部编版2020届高三数学第二十次考试试题 文 新人教版

2019届高三第二十次考试
文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1122,ln()022x A x
B x x ⎧⎫⎧⎫
=<≤=-≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，则()R A C B ⋃=（ ）
A ．∅
B ．3
(,)2
-∞ C ．3(,]2
-∞ D ．(1,1]- 2.在复平面内，复数z 满足(1)12z i i +=-则z 对应的点为于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.对于一组数据1,2,3,4,5，如果将它们改变为11,12,13,14,15，则下列结论正确的是（ ） A ．平均数不变，方差变 B ．平均数与方差均发生变化 C ．平均数与方差均不变 D ．平均数变，方程保持不变
4.执行如图所示的程序框图，当输入469,63a b ==时，则输出的a 的值是（ ）
A ．26
B ．27 C. 28 D ．29
5.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线平行于直线:2l y x =+，一个焦点在直
线l 上，则双曲线的方程为（ ）
A ．22122x y -=
B ．22
144x y -= C. 22
133
x y -= D ．221x y -= 6.已知,,01a b R a b ∈<<<，则下列不等式错误的是（ ）
A ．3
3
a b < B ．22a b
< C.23log log a b < D ．log 2log 2a b <
7.若10,
0,cos(),cos()224343ππ
ππαβαβ<<
<<+=-=，则cos()2
β
α+=（ ）
A ．
9 B ．3-27 D ．9
- 8.已知曲线121
5:sin ,:cos()2
6
C y x C y x π
==-
，则下列说法正确的是（ ） A ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π
，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23
π
，得到曲线2C
C. 把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的1
2，得到曲线2C
D ．把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的1
2
，得到曲线2C
9.某几何体的三视图如图所示，依次为正视图，侧视图和俯视图，则这个几何体体积为（ ）
A ．463π+
B ．883π+ C.263π+ D ．4
83
π+ 10.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日?“其大意为:“官府陆续派遣1864人
前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中， 若每人所得按10%缴税，则前10天缴税（ ）
A ．286.5升
B ．276.5升 C. 296.5升 D ．2865升
11.在四面体ABCD
中，6,AB AC BD AD ===⊥底面ABC ，G 为DBC ∆的重心，且直线DG 与平面ABC 所成的角是30，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ）
A ．24π
B ．32π C.46π D ．49π 12.已知函数22ln ,0
()21,0
x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨
--+≤⎪⎩存在互不相等实数,,,a b c d ，有
()()()()f a f b f c f d m ====，现给出三个结论：
（1）[)1,2m ∈；（2）)
314
2,1a b c d e e e ---⎡+++∈+--⎣
，其中e 为自然对数的底数； （3）关于x 的方程()f x x m =+恰有三个不等实根，正确结论的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C.2个 D ．3个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知1,2,()3a b a b b ==+⋅=，设a 与b 的夹角为θ，则θ等于 ．
14.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，则当262a a +取得最小值时，2log q = ．
15.若实数,x y 满足约束条件210
33010
x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则15y z x -=-的取值范围为 ．
16.设抛物线2
4y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若3
2
PF =
，则直线l 的方程为 ． 三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数21()cos cos 2222
x x x f x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1
(),2sin 2
f A a B C ===，求c .
18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，
PB PD ⊥.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；
（2）若P B P C =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=，2BC =，求四面体A PED -的体积.
19. 2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下:
收看
没收看
男生 60 20 女生
20
20
（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关?
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动. (i)问男、女学生各选取多少人?
(ii)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P .
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20()P K k ≥
0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
20. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(2,0)F ，以原点O 为圆心，OF 为半径的圆
与椭圆在y 轴右侧交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形。

（1）求椭圆方程；
（2）过圆外一点(,0)()M m m a >, 作倾斜角为
56
π
的直线l 交椭圆于,C D 两点，若点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围，
21. 设函数1
()(ln )ln ,f x m x x x m R x
=--
-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若(0,1)m ∈，且()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，求m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 和曲线1C
的参数方程分别为5
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为ρ=（1）写出直线l 、曲线1C 的普通方程，以及曲线2C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线1C ，2C 在第一象限内的交点分别为,M N ，求OM
ON
的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()2()f x x x m m R =--+∈. （1）若0m =，解不等式()1f x x ≥-；
（2）若方程()f x x =-有三个不同的解，求实数m 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BBDCA 6-10:CABBA 11、12：DC 二、填空题
13.
23π 14.14 15.11
[,]24
-0y --= 三、解答题
17.解：（1）1()cos sin()26
f x x x x π
=-=- 由
322,26
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤-
≤
+∈， 得2522,33
k x k k Z ππππ+≤≤+∈
∴函数()f x 的单调递减区间为25[2,2],33
k k k Z ππ
ππ++∈.
（2）∵1
()sin(),(0,)62
f A A A ππ=-=∈，
∴3
A π
=
∵sin 2sin B C =， ∴由正弦定理
sin sin b c
B C
=
，得2b c =
又由余弦定理222
2,a b c bcsocA a =+-=
得222
13442
c c c =+-⨯， 解得1c =.
