双摆实验系统的计算机控制设计与实现

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10.1.2 双摆控制系统的整体方案
• 整个系统结构示意 图如图10-2所示， 控制系统方块图如 图10-3所示。
图10-2 双摆计算机控制系统结构图
图10-3 双摆计算机控制系统方块图
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10.1.3 双摆系统数学建模
L：拉格朗日函数=系统的总能量-系统的总势能
非保守系统的 拉格朗日方程
广义坐标对 于时间的一 阶导数
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作以下的简化：
• 忽略由速度引起的向心力和哥氏力 • sin( ) cos( ) 1 l3 • l1 l2（为上摆杆长度）， 可视为下摆杆长度 车速度 上摆角 上摆角 • J1 0 J 2 0 车位置
令
下摆角 速率
X x1
1 0 0 0 0 0
x2
x3
0
x4
x5
图10-16 三轴模拟转台及其示意图
2. 滑车位置回零控制（滑车从-0.3m处回归零位）
图10-12 未加控制的上摆角曲线
图10-13未加控制的下摆角曲线
图10-14 施加最优控制的上摆角曲线
图10-15施加最优控制的下摆角曲线
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10.1 双摆实验系统的计算机控制设计与实现
10.2 转台计算机伺服控制系统设计
10.3 民用机场供油集散系统
0 r Kt x1 x ( Mr 2 J ) R a 2 x3 0 u a r Kt x4 x5 ( Mr 2 J ) Ra l1 0 x6 0
10.1 双摆实验系统的计算机控制设计与实现
10.2 转台计算机伺服控制系统设计
10.3 民用机场供油集散系统
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10.1.1 双摆实验控制系统介绍
1. 双摆实验控制系统组成
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2. 双摆实验控制系统性能指标
• 本实验系统控制的目的是：当滑车在导轨上以一定速度和 加速度运动时，应保持双摆的摆动角度最小；或双摆有任 一初始摆角时，系统将使双摆迅速返回平衡位置。 • 为实现上述控制目的，提出如下性能指标要求：
x6 x x
T

速率

T
下摆角

双摆系统在平衡位置附近的线性状态方程：
0 x1 0 x 2 0 x3 0 x4 x5 0 x6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 m2 g m1 l1 0 m1 m2 g m1 l3 m m2 1 g M 0 ( m1 m2 m1 m2 )g M l1 m1 l1 0 m1 m2 g m2 l 3 0 0 0 0 1 0
(1) 计算机D/A输出100mV时，电机应启动。 (2) 滑车最大运动速度为 0.4m／s，D/A的最大输出对应滑车的 最大运行速度。 (3) 当有较大的初始扰动（上摆角初始角度为50o）时，上下摆的 摆角到达稳态时间＜5s~6s，摆动次数＜3~4次。 (4) 当滑车从偏离零位处回归零位时，上下摆的摆角到达稳态时间 ＜5s~6s，摆动次数＜3~4次。
0 m2 l2 cos m1 l1 cos m2 l3 cos( ) x
J
2 2 J1 J 2 m1 l12 m2 l2 m2 l3 2m2 l2 l3 cos 2 m2 l3 m2 l2 l3 cos 2m2 l2 l3 sin m2 l2 l3 sin 2 2
d L L q q Fi dt i i
i 1,2 , , n
系统自 由度数
系统各个 自由度的 广义坐标
驱动每个自由度运 动的广义力或力矩
• 利用拉格朗日方程建立双摆系统的动力学方程并进行适当 的简化，以得到在小扰动情况下系统的线性化状态方程。
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车位置、上摆角度、下摆角度 可直接测量并用于状态反馈； 车速度、上下摆角的速度不可直接 测量，这里采用位移量差分计算得到
R 0.1
可利用Matlab中的函数dlqr计算得反馈增益K等： [K,P,e]=dlqr(F,G,Q,R)
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10.1.5 软件设计
图10-7 双摆计算机控制系统的程序流程图
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10.1.4 系统回路控制设计
1. 系统的速度环设计
执行电机的死区达到1V，即有
U dead 1V
为满足克服死区电压的指标要求，引 入模拟放大环节，使D/A输出0.1V 时电机启动，则从计算机输出点到控 制电机输入点之间的放大倍数必须满 足 K 0 (Udead / 0.1)
图10-6 双摆控制系统的模拟内环
( m1 m2 ) g[( m1 m2 )r 2 J ] 0 m1 l1 ( Mr 2 J ) 0 m1 m2 g m1 l3 0 0
A X B u
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2. 采样周期的选取
• 根据电机的模型以及电机的相关参数可知，该电 机的机电时间常数为：
Ra J 13.9 5.56e 6 TM 0.04 Kt Ke 0.467 0.0482
0 x1 1 x 2 M x3 0 F x4 1 x5 M l1 x6 0 0
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2. 建立电机加双摆对象的数学模型
• 直流伺服电机在忽略了感抗的影响以及启动死区电压后， 可以视为一个二阶的线性系统。


