2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(八)理科数学

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷（八）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}
2
|0B x x x =->，则A
B =（ ）
A. {|12x x <<}
B. {|2x x <}
C. {|12x x ≤≤}
D.
{|14x x ≤<} 【答案】A 【解析】 【分析】
求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<，
由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<.
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2. 已知复数z 满足21i
z i
-=+，则z =（ ） A.
132
i
+ B. 132
i -
C.
32
i
+ D.
32
i
- 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2
i i i i
z i i i ----===++-. 故选：B.
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.
3. 由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）
A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B. 设备制造商经济产出前期增长较快，后期放缓
C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】ABD 【解析】
【分析】
本题结合图形即可得出结果．
【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ．
【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 4. 411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭
展开式中2
x 的系数为（ ） A. 10 B. 24
C. 32
D. 56
【答案】D 【解析】 【分析】 先将式子411(12)x x ⎛⎫+
+ ⎪⎝
⎭化成4
411(12)(12)x x x
⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案. 【详解】∵44
4111(12)1(12)(12)x x x x x
⎛⎫+
+=⋅++⋅+ ⎪⎝
⎭， ∴4
(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，
41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x
⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D.
【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
5. 已知函数()x
f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab
的值为（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】
对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案.
【详解】∵()1x
f x ae '=+，
∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B .
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用.
6. 函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为 ( ) A.
B.
C. D.
【答案】B 【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：2
0,()()()x x
e e x
f x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;
243
()()2(2)(2)()2,()0x x x x x x
e e x e e x x e x e
f x x f x x x ---+---++=='∴>'>，
所以舍去C ；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7. 设s ，t 是不相等的两个正数，且s +slnt ＝t +tlns ，则s +t ﹣st 的取值范围为（ ） A. （﹣∞，1） B. （﹣∞，0）
C. （0，+∞）
D. （1，+∞）
【答案】D 【解析】 【分析】 变换得到
11lnt lns t s ++=，设（x ）1lnx x
+=，（x ＞0），求导得到函数单调性，画出函数图像，得到0＜t ＜1＜s ，计算得到答案.
【详解】由已知s +slnt ＝t +tlns ，可得：
11lnt lns
t s
++=， 设f （x ）1lnx x +=，（x ＞0），则f ′（x ）2lnx
x
-=，（x ＞0），
当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）为增函数； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）为减函数． 如图，作出函数f （x ）的图象，
由题意知f （s ）＝f （t ），所以s ，t 为方程f （x ）＝m 的两个不同的解．
不妨设s ＞t ，则0＜t ＜1＜s ，故s +t ﹣st ﹣1＝（s ﹣1）（1﹣t ）＞0，所以s +t ﹣st ＞1． 故选：D ．
【点睛】本题考查了函数的零点问题，构造函数画出函数图像是解题的关键.
8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前2020项和
为（ ）
A. 2020
2021 B.
2018
2020 C. 20182019
D. 20212020
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式及728S =，可得4a 的值.代入22a =由等差数列通项公式，即可求得首项与公差，进而得数列{}n a 的通项公式.结合裂项求和法即得数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前2020
项和.
【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，728S =， 由等差数列前n 项和公式可得74728S a == 所以44a =，结合22a =，
由等差数列通项公式可得4121342a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11
1a d =⎧⎨=⎩
，
由等差数列通项公式可得()111n a n n =+-⨯=，
则()
111
1n n a a n n +=+. 所以12233420202021
1111a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+ 111112233420202021=
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111112233420202021=-+-+-+⋅⋅⋅+-
20202021=. 故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的
应用，属于基础题.
9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可.
【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）
4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ．
【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.
10. 设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为
B ，设7(0,
)2
p
C ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为32p 的值为（ ）
A. 2
B. 2
C. 6
D. 22
【答案】C 【解析】 【分析】 由题，可得(
)
2,A
p p ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为32，得92ACF S ∆=，
然后通过求1
32922
ACF S p p ∆=
⨯⨯=的解，即可得到本题答案. 【详解】根据已知0,
2p F ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，:2p
l y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则3
22
p y p +
=，即y p =，所以2x p =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1
||||2
AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以1
32922
ACF S p p ∆=⨯⨯=，解得6p =.
