二部图与完全二部图课堂PPT
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解 将景点作为结点，道路作为边，则得到一 个有５个结点的无向图。
由题意，对每个结点vi，有 deg(vi)＝2（i∈Ｎ5）。
则对任两点vi， vj（i， j∈Ｎ5）均有 deg(vi)＋deg(vj)＝2＋2＝4＝5－1
可知此图一定有一条哈密尔顿路，本题有解。
22
23
数度结点。
7
我国民间很早就流传一种“一笔画” 游戏。 由定理1和定理2知， 有两种情 况可以一笔画。
1) 如果图中所有结点是偶数度结点， 则可以任选一点作为始点一笔画完；
2) 如果图中只有两个奇度结点， 则 可以选择其中一个奇度结点作为始点也 可一笔画完。
8
【例】下图是一幢房子的平面图形， 前门进 入一个客厅， 由客厅通向4个房间。 如果要 求每扇门只能进出一次， 现在你由前门进去， 能否通过所有的门走遍所有的房间和客厅， 然后从后门走出。
中每边一次且仅一次的回路， 则该回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。
例如， 给出如图3所示的两个图， 容易看出，
(a)是欧拉图， 而(b)不是欧拉图。
5
定理 1 连通图G是欧拉图的充要条件是G的所
有结点的度数都是偶数。
下图中， (a)图的每个结点的度数都为４， 所以它是 欧拉图；(b)图不是欧拉图。
9
解: 将4个房间和一个客厅及前门外和后门外 作为结点， 若两结点有边相连就表示该两结
点所表示的位置有一扇门相通。 由此得图 (b)。
由于图中有4个结点是奇度结点， 故由定理 7.4.2知本题无解。
10
类似于无向图的结论， 对有向图有以下 结果。 定理3 一个连通有向图具有（有向）欧 拉回路的充要条件是图中每个结点的入 度等于出度。 一个连通有向图具有有向 欧拉路的充要条件是最多除两个结点外 的每个结点的入度等于出度， 但在这两 个结点中， 一个结点的入度比出度大1， 另一个结点的入度比出度少1。
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集.
又若G是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个 顶点相邻,则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|,
17
对右图 ， 图中粗线给 出了这样的回路。
定义4 给定图G， 若有 一条路通过G中每个结点
恰好一次， 则这样的路
称为哈密尔顿路；若有
一个圈， 通过G中每个
结点恰好一次(起点两次)， 这样的圈称为哈密尔顿 回路（或哈密尔顿圈）。
具有哈密尔顿回路的图 称为哈密尔顿图。
12 面体游戏示图
18
尽管哈密尔顿回路与欧拉回路问题在 形式上极为相似，但是到目前为止还不 知道一个图为哈密尔顿图的充要条件， 寻找该充要条件仍是图论中尚未解决的 主要问题之一。下面先给出一个简单而 有用的必要条件。
3
我们将图1中的哥尼斯堡城的4块点， 而把桥画成相应的连接边， 这 样图1可简化成图2。 于是七桥“遍游”问 题等价于在图2中， 从某一结点出发找到一 条回路， 通过它的每条边一次且仅一次， 并回到原来的结点。
4
定义 1 给定无孤立结点的图G， 若存在一条经过G
定理1 设图G＝〈V ,E〉是哈密尔顿图， 则 对于V的每个非空子集S，均有W（G－S）≤|S| 成
立，
其中W（G－S）是图G－S 的连通分支数。
19
如图，S若 {取 v1,v4},则GS有3个连通分支 S2,故不满足必要以 条该 件图 ，不 所是哈。 密
20
判断哈密尔顿图的充分条件很多， 我们仅介绍一个。
说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 还可能是非连通的回路之并.
定理 平面图各面的次数之和等于边数的2倍.
平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界.
但我们继续考察(b)图可以发现， 该图中有一条路 v2v3v4v5v2v1v5， 它经过(b)图中的每条边一次且仅
一次， 我们把这样的路称为欧拉路。
6
定义2 通过图G的每条边一次且仅一次的 路称为图G的欧拉路。 对于欧拉路有下面
的判定方法。
定理2 连通图G具有一条连接结点vi和vj的 欧拉路当且仅当vi和vj是G中仅有的两个奇
哈密尔顿图
与欧拉回路类似的是哈密尔顿回路问题。 它是1859年哈密尔顿首先提出的一个关于 12面体的数学游戏： 能否在下页图中找到 一个回路，使它含有图中所有结点一次且 仅一次？ 若把每个结点看成一座城市，连 接两个结点的边看成是交通线，那么这个 问题就变成能否找到一条旅行路线，使得 沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次， 再回到原来的出发地呢？为此，这个问题 也被称作周游世界问题。
今后称一个图是平面图, 可以是指定义中的平面图, 又可
以是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的 画法有关时, 是指平面嵌入.
