奥数应用题专项练习及解析：周期性问题要点

奥数应用题专项练习及解析：周期性问题
2012-12-20 16:16 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理
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编者小语：“题海无边，题型有限”。

学习数学必须要有扎实的基本功，有了扎实的基
本功再进行“奥数”的学习就显得水到渠成了。

巨人奥数网为大家准备了奥数应用题专项练
习及解析：周期性问题，希望可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!
一、填空题(共10小题，每小题3分，满分30分)
1.(3分)1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_________ .
2.(3分)黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应
该是_________ 色的，这种颜色的珠子在这串中共有_________ 颗.
3.(3分)流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，,继续下去第1993个小珠的颜色是_________ 色.
4.(3分)把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_________ 袋中.
参考答案与试题解析
一、填空题(共10小题，每小题3分，满分30分)
1.(3分)1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期五.
考点：日期和时间的推算.1923992
分析：在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365×10+3，365被7除余1，所以总天数被7除的余数是13﹣7=6，因此10年后的1月18日是星期五.
解答：解：(365×10+3)÷7
=3653÷7
=521(星期),6(天)，
因此10年后的1月18日是星期五.
故答案为：五.
点评：考查了日期和时间的推算，本题得到从1992年1月18日起再过十年的1月18日的总天数是关键，同时还考查了星期几是7天一个循环.
2.(3分)黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应
该是黑色的，这种颜色的珠子在这串中共有26 颗.
考点：周期性问题.1923992
分析：根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三白”交替循环出现
的，也就是这一排列的周期为4，由此即可得出答案.
解答：解：因为，(102﹣1)÷4，
=101÷4，
=25,1，
所以，最后一颗珠子是黑色的.
又因为，1×25+1=26(颗)，
所以，这种颜色的珠子在这串中共有26颗;
故答案为：黑，26.
点评：解答此题的关键是，根据图示，找出珠子排列的周期数，由此即可解答.
3.(3分)流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，,继续下去第1993个小珠的颜色是黑色.
考点：周期性问题.1923992
分析：小木球是依次按5红，4黄，3绿，2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性
问题，每个周期为15.
由1993÷15=132,13，所以第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.
解答：解：5+4+3+2+1=15，
1993÷15=132,13，
所以第1993个小球是第133周期中第13个，
应该与第一周期的第13个小球颜色相同，是黑色.
答：第1993个小珠的颜色是黑色.
故答案为：黑.
点评：此题关键是找出周期的规律，然后利用除法算式得出小球是第几周期的第几个，
与第一周期的颜色对比即可得出.
4.(3分)把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在 B 袋中.
这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出：右边为第一列，下边为第一行，从1开始依次排列;其规律是：
每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B;由此规律，只要求出1992是第几周期的第几个数字，即可得出答案.
解答：解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每10个数字为一个周期，这
10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B;
1992÷10=199,2，
所以1992是第200个周期的第二个数字，与第一周期的第二个数字相同，即是 B.
答：第1992粒珠子投在B袋中.
故答案为： B
点评：此题抓住投珠子的方法，把这个实际操作的问题转化成一个单纯的数字问题，可以使分析简洁明了.
5.(3分)将数列1，4，7，10，13,依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第
一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第24行第 4 列
分析：为了分析方便，把列数从左到右依次排列为1、2、3、4、5、6，如上图;
根据题干可得：①此题是一个等差数列，公差是3;
②从排列可以看出，两行为一个周期，即10个数为一个周期，位置分别在的列数为：2、
3、4、5、6、5、4、3、2、1;
所以只要求出349是这个数列中的第几个数，在第几周期的第几个数字即可得出答案.
解答：解：根据题干分析可得：
(349﹣1)÷3+1=117，
所以349是这列数中的第117个数.
117÷10=11,7，
所以这个数是第12周期的第7个数字，那么这个数是第1周期的第二行，
所以这个数在第12×2=24行，与第一周期的第7个数字位置相同即：在第4列，
答：数列中的数349应排在第24行第4列.
故答案为：24;4.
点评：此题要从两个方面考虑周期①行数，两行一周期，②列数，即10个数字依次排列的列数.
6.(3分)9/13分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是 6 .
考点：周期性问题.1923992
分析：9/13=0.692307 ，很显然小数点后面的数字循环周期是6，由此只要得出1993在第几周期的第几个数字即可解决问题.
解答：解： = ，它的循环周期是6，
因为1993÷6=332,1，即在第333周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同，
是6.
故答案案为： 6.
点评：此题抓住9/13的循环节，即可解决问题.
7.(3分)3/14 化成小数后，小数点后面1993位上的数字是7 .
考点：周期性问题.1923992
分析：题目要求“小数点后面1993位上的数字是多少”，所以就要从3/14 化成小数后寻找规律.
解答：解：3/14 =1.2142857 从小数点后面第二位开始，它的循环周期是6，因为(1993﹣1)÷6=332，则循环节“142857”恰好重复出现332次.
所以小数点后面第1993位上的数字是7.
故答案为：7.
点评：此题考查了小数化分数的方法以及对循环节的掌握情况，同时培养学生寻找规律
的能力.
8.(3分)在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在 3 和7 这两个数字上.
考点：循环小数及其分类.1923992
分析：表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数字“5”肯定包含在循环节中，然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪.
解答：解：后一个小圆点应加在7上;前一个小圆点的情况：
(1)设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，(100﹣4)÷3=32，第100位数字是7.
(2)设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，(100﹣3)÷4=24,1，第100位数字是 4.