故选：C
【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.
11. 现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,6
4
DAB BAC π
π
∠=∠=
，三棱锥的外接球的表面
积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）
333 3【答案】B
【解析】 【分析】
设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.
【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，
所以2AB =，且1,AD BD AC BC =
===当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，
所以111113326
A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=
△. 故选：B.
【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.
12. 设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤
>∈⎢⎥⎣⎦
，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A. 13
6
ω=
B. 116
ω=
C. 74
ω=
D. 34
ω=
【答案】A 【解析】 【分析】
设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，
因为,43ππϕ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以425ππωϕπ+<， 所以52222ϕϕ
ωππ
-
<-， 所以5342222ππωππ
-<-，即15783
ω<，满足的只有A.
故选：A.
【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若||3a =，||2b =，237a b +=，则a 与 b 的夹角为______________. 【答案】
3
π 【解析】 【分析】
由222|2|44a b a a b b +=+⋅+及||||cos a b a b θ⋅=⋅，即可得到本题答案. 【
详
解
】
设
a
与
b
的夹角为
θ
，则
222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=，得1cos 2
θ=
，所以3πθ=.
故答案为：
3
π
【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题. 14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若数列{S n ﹣2a 1}也为等比数列，则
4
3
S S =_____ 【答案】
1514
【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，根据数列{S n ﹣2a 1}为等比数列得到﹣（q 2+q ﹣1）＝（q ﹣1）2，
解得q 1
2
=，再计算43S S 得到答案.
【详解】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，
对于等比数列{S n ﹣2a 1}，其前三项为：﹣a 1，a 2﹣a 1，a 3+a 2﹣a 1，
则有（﹣a 1）（a 3+a 2﹣a 1）＝（a 2﹣a 1）2
，变形可得：﹣（q 2
+q ﹣1）＝（q ﹣1）2
，
解可得：q 12=或0（舍），则q 1
2=，则()
()
4
14
4333111151114
11a q S q q S q a q q
---===---；
故答案为：
1514
． 【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.
15. 某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g .
【答案】 (1). 1520 (2). 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【解析】 【分析】
第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案.
【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，
若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈
【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.
16. 已知点P 是双曲线2
2
13
y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满
足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=
⎪⎝⎭⋅，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
，则点Q 的轨
迹方程为________________. 【答案】2
2
1(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】
设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得
2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11
||12
OQ AF =
=，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，
所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.
又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.
因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11
||12
OQ AF =
=， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为2
2
1(0)x y y +=≠.
故答案为：22
1(0)x y y +=≠.
【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c sin2B ﹣b sin （A +B ）＝0 （1）求角B 的大小；
（2）设a ＝4，c ＝6，求sin C 的值． 【答案】（1）1
3B π=（2321【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理得到sin C sin2B ﹣sin B sin （A +B ）＝0，化简得到cos B 1
2
=，解得答案. （2）根据余弦定理得到b ＝7，再根据正弦定理计算得到答案.
【详解】∵c sin2B ﹣b sin （A +B ）＝0，由正弦定理可得，sin C sin2B ﹣sin B sin （A +B ）＝0， 化简可得2sin C sin B cos B ﹣sin B sin C ＝0，∵sin B sin C ≠0，∴cos B 12
=， ∵B ∈（0，π），∴13
B π=.
（2）由余弦定理可得：cos B 222122
a c
b a
c +-==，
216361
2462b +-=⨯⨯，∴b ＝7，
由正弦定理可得：sin C
321 csinB
b
==.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D 重合），点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧．
（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；
（2）设点P在平面ABQ上的射影为点O，点E，F分别是△PQB和△POA的重心，当三棱锥P ﹣ABC体积最大时，回答下列问题．
（i）证明：EF∥平面PAQ；
（ii）求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）（i）见解析（ii）25
5
．
【解析】
【分析】
（1）证明AD⊥PC， PC⊥PD，得到PC⊥平面PAD，得到证明.
