2016-2017年甘肃省定西市通渭县高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2016-2017学年甘肃省定西市通渭县高三（上）期末数学试卷（文
科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题分，共60分，在每个小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中）1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}
2．（5分）复数z=在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）
A．7B．15C．25D．35
4．（5分）计算sin（﹣960°）的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1B．2C．D．2
7．（5分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3几何体的三视图，则h=（）
A．4B．5C．6D．3
8．（5分）已知a=21.2，b=20.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
9．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为
半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1
10．（5分）函数y=的图象可能是（）
A．B．
C．D．
11．（5分）已知向量是单位向量，，若，则的最大值为（）
A．2B．C．3D．
12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则
的取值范围是（）
A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=．
14．（5分）若x，y满足，则z=2x+y的最大值为．
15．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a=．
16．（5分）在△ABC中，不等式+≥成立；在四边形ABCD中，不等式
+++≥成立成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥
成立…，依此类推，在n边形A1A2…A n中，不等式不等式≥成立．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．）
17．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；
（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．
18．（12分）某城市要建宜居的新城，准备引进优秀企业进行城市建设．这个城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（Ⅰ）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；
（Ⅱ）规定85分以上（含85分）为优秀企业．若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，CC1=AB=AC=BC=4，D为线段AC的中点．
（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣C1CB的体积．
20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为．直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当k=1时，求△AMN的面积．
21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当x＞0时，方程f（x）=kx2﹣2x无解，求k的取值范围．
学生在[22]、[23]题中任选一题作答．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
2016-2017学年甘肃省定西市通渭县高三（上）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题分，共60分，在每个小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中）1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，4}C．{1，2}D．{3}
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，
∴A∩B={1，2}．
故选：C．
2．（5分）复数z=在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：z===在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D．
3．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）
A．7B．15C．25D．35
【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容
量为．
故选：B．
4．（5分）计算sin（﹣960°）的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：sin（﹣960°）=﹣sin960°=﹣sin（360°×2+240°）=﹣sin240°=sin60°=；故选：A．
5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；
反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a ＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．
故选：D．
6．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1B．2C．D．2
【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），
∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：
d==．
故选：C．
7．（5分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3几何体的三视图，则h=
（）
A．4B．5C．6D．3
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积S=×5×6=15cm2，
故体积V==5h=20cm3，
解得：h=4cm，
故选：A．
8．（5分）已知a=21.2，b=20.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：∵a=21.2＞2，
1=20＜b=20.8＜21=2，
c=log54＜log55=1，
∴c＜b＜a．
故选：A．
9．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为
半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1
将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，
∴双曲线的方程为﹣=1，
故选：D．
10．（5分）函数y=的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，
当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数
的图象关于原点对称．
故选：B．
11．（5分）已知向量是单位向量，，若，则的最大值为（）
A．2B．C．3D．
【解答】解：根据条件，取；
∴；
∵；
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；
设；
∴
==
；
∴时，取最大值．
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则
的取值范围是（）
A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）
【解答】解：函数的图象如图所示，
∵f（x1）=f（x2），
∴﹣log2x1=log2x2，
∴log2x1x2=0，
∴x1x2=1，
∵f（x3）=f（x4），
∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10
∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，
∵2＜x3＜4，8＜x4＜10
∴的取值范围是（0，12）．
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=1．
【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，
由正弦定理可得：，
=，sinC=，C=，则B==．
三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，
则=1．
故答案为：1．
14．（5分）若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：
当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：7
15．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a=2．
【解答】解：当a=14，b=20时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=14，b=6，
