北京北京师范大学附属实验中学平面向量多选题试题含答案

北京北京师范大学附属实验中学平面向量多选题试题含答案
一、平面向量多选题
1．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λa
b
B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =
D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】
由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算
性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】
对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；
对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则
()
()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得5
3
λ>-，当a 与a λb +共线时，
()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，
不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，故选项B 不正确； 对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()
0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直， 故选项C 不正确；
对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()
1222
AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.
故选：AD 【点睛】
易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.
2．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）
A ．2OA O
B + B ．1123OA OB +
C ．
31
43
OA OB + D ．
3145
OA OB + 【答案】AC 【分析】
利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：
OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案. 【详解】
由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得
OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.
可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，
点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；
PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，
则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；
同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，
对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11
123
+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312
+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520
+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得
OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.
3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且
2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）
A ．1233AE AC AD =+
B ．2
5
DF DB =
C ．,3
AB AD π
=
D ．27
25
FB FC ⋅=
【答案】BCD 【分析】
根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：()
222
33
133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以
23DF DE BF AB ==，所以22
35
DF FB DB ==，故选项B 正确；
对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()
223AD A B D AB A ⎛⎫
+
-=- ⎪⎝⎭
，所以 2
221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以114233
2
AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，
11
cos ,212
AB AD AB AD AB AD
⋅=
=
=⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3
AB AD π
=
，
故选项C 正确； 对于选项D ：()()
33
255
5AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫
⋅=
⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭
(
)()()3
23325
5555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=
-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
229693627
34252525252525AB AB AD AD =
⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得
2
3
DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.
4．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）
A ．若a b ⊥，则tan θ=
B ．若b 在a 上的投影为12
-
，则向量a 与b 的夹角为23π
C ．存在θ，使得||||||a b a b +=+
D ．a b 【答案】BCD 【分析】
若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-，且||1b =，则2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若b 在a 上的投影为1
2
-
，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；
2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.
【详解】
若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan 2θ=-，故A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-
，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若2()2a b a b a b =+2
2
++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C
正确；
2cos sin a b θθ+== 3sin()θϕ+，因为0πθ≤≤，π
02ϕ<<，则当π2
θϕ+=时，
a b 的最大值为3，故D 正确，
故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()
0a b c -⋅= B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
【答案】ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B
选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
6．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =
C ．若a b >，则1k <
D ．若a b a b +=-，则a b ⊥
【答案】AD 【分析】
先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式
4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据
a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.
【详解】
解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，
故选项B 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得
11k -<<，故选项C 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以
a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
7．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-
【答案】AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
8．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-
【答案】BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；
因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；
因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
二、立体几何多选题
9．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A ．异面直线1A
B 与1AD 所成的角是3
π
B ．1BD ⊥平面11A
C D
C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -3
D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23
【答案】ABD 【分析】
选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体
11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线
长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】
A ：正方体1111ABCD A
B
C
D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113
A BC π
∠=
，正确；
B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D
C B A ，11A C ⊂平面1111
D C B A ，即111AC B B ⊥，又
11
11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；
C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为
1
3
4
ACB S
=
D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()
2
2
2
2226++=2
的正四面体11A BDC -2
2
222262213⎛
⎫--⨯ ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等
于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的2
3
，正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.
10．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）
A ．若12
33
AD AC AB =
+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111
333
PQ PA PB PC =++
C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =
D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【分析】
作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，1233
AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；
对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，
33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=
即111333
PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，
()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=
0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+=
0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+= ()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；
对于D ，111()()222
MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122
MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+
22211122222222222222222
=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
∴=，故D错误.
MN
2
故选：ABC
【点睛】
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．。