（2）连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA于点N，连接MN，证明EF∥AQ得到答案；以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，平面PAB法
向量
(
)
221
n=，，，平面PCD的法向量()
001
m=，，，计算夹角得到答案.
【详解】（1）证明：因为ABCD是轴截面，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PC，
又点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合），且CD为直径，所以PC⊥PD，
又AD∩PD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以PC⊥平面PAD，
PC⊂平面PBC，故平面PAD⊥平面PBC；
（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，点P为圆弧CD的中点，
所以点O为圆弧AB
的中点，所以四边形AQBO为正方形，且OP⊥AB，（i）证明：连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA于点N，连接MN，
则MN∥AQ，因为E，F分别为三角形的重心，所以EF∥MN，
所以EF∥AQ，又AQ⊂平面PAQ，EF⊄平面PAQ，所以EF∥平面PAQ；
（ii）以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），
()
202
PA=-
，，，()
220
AB=-，，，
设平面PAB的法向量()
n x y z
，，
=\，则
220
220
n PA x z
n AB x y
⎧⋅=-=
⎪
⎨
⋅=-+=
⎪⎩
，
可取()
221
n=，，，又平面PCD的法向量()
001
m=，，，
所以cos
5
5
5
m n==
＜，＞，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为
25
．
【点睛】本题考查了面面垂直及线面平行的判定，考查了二面角的向量求法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、
右顶点不重合）已知12PF F △
的内切圆半径的最大值为3
，椭圆的离心率为12.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与
,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证
2
||
AB GF 为定值. 【答案】（1）22
143
x y +=（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P
点位于椭圆短轴顶点时r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；
（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得
()
2
234690m
y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的
垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2
||
AB GF 中，即可得答案.
【详解】（1）由题意知：
1
2
c a =，∴2222,a c b a c ==-
，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12
121211(22)()22
PF F S
PF PF F F r a c r a c r =
++⋅=+⋅=+⋅， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P
点位于椭圆短轴顶点时3
r =
，
)a c bc +=
，把2,a c b ==
代入，解得：2,a b ==，
所以椭圆方程为22
143
x y +=.
（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得(
)
2
2
34690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212
2269
,3434
m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为22
43,3434m m m -⎛⎫
⎪++⎝⎭
，
所以()21
2121||34
m AB y m +===+. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，
AB 的垂直平分线方程为22
343434m y m x m m ⎛⎫+
=-- ⎪++⎝⎭
， 令0y =，得2
1
34x m =+，即21,034G m ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()
22222121||1234433334
m AB m m GF m ++===++，所以2
||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值.
20. 已知函数()2
ln f x ax bx x x =++在()()
1,1f 处的切线方程为320x y --=.
（1）求实数,a b 的值；
（2）设2
()g x x x =-，若k Z ∈，且(2)()()k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的
最大值.
【答案】（Ⅰ）=1a ，0b =（Ⅱ）4 【解析】 【分析】
（1）求出函数f （x ）的导数，得到关于a ，b 的方程组，解出即可； （2）问题转化为k ＜
()()2
f x
g x x --=
2x xlnx x +-对任意x ＞2恒成立，设h （x ）=2
x xlnx
x +-（x
＞2），根据函数的单调性求出k 的最大值即可． 【详解】（1）()21ln f x ax b x =+++'，
所以213a b ++=且=1a b +， 解得=1a ， 0b = （2）由（1）与题意知()()ln 2
2
f x
g x x x x
k x x -+<
=
--对任意的2x >恒成立，
设()ln (2)2x x x h x x x +=>-，则()()242ln 2x x h x x '--=-，令()42ln (2)m x x x x =-->，则()22
10x m x x x
='-=-
>，所以函数()m x 为()2,+∞上的增函数. 因为()2
842ln842ln 440m e =-<-=-=，()3
1062ln1062ln 660m e =->-=-= 所以函数()m x 在()8,10上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立， 所以0042ln 0x x --=
故当02x x <<时， ()0m x <，即()0h x '<； 当0x x <时， ()0m x >，即()0h x '>
所以函数()h x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增
所以
()()000000
0min
0041ln 2212
x x x x x x h x h x x x -⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭====--所以02
x k <，因为()08,10x ∈，所以
()0
4,52
x ∈，又因k Z ∈所以k 最大值为4 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求
()min 0F x < ，求参数取值.
21. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性
呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有(
)*
n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验
方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n 次.
方式二：混合检验，将其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0<p <1).现取其中*
(k k N ∈且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ. （1）若12()()E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式p =f (k ). （2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,
,,(n x x x n ≥2)是不同的正实数，满足x 1=1且
13
1
22
31
1
()n n
n n x x e e
x x -
++-
=
-. (i )求证：数列{}n x 为等比数列； (ii )
当1p =验的总次数的期望值更少，求k 的最大值.
【答案】（1）111k
p k ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
（2）(i )证明见解析；(ii )4
【解析】 【分析】
（1）由题意分析可得()1E k ξ=,2ξ的可能取值为1,1k +,即可求得()2E ξ,再由
12()()E E ξξ=求解即可；
（2）(i )整理1
3
122311()n n
n n x x e e x x -
++-=
-可得
1122
1
3311
n n n n n n x x e e x x x x -+++-=-,即113113
1n n n n x x e x x e ++-=-,可解得113n n
x e x +=,即可得证；
(ii )由(i
)1p =-,由于12()()E E ξξ>,则()11k
k k k p >+--,整理可得1ln 03
k k ->,设()()1
ln 03
x x x x ϕ=-
>,利用导函数判断()x ϕ的单调性,再根据*k N ∈即可求解. 【详解】（1）由已知得()1E k ξ=,2ξ的可能取值为1,1k +, 所以()()211k P p ξ==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
所以()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦
,
因为12()()E E ξξ=,即()11k
k k k p =+--, 所以()11k
k p -=, 所以111k
p k ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
（2）(i )证明:因为131
22311
()n n n n x x e e x x -++-=-,
所以
1122
1
3311n n n n n n x x e e x x x x -+++-=-, 所以1
13
11
3
1n n n n x x e x x e ++-=-, 所以113n n x e x +=或1
1
3n n
x e x -+=-（舍去）, 所以{}n x 是以1为首项,以1
3e 为公比的等比数列. (ii )由(i )可知()
1
3
n n
x e n N -*
=∈,则4x e =,
即1p =, 由题意可知12()()E E ξξ>,则有()11k
k k k p >+--, 整理得1ln 03
k k ->,
设()()1ln 03x x x x ϕ=->,则()33x x x
ϕ-'=, 当()0,3x ∈时,()0x ϕ'>；当()3,x ∈+∞时,()0x ϕ'<,
故()x ϕ在()0,3上单调递增,在()3,+∞上单调递减,
又()40ϕ>,()50ϕ<,
所以k 的最大值为4.
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望,考查等比数列的证明,考查利用导函数解决不等式恒成立问题,考查运算能力.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
（s 为参数），以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.
【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2
【解析】
【分析】
（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；
（2
）设212P s ⎛⎫
⎪⎝⎭
，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案.
【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，
将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2
）设212P s ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
则点P 到直线l
的距离21|9s d ++==，
当s =-
d ==【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.
23. 已知函数()|1||24|f x x x =++-.
（1）求不等式()6f x ≤的解集；
（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma nb +=，求23a b +的取值范围.
【答案】（1）[]13,x ∈-（2）
2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；
（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩
，
所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩
， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.
综上，[]
13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩
，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3， 即236a b +=，所以132
a b +=.
23232313252323266
a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65
a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。