当a=14，b=6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a=a﹣b后，a=8，b=6，
当a=8，b=6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a=a﹣b后，a=2，b=6，
当a=2，b=6时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=2，b=4，
当a=2，b=4时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=2，b=2，
当a=2，b=2时，不满足a≠b，
故输出的a值为2，
故答案为：2
16．（5分）在△ABC中，不等式+≥成立；在四边形ABCD中，不等式
+++≥成立成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥
成立…，依此类推，在n边形A1A2…A n中，不等式不等式≥
成立．
【解答】解：在△ABC中，不等式=成立；在四边形ABCD 中，不等式=成立；
在五边形ABCDE中，不等式=成立…，依此类推，
在n边形A1A2…A n中，不等式，
故答案为．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．）
17．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；
（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．
【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，
{b n}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q==3，
b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d==2，
则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，
则数列{c n}的前n项和为
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+
=n2+．
18．（12分）某城市要建宜居的新城，准备引进优秀企业进行城市建设．这个城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（Ⅰ）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；
（Ⅱ）规定85分以上（含85分）为优秀企业．若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率．
【解答】解：（Ⅰ），． (4)
分
（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88，89，93，95共4个，乙区优秀企业得分为86，95，96共3个．
从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为：
（88，86），（88，95），（88，96），（89，86），（89，95），（89，96），
（93，86），（93，95），（93，96），（95，86），（95，95），（95，96），共12个．其中得分的绝对值的差不超过5分有：
（88，86），（89，86），（93，95），（93，96），（95，95），（95，96）共6个．则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率．…13分
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，CC1=AB=AC=BC=4，D为线段AC的中点．
（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣C1CB的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连结B1C交BC1于点M，连结DM，
∵D为AC中点，M为B1C中点，
∴DM∥AB1，又∵AB1⊄平面BC1D，DM⊂平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（Ⅱ）∵CC1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，
∴CC1⊥BD．
∵AB=BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC．又∵AC⊂A1ACC1，CC1⊂平面A1ACC1，AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面A1ACC1，∵BD⊂平面C1DB，
∴平面BC1D⊥平面A1ACC1．
（Ⅲ）∵CD=，BC=4，BD⊥AC，
∴BD==2．
∵CC1⊥底面ABC，∴CC1为三棱锥C1﹣DBC的高，
所以=．
20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为．直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当k=1时，求△AMN的面积．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）由题意得解得b=．
所以椭圆C的方程为．
（2）由得3x2﹣4x2﹣2=0．
设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．
所以
|MN|===
=．
又因为点A（2，0）到直线y=x﹣1的距离，
所以△AMN的面积为．
21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当x＞0时，方程f（x）=kx2﹣2x无解，求k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x﹣2，
令f'（x）=0解得x=ln2，
易知f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
故当x=ln2时，f（x）有极小值f（ln2）=2﹣2ln2．…（5分）
（Ⅱ）方程f（x）=e x﹣2x=kx2﹣2x，整理得e x=kx2，
当x＞0时，．…（6分）
令，则，…（8分）
令h'（x）=0，解得x=2，
易得h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以x=2时，φ（x）有最小值，．…（10分）
而当x越来越靠近0时，φ（x）的值越来越大，
又当x＞0，方程f（x）=kx2﹣2x无解，
所以..…（12分）
学生在[22]、[23]题中任选一题作答．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，
即有椭圆C1：+y2=1；
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，
即有ρ（sinθ+cosθ）=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，
即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，
解得t=±2，
显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|==，
此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，
即为P（，）．
另解：设P（cosα，sinα），
由P到直线的距离为d=
=，
当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，
此时可取α=，即有P（，）．
[修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2， ∴﹣2≤x ﹣1≤2， 解得﹣1≤x ≤3，
∴不等式f （x ）≤6的解集为{x |﹣1≤x ≤3}． （2）∵g （x ）=|2x ﹣1|，
∴f （x ）+g （x ）=|2x ﹣1|+|2x ﹣a |+a ≥3， 2|x ﹣|+2|x ﹣|+a ≥3，
|x ﹣|+|x ﹣|≥，
当a ≥3时，成立，
当a ＜3时，|x ﹣|+|x ﹣|≥|a ﹣1|≥＞0，
∴（a ﹣1）2≥（3﹣a ）2， 解得2≤a ＜3，
∴a 的取值范围是[2，+∞）．
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0) n
n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m
n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分
数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
11
()()0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数(0x
y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定
义
域
R
值域
(0,)+∞
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
函数 名称 对数函数
定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 (0,)+∞ 值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
a 变化对 图象的影响
在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．
x y
O
(1,0)1x =
log a y x
=x
y
O (1,0)
1
x =log a y x
=。