB
=
，
由 MF FA MA +=，
得 2
2
MA MB MB BA -=⋅3MB =． 设动点M 的坐标为(,)x y ， 则
21x =--，即有2233x y -=,且12
x ≤-．
又0MAB ∠≠，故轨迹E 的方程为2233x y -=(1)x <-． ⑵设11(,)C x y ，22(,)D x y ，
CD 中点00(,)x y 120(,,1)x x x <-．
由点差法有
1212
1212
3y y y y x x x x -+⋅=-+；即003y kx =-．
又00(7)y k x =+，所以074x =-,021
4y k =．
①由
22
7213()()344
k -->，
得k <，
即k << 2233x y -=
②设直线CD 的方程为x ky b =-+,代入得()222316330k y kby b --+-=． 所以()221231b k ∆=+- , 122631
kb y y k +=-,21223331b y y k -=-,
21y y -=
．
若A B C D 、、、四点共圆,则60CAD ︒∠=,由到角公式可得
()()
()()21121212
1111y x y x x x y y ---=--+，
即
()()
()()()
()212
212121111b y y k y y k b y y b --+--++-
即
=23144k b -=+．
又由7214
4k k b -=-⋅
+得,2
2174k b -=；所以219
k =，即1
3
k =±．
此外0k =
时，存在5(4C -
， 5(,4D -关于直线l 对称，
且满足D A B C 、、、四点共圆．
湖北省八校2009届高三第一次联考试题(数学理)(word版可编辑修改)
故可能有A B C D
、、、四点共圆,此时
11
,0,
33
k
⎧⎫∈-⎨⎬
⎩⎭
．。