K5和K3,3是非平面图 设G G, 若G为平面图, 则G 也是
K5
平面图; 若G 为非平面图, 则G也
是非平面图.
Kn(n5), K3,n(n3)都是非平面图.
定理2 设G＝〈V ,E〉是有n个结点的简单图， 1） 如果任一对不相邻结点u， v∈V， 均
有 deg(u)＋deg(v)≥ n－1，
则在G中存在一条哈密尔顿路； 2） 如果任一对不相邻结点u， v∈V， 均 有
deg(u)＋deg(v)≥ n， 则G是哈密尔顿图。
21
【例3】某地有５个风景点。若每个景点均有 两条道路与其他景点相通，问是否可经过每个 景点恰好一次而游完这５处？
K3,3
平行边与环不影响图的平面性.
平面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示
11
平面图和平面嵌入
定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G 的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图.
例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入， (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
平面图和平面嵌入(续)
s=|V2|.
注意: n 阶零图为二部图.
1
二部图的判别法
定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈 例 下述各图都是二部图
2
欧拉图
历史上的哥尼斯堡七桥问题是著名的图论问题。 问题是这样的： 18世纪的东普鲁士有个哥尼斯
堡城， 在横贯全城的普雷格尔河两岸和两个岛之 间架设了7座桥， 它们把河的两岸和两个岛连接起 来（如图1）。 每逢假日， 城中居民进行环城游 玩， 人们对此提出了一个“遍游”问题， 即能否 有这样一种走法， 使得从某地出发通过且只通过 每座桥一次后又回到原地呢？
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
欧拉公式
定理11 (欧拉公式) 设G为n阶m条边r个面的连通平面图， 则 nm+r=2. 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论为真. 设m=k(k0)结论为真, m=k+1时分情况讨论如下:
(1) G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及它关 联的边, 记作G . G 连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归 纳假设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立.
(2) 否则,删除一个圈上的一条边,记作G . G 连通, 有n个顶 点,k条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论也成立. 证毕.
由题意，对每个结点vi，有 deg(vi)＝2（i∈Ｎ5）。
则对任两点vi， vj（i， j∈Ｎ5）均有 deg(vi)＋deg(vj)＝2＋2＝4＝5－1
可知此图一定有一条哈密尔顿路，本题有解。
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23
数度结点。
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我国民间很早就流传一种“一笔画” 游戏。 由定理1和定理2知， 有两种情 况可以一笔画。
1) 如果图中所有结点是偶数度结点， 则可以任选一点作为始点一笔画完；
2) 如果图中只有两个奇度结点， 则 可以选择其中一个奇度结点作为始点也 可一笔画完。
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【例】下图是一幢房子的平面图形， 前门进 入一个客厅， 由客厅通向4个房间。 如果要 求每扇门只能进出一次， 现在你由前门进去， 能否通过所有的门走遍所有的房间和客厅， 然后从后门走出。
中每边一次且仅一次的回路， 则该回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。
例如， 给出如图3所示的两个图， 容易看出，
(a)是欧拉图， 而(b)不是欧拉图。
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定理 1 连通图G是欧拉图的充要条件是G的所
有结点的度数都是偶数。
下图中， (a)图的每个结点的度数都为４， 所以它是 欧拉图；(b)图不是欧拉图。
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解: 将4个房间和一个客厅及前门外和后门外 作为结点， 若两结点有边相连就表示该两结
点所表示的位置有一扇门相通。 由此得图 (b)。
由于图中有4个结点是奇度结点， 故由定理 7.4.2知本题无解。
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类似于无向图的结论， 对有向图有以下 结果。 定理3 一个连通有向图具有（有向）欧 拉回路的充要条件是图中每个结点的入 度等于出度。 一个连通有向图具有有向 欧拉路的充要条件是最多除两个结点外 的每个结点的入度等于出度， 但在这两 个结点中， 一个结点的入度比出度大1， 另一个结点的入度比出度少1。
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集.