m1 l1 g sin m2 l2 g sin m2 l3 g sin( )
2 2 0 m2 l3 cos( ) J 2 m2 l3 m2 l2 l3 cos J 2 m2 l3 x




m2 l2 l3 sin 2 m2 l3 g sin( )
图10-5 电机模型
r Kt F r 2 X U a K e Ra Js
即有
Ra F r 2 rK t ua Ke K t x Ra J x
F (rKt ua Ke Kt x Ra J )/ Ra r 2 x
(s)
根据采样周期的选取原则，可以将采样周期选择为：
T 10ms
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3. 系统位置环设计（控制律设计）
• 这里采用无限时间离散二次型的代价函数：
1 J [ X T ( k )QX ( k ) uT ( k ) Ru( k )] 2 k 0
其中Q、R阵的初始设置如下：
0 0 0 0 10 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 Q 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 1 0
为了满足D/A输出满量程5V时对应滑车最大速度0.4m／s 的要求，需要在控制系统结构中引入测速机输出进行速度反馈。
采用稳态数值，有
V V U max K1 K g K w max K 2 K m max r r
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令
Ke Ke K 2 K g K w r
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10.1.6 闭环控制实验结果
横轴为时间轴，单位为s， 纵轴为角度轴，单位为（o）
1. 摆角扰动闭环控制（上摆角初始扰动角度50o）
图10-8 未加控制的上摆角曲线
图10-9未加控制的下摆角曲线
图10-10 施加最优控制的上摆角曲线
图10-11施加最优控制的下摆角曲线
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横轴为时间轴，单位为s， 纵轴为角度轴，单位为（o）
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进行适当的整合，就可得到平衡位置附近处 电机加双摆对象的数学模型：
1 0 0 Ke Kt ( m1 m2 ) gr 2 0 x1 ( Mr 2 J ) Ra Mr 2 J x 2 0 0 0 x3 Ke Kt ( m1 m2 ) g[( m1 m2 )r 2 J ] x4 0 2 ( Mr J ) Ra l1 m1 l1 ( Mr 2 J ) x5 0 0 0 x6 m1 m2 0 g 0 m1 l3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 m2 g 0 m1 l1 0 1 m1 m2 g 0 m1 l3 0
图10-4 双摆系统受力分析图


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• 滑车—双摆系统是具有三个自由度的机械系统，其第一个 自由度的广义驱动力由力矩电机产生，第二、三个自由度 均为摆杆相对于铰链的自由摆动，广义力为零。
建立系统的拉格朗日方程如下：
F M m1 m2 x
m1 l1 m2 l2 cos m2 l3 cos( ) m2 l3 cos( ) 2m2 l3 sin( ) m1 l1 m2 l2 sin m2 l3 sin( ) 2 m2 l3 sin( ) 2
1. 以控制力为输入建立双摆系统的数学模型
F ：拖动电机对于滑车的控制力 M ：滑车质量 m1 ：上摆关节的质量 m2 ：下摆关节的质量（包括摆锤）
x ：滑车距参考坐标系原点的横坐标
l1 ：上摆质心距滑车铰链的长度 l 2 ：关节铰链距滑车铰链的长度（上 摆杆的摆长） l3 ：关节铰链距下摆质心的长度 ：上摆摆动角度 ：下摆摆动角度 ：下摆关节摆动角度，且满足 J 1 ：上摆摆杆的转动惯量 J 2 ：下摆摆杆的转动惯量
• 考虑放大器箱的放大倍数，D/A输出电压u满足： • u u u a a
K0 ( K1 K 2 )
• 则描述系统的线性化状态方程（10-8）可以改写为
1 0 Ke Kt x1 0 ( Mr 2 J ) Ra x 2 0 0 x3 Ke Kt x4 0 ( Mr 2 J ) Ra l1 x5 0 0 x6 0 0 0 ( m1 m2 ) gr 2 Mr 2 J 0 0 0 1 0 0 0 0 0 m2 g 0 m1 l1 0 1 m m2 1 g 0 m1 l3 0 0 rK K K x1 t 1 2 x ( Mr 2 J ) R a 2 x3 0 u x4 rK t K 1 K 2 x5 ( Mr 2 J ) Ra l1 0 x6 0
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10.2 转台计算机伺服控制系统设计
• “高频响、超低速、宽调速、高精度”成为 仿真转台的主要性能指标和发展方向。
– “高频响”反映转台跟踪高频信号的能力强； – “超低速”反映系统的低速平稳性好； – “宽调速”可提供很宽的调速范围； – “高精度”指系统跟踪指令信号的准确程度高。
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10.2.1 转台系统介绍