高二数学下学期期末考试测试试题(理科五)

高二数学下学期期末考试测试试题（理科五）
本试卷总分值为150分 考试时间为120分钟
一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{3,2}a
A =，{,}
B a b =，若{2}A B ⋂=，则A B ⋃=（ ）
A ．{1,2,3}
B ．{0,1,3}
C ．{0,1,2,3}
D ．{1,2,3,4}
2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．x
e x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 2
12+= D ．2
1x y += 3. 设复数，则在复平面内对应的点坐标为（ ）
4．已知函数2(log )y f x =的定义域为[1,2]，那么函数()y f x =的定义域为( ) A. [2,4] B. [1,2] C . [0,1]
D ．(0,1]
5. 若0.52a =，πlog 3b =，22π
log sin
5
c =，则( ) A ．b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b
6.某人有5把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试过的钥匙放在一旁，打开门时试过的次数ξ为随机变量，则P （ξ＝3）等于（ ）
A.
35 B.15 C.25 D.35！！
7函数22
1
ln )(x x x f -=的图象大致是（ ）
8.在极坐标系中,直线l 的方程为224sin =
⎪⎭⎫
⎝
⎛+
πθρ,则点⎪⎭
⎫
⎝⎛4
3,2πA 到直线l 的距离为（ ） A.
22 B.2
C.222-
D.222+ 9．已知命题p:函数y=ln(2x +3)+
21ln(3)
x + 的最小值是2；命题q ：x>2是x>l 的充分不必要条件．则
A. p ∧q B ．p q ⌝∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∧⌝ 10. 给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ）
①在区间()0,+∞上，函数()12
1
3
2
,,1,y x y x y x y x -===-=中有三个是增函数；
②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ； ③若函数()f x 是偶函数，则(1)f x -的图象关于直线1=x 对称；
④已知函数233,2,()log (1),2,
x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1
()2f x =有2个实数根。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11.若曲线
与曲线
存在公共切线，则a 的取值范围为( )
A ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ． 2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ． 20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ． 2,4e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣
⎭
12.定义在(0,
)2
π
上的函数()f x ,'()f x 是它的导函数,且恒有'()()tan f x f x x >⋅成立,则（ ）
A
()()63f ππ< B
()2cos1(1)6
f π
>
C
()2()64f ππ> D
()()43
f ππ
>
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若函数321
()(1)53
f x x f x x '=--⋅++，则(1)f '=
14. 已知随机变量X 服从两点分布，且6.0)1(==X P ，设23-=X ξ，那么E ξ= .
15. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=3x +m （m 为常数），则3(log 5)f - 的值为_______. 16. []12,1,2x R x ∀∈∃∈，使得2211221233x x x x x mx ++≥+-成立，则实数m 的取值范围为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题2:60p t t --≤，命题q ：x R ∃∈，24
3203
x tx t +++≤． （Ⅰ）写出命题q 的否定q ⌝；
（Ⅱ）若p q ⌝∧为真命题，求实数t 的取值范围。

18. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ2sin θ =2acos θ
（a>0），过点P （-2，-4）的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t x 2
24222，
（t 为参数），l 与C 分别交于M ，N 两点．
（I ）写出C 的平面直角坐标方程和l 的普通方程； （II ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．
19.已知函数()()()2
1x x a f x x ++=
为偶函数.
（1）求实数a 的值；
（2
λ与E 的关系； （3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤
∈>>⎢⎥⎣⎦
时，若函数()f x 的值域为[]23,23m n --，求实数,m n 的值.
20.盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1,1,2,2,2，每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字x ，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字y .设2318,()55
M x y f t t Mt =+=
-+. （1）求随机变量M 的分布列和数学期望； （2）设“函数2318
()55
f t t Mt =-+在区间(2,4)内没有零点”为事件A ，求A 的概率()P A .
21.已知函数22()(23)x f x x ax a a e =+-+()x R ∈，其中()a R ∈． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线的方程； （Ⅱ）当2
3
a ≠
时，求函数()f x 的极大值．
22.已知函数f （x ）=x 2
﹣（a ﹣2）x ﹣alnx ， （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）设函数g （x ）=﹣x 3
﹣ax 2
+a ﹣
，若存在α，β∈（0，a]，使得|f （α）﹣g （β）|＜a 成立，
求a 的取值范围；
（Ⅲ）若方程f （x ）=c 有两个不相等的实数根x 1，x 2，求证：f′（）＞0．
高二数学下学期期末考试测试试题（理科五）参考答案
1－12 A A D C C B B A C C D A 13.6 14.-0.2 15.-4 16.
27
8m ≤
17.解析：（Ⅰ）命题q 的否定q ⌝为：24
,320
3x R x tx t ∀∈+++
> 3分
（Ⅱ）若p 为真命题，则23t -≤≤ 故 p ⌝为真命题时，得23t t <->或 5分 若q 为真命题时，即24
,3203
x R x tx t ∃∈+++
≤成立， ∴()2424303t t ⎛⎫
∆=-⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭
，即2340t t --≥，解得：41t t ≥≤-或 7分
p q ⌝∧为真命题，∴命题 p ⌝和q 都是真命题 8分
∴23
41
t t t t <->⎧⎨
≥≤-⎩或或 解得：24t t <-≥或 10分 18.解答：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C ：ρsin 2θ=2acos θ⇒ρ2sin 2θ=2a ρcos θ，即 y 2=2ax ， 3分
直线L 的参数方程为：，消去参数t 得：直线L 的方程为y+4=x+2即y=x-2（6分）
（Ⅱ）直线l 的参数方程为（t 为参数）， 代入y 2=2ax 得到，
则有
因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以
即：[2（4+a ）]2-4×8（4+a ）=8（4+a ）
解得 a=1…（12分）
19.解析：（1）
()f x 为偶函数()()2222
(1)(1),x a x a x a x a
f x f x x x +++-++∴=-∴=
，()210,0,1a x x R x a ∴+=∈≠∴=-且. 3分
（2）由（1）可知：()22
1x f x x -=，当1x =±时，()0f x =；当2x =
()211lg 2lg 215lg 5lg 2lg 2lg 5lg 544g λ=++-=++-
113
lg 2lg 5lg10444
=+-=-=，E λ∴∈. 7分 （3）
()()2223112
1,,'0x f x f x x x x
-==-∴=>.
()f x ∴在11,m n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，22
1
()23123,1123()23f m m m m n n f n n
⎧=-⎪⎧-=-⎪⎪∴∴⎨⎨-=-⎪⎩⎪=-⎪⎩， ,m n
∴为
2310
x x -+=的两个根，又由题意可知：
11
m n
<，
且
0,0,.,m n m n m n >>∴>∴=
=
. 20.解析：（1）由题意可知随机变量M 的可能取值为2,3,4。

先从盒子中随机任取1张卡片，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中任取1张卡片的基本事件总数为5525⨯=
当2M =时，摸出的卡片上面分别写着数字1,1，()224
25525P M ⨯==
=
⨯， 当4M =时，摸出的卡片上面分别写着数字2,2，()339
45525
P M ⨯===
⨯， 当3M =时，摸出的卡片上面分别写着数字1,2，()233212
35525
P M ⨯+⨯===
⨯，
M ∴的分布列为：
6分
M 的数学期望为：4129162342525255
EM =⨯
+⨯+⨯=。

8分
当2M =时，2318()55f t t Mt =-+2318255t t =-+，它没有零点，符合要求， 当3M =时，2318()55f t t Mt =-+2318
355
t t =-+，它的零点分别为2,3，在区间()2,4内有1个零点，
不符合要求。

当4M =时，2318()55f t t Mt =
-+2318
455
t t =-+，它的零点分别为
，都不在区间()2,4内，符合要求。

∴事件A 相当于2M =或4M =，
由（1A 12分 21.解析：（Ⅰ）当0a =时，2()e x
f x x =，2()(+2)e x f x x x '=，故(1)3e f '=，又(1)f e =
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的方程为3(1)y e e x -=-，即32y ex e =-． 5分
（Ⅱ）由已知22()[+(+2)24]e x f x x a x a a '=-+，令()0f x '=，得2x a =-或2x a =-， 6分
由23a ≠知22
a a -≠-，以下列分两种情况： ①若23
a >，则22a a -<-，当x 变化时，()f x '
，()f x 的变化情况如下表
所以函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)3e a
f a a --= 9分
②若23
a <，则22a a ->-，当x 变化时，()f x '
，()f x 的变化情况如下表 所以函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2
(2)(43)e a f a a --=- 12分
．＞，由＜）的增区间为（，，
﹣，得
．
．
当
当时，则，即
＞；
．
两式相减得．
．
又∵＞时＜
故只要证明即可，即证．
即证明t=，令，
．则
′（。