18.解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD BC ⊥，
∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，CD ⊂平面ABCD ∴CD ⊥平面PBC ∴CD PB ⊥.
∵,,PB PD CD PD D CD PD ⊥⋂=⊂、平面PCD ， ∴PB ⊥平面PCD . ∵PB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PCD .
（2）取BC 的中点O ，连接,OP OE . ∵PB ⊥平面PCD ， ∴PB PC ⊥ ∴1
12
OP BC =
= ∵PB PC =， ∴PO BC ⊥
∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ∴PO ⊥平面ABCD ， ∵AE ⊂平面ABCD ∴PO AE ⊥， ∵90PEA ∠= ∴PE AE ⊥ ∵PO PE P ⋂=， ∴AE ⊥平面POE ， ∴AE OE ⊥. ∵90C D ∠=∠=， ∴OEC EAD ∠=∠， ∴Rt OEC Rt EAD ∆=∆， ∴
OC CE
ED AD
= ∵1,2,OC AD CE ED ===，
∴CE ED ==
111
21332A PED P AED AED V V S OP --==⋅=⨯⨯=
19.解：（1）因为2
2
120(60202020)7.5 6.63580408040
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. （2）（i ）根据分层抽样方法得，男生
3864⨯=人，女生1
824
⨯=人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.
（ii ）从8人中，选取2人的所有情况共有765432128N =++++++=种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有6612M =+=种， 所以，所求概率123
287
P =
= 20.解：（1）∵AOB ∆为正三角形，且,A B 关于x 轴对称，2OF =， ∴2OA OF ==
∴1,A A y x ==
A ， ∴
22
31
1a b +=， 又∵2c =，解得2
2
6,2a b ==，
故椭圆方程为22
162
x y +=. （2
）易知直线:()(3
l y x m m =-
->，
联立22
162)3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，消去y 得22
2260x mx m -+-=，
由0∆>，得2
2
48(6)0m m -->，
即m -<<
设1212(,),(,)C x y D x y ，则212126
,2
m x x m x x -+==，
∴2
121212121))()33333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=--⋅--=-++
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
又1122(2,),(2,)FC x y FD x y =-=-，
则2
1212121246(2)(2)()4333m m FC FD x x y y x x x x +⋅=--+=-
+++ 224662(3)
432333m m m m m m -+-=⋅-⋅++=
∵F 在圆E 的内部， ∴0FC FD ⋅<， ∴
2(3)
03
m m -<，解得03m <<，
m <<，
3m <<，
即m 的取值范围为
21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2
(1)(1)
'()x mx f x x --=，
当0m =时，2
1
'()x f x x -+=，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减；
当0m <时，
1
01m
<<，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减； 当01m <<时，11m <， 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间1
(1,)m
上单调递减，在
区间1
(,)m
+∞上单调递增；
当1m =时，2
2
(1)'()0x f x x
-=≥，函數()f x 在(0,)+∞上单调递增 当1m >时，101m <
<，函数()f x 在区间1(0,)m 上单调递增，在区间1
(,1)m
上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增；
（2）若(0,1)m ∈，且()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，等价于在区间[]1,e 上max ()0f x ≤；由（1）中的讨论， 当10m e <≤
时，1
e m
≥，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减， max ()(1)10f x f m ==-≤,
即1m ≤，从而得1
0m e
<≤
当
11m e <<时，11e m <<，函数()f x 在区间11,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间1,e m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
{}max ()max (1),()f x f f e =
即只需(1)10
1
()(1)10f m f e m e e =-≤⎧⎪
⎨=---≤⎪⎩即11(1)m e m e e ≤⎧⎪+⎨≤⎪-⎩
，由于111(1)e e e e +<<- 从而得
11
(1)
e m e e e +<≤- 综上，m 的取值范围为1
(0,
](1)
e e e +-
22.
由x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
中两式相除消去参数t ， 得l 的普通方程为2y x =，即20x y -=
由三角函数的平方关系消去θ，得曲线1C 的普通方程为2
2111
x y +=.
由ρ=2
11ρ=，
又2
2
2
x y ρ=+，
∴2
2
11x y +=，即为所求的曲线2C 的直角坐标方程. （2
）易知ON =
- 11 - 解方程组222111y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
可得M M x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴OM ==
∴133OM
ON ==（或利用M N
OM x ON x =计算）. 23.解：（1）因为0m =， 所以()2f x x x =--，
所以()1f x x ≥-的解集是下列不等式组的解集的并集，
221x x x x >⎧⎨--≥-⎩或0221x x x x ≤≤⎧⎨-+-≥-⎩或021x x x x <⎧⎨-++≥-⎩
解得：x ∈∅或01x ≤≤或0x <
所以不等式()1f x x ≥-的解集为(],1-∞.
（2）因为()2f x x x m =--+，
所以方程()f x x =-有三个不同的解等价于函数()2g x x x =--的图象与直线y x m =--有三个不同的交点，作图可知，
当直线y x m =--经过点(0,2)A 时，2m =-；
当直线y x m =--经过点(2,2)B -时，0m =；
所以实数m 的取值范围是(2,0)-。