(3)设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，(100﹣2)÷5=19,3，第100位数字正好是 5.
故答案为：3，7.
点评：容易看出后一个小圆点应加在7的上面，但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办?唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5，就从数字5开始试.逐步向前移动，直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，
唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试一试那条.
9.(3分)1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 2 .
考点：周期性问题;乘积的个位数.1923992
分析：根据题干，要求它们的连乘积的个位数字，可以先求出它们各自的乘积的个位数字是几，由特例不难归纳出：
(1)9的连乘积的个位数字按9，1循环出现，周期为2;
(2)8的连乘积的个位数字按8，4，2，6循环出现，周期为4;
(3)7的连乘积的个位数字按7，9，3，1循环出现，周期为 4.
由此即可解决问题.
解答：解：根据上述分析可以得出1991个9的乘积个位数字、1990个8的乘积个位数字、1989个7的个位数字分别为：
(1)因为1991÷2=995,1，所以1991个9的连乘积的个位数字是第996周期的第一个数，与第一周期的第一个数字相同即是9;
(2)因为1990÷4=497,2，所以1990个8的连乘积的个位数字是第498周期的第二个数字，与第一周期的第一个数字相同即是4;
(3)因为1989÷4=497,1，所以1989个7的连乘积的个位数字是第498周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同即是7.
所以，9×4×7=252，
即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是 2.
答：连乘积的个位数是 2.
故答案为： 2.
点评：抓住题干，求出9的连乘积、8的连乘积和7的连乘积的个位数字的规律，是解决本题的关键.
10.(3分)算式的得数的尾数是9 .
二、解答题(共4小题，满分0分)
11.乘积1×2×3×4×,×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少?
考点：周期性问题.1923992
分析：我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.
2的495次方的个位数字是8(2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123,3)
那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是 2.
解答：解：此题中是1991个数字的连乘积，根据题干分析：
所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.
2的495次方的个位数字是8;
2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，
495÷4=123,3;
那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，
6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是 2.
点评：将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，
得出从右边数第一位不为0的数字规律;根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是
本题的关键所在.
12.有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几?
考点：周期性问题.1923992
分析：(1)因为第一个数5/6× =第二个数×1/4 ，所以第一个数：第二个数=1/4 ：5/6 =3：10.又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055,
(2)要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以
3的余数的规律是什么;由此即可解决问题.
解答：解：根据题干分析可得这串数字为：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055,
这串数字被3除所得的余数依次为：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，
所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8.
因为1991÷8=248,7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.
答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是 2.
点评：解答此题应注意以下两个问题：(1)由于两个数互质，所以这两个数只能是最简
整数比的两个数;
(2)求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期.一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性.
13.表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为(共社)，第二组为(产会)，那么第340组是(好，好) .
共产党好共产党好共产党好......
社会主义好社会主义好社会主义好......
考点：周期性问题.1923992
分析：此题分成两部分来看：(1)上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共→产
→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;
(2)同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社→会→主→义→好，由此即可
解决问题.
解答：解：根据题干分析：
(1)上面四字一周期，分别为：共→产→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期的最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;
(2)下面五字一周期，分别为：社→会→主→义→好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同;
答：由上述推理可得：第340组的数字是(好，好)，
故答案为：(好，好).
点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.
因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是(好，好).
14.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底.然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上没有被涂黑
部分的长度总和为75 厘米.
考点：公约数与公倍数问题.1923992
分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行;乙按白、黑，白、黑交替进行，如图所示.
由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现，据此可以轻松求解.
解答：解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，
1+3+5+4+2=15(厘米);
所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，
15×(300÷60)=75(厘米).
故答案为：75.
点评：此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍数.。