又若G是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个 顶点相邻,则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|,
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对右图 ， 图中粗线给 出了这样的回路。
定义4 给定图G， 若有 一条路通过G中每个结点
恰好一次， 则这样的路
称为哈密尔顿路；若有
一个圈， 通过G中每个
结点恰好一次(起点两次)， 这样的圈称为哈密尔顿 回路（或哈密尔顿圈）。
具有哈密尔顿回路的图 称为哈密尔顿图。
12 面体游戏示图
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尽管哈密尔顿回路与欧拉回路问题在 形式上极为相似，但是到目前为止还不 知道一个图为哈密尔顿图的充要条件， 寻找该充要条件仍是图论中尚未解决的 主要问题之一。下面先给出一个简单而 有用的必要条件。
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我们将图1中的哥尼斯堡城的4块点， 而把桥画成相应的连接边， 这 样图1可简化成图2。 于是七桥“遍游”问 题等价于在图2中， 从某一结点出发找到一 条回路， 通过它的每条边一次且仅一次， 并回到原来的结点。
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定义 1 给定无孤立结点的图G， 若存在一条经过G
定理1 设图G＝〈V ,E〉是哈密尔顿图， 则 对于V的每个非空子集S，均有W（G－S）≤|S| 成
立，
其中W（G－S）是图G－S 的连通分支数。
19
如图，S若 {取 v1,v4},则GS有3个连通分支 S2,故不满足必要以 条该 件图 ，不 所是哈。 密
20
判断哈密尔顿图的充分条件很多， 我们仅介绍一个。
说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 还可能是非连通的回路之并.
定理 平面图各面的次数之和等于边数的2倍.
平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界.
但我们继续考察(b)图可以发现， 该图中有一条路 v2v3v4v5v2v1v5， 它经过(b)图中的每条边一次且仅
一次， 我们把这样的路称为欧拉路。
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定义2 通过图G的每条边一次且仅一次的 路称为图G的欧拉路。 对于欧拉路有下面
的判定方法。
定理2 连通图G具有一条连接结点vi和vj的 欧拉路当且仅当vi和vj是G中仅有的两个奇
哈密尔顿图
与欧拉回路类似的是哈密尔顿回路问题。 它是1859年哈密尔顿首先提出的一个关于 12面体的数学游戏： 能否在下页图中找到 一个回路，使它含有图中所有结点一次且 仅一次？ 若把每个结点看成一座城市，连 接两个结点的边看成是交通线，那么这个 问题就变成能否找到一条旅行路线，使得 沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次， 再回到原来的出发地呢？为此，这个问题 也被称作周游世界问题。
今后称一个图是平面图, 可以是指定义中的平面图, 又可
以是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的 画法有关时, 是指平面嵌入.
K5和K3,3是非平面图 设G G, 若G为平面图, 则G 也是
K5
平面图; 若G 为非平面图, 则G也
是非平面图.
Kn(n5), K3,n(n3)都是非平面图.
定理2 设G＝〈V ,E〉是有n个结点的简单图， 1） 如果任一对不相邻结点u， v∈V， 均
有 deg(u)＋deg(v)≥ n－1，
则在G中存在一条哈密尔顿路； 2） 如果任一对不相邻结点u， v∈V， 均 有
deg(u)＋deg(v)≥ n， 则G是哈密尔顿图。
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【例3】某地有５个风景点。若每个景点均有 两条道路与其他景点相通，问是否可经过每个 景点恰好一次而游完这５处？
K3,3
平行边与环不影响图的平面性.
平面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示
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平面图和平面嵌入
定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G 的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图.
例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入， (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
平面图和平面嵌入(续)
s=|V2|.
注意: n 阶零图为二部图.
1
二部图的判别法
定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈 例 下述各图都是二部图
2
欧拉图
历史上的哥尼斯堡七桥问题是著名的图论问题。 问题是这样的： 18世纪的东普鲁士有个哥尼斯
堡城， 在横贯全城的普雷格尔河两岸和两个岛之 间架设了7座桥， 它们把河的两岸和两个岛连接起 来（如图1）。 每逢假日， 城中居民进行环城游 玩， 人们对此提出了一个“遍游”问题， 即能否 有这样一种走法， 使得从某地出发通过且只通过 每座桥一次后又回到原地呢？
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
欧拉公式
定理11 (欧拉公式) 设G为n阶m条边r个面的连通平面图， 则 nm+r=2. 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论为真. 设m=k(k0)结论为真, m=k+1时分情况讨论如下:
(1) G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及它关 联的边, 记作G . G 连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归 纳假设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立.
(2) 否则,删除一个圈上的一条边,记作G . G 连通, 有n个顶 点,k条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论也成立. 证毕.