2021年初中数学 圆 专题04 求不规则图形的面积(老师版)

专题04求不规则图形的面积中圆的应用
求不规则图形的面积
求不规则图形的面积常利用对称、全等及平行线进行等面积的图形转换，转化为容易解决的规则图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．
1、如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B )
A.2π3－32
B.2π3－3C ．π－32D ．π－3
【解析】如答图，连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，
答图
∴∠ADC ＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB 是等边三角形，
∵AB ＝2，∴△ABD 的高为3，
∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4＋∠5＝60°，∵∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，
△ABG ≌△DBH (ASA )，
∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，
∴图中阴影部分的面积是S 扇形EBF －S △ABD ＝60π×22360－12×2×3＝2π3
－ 3.3、如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，设△OPE 的内心为M ，连结OM ，PM .
(1)求∠OMP 的度数；
(2)当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长．
解：(1)∵△OPE 的内心为M ，
∴∠MOP ＝12∠EOP ，∠MPO ＝12
∠EPO ，∵PE ⊥OC ，∴∠PEO ＝90°，∠EOP ＋∠EPO ＝90°，
∴∠MOP ＋∠MPO ＝12(∠EOP ＋∠EPO )＝12
×90°＝45°，∴∠OMP ＝180°－45°＝135°；
(2)如答图，连结CM ，
答图
∵OM ＝OM ，∠COM ＝∠POM ，CO ＝PO ，
∴△COM ≌△POM ，∴∠CMO ＝∠PMO ＝135°，
点M 的运动轨迹是两个CMO ︵，设CMO ︵的圆心为O 1，
∵∠CMO ＝135°，∴弦CO 所对的劣弧的圆周角为45°，∴∠CO 1O ＝90°，在Rt △CO 1O 中，CO 1＝sin 45°×OC ＝22×2＝2，当点P 在半圆上从点B 运动到点C 时，内心M 所经过的路径为⊙O 1的劣弧OC ，
∴lOC ︵＝90×π×2180＝22
π，同理，当点P 在半圆上从点C 运动到点A 时，内心M 所经过的路径为⊙O 2对应的劣弧OC 与⊙O 1的劣弧OC 长度相等，
∴当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，内心M 所经过的路径长为
22π＋22
π＝2π.4、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，∠D ＝30°，AB ＝BC .
(1)求∠A ＋∠C 的度数；
(2)连结BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AB ＝1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足AE 2＝BE 2＋CE 2，求点E 运动路径的长度．
解：(1)∵在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，∠D ＝30°，
∴∠A ＋∠C ＝360°－∠B －∠D ＝270°；
答图①(2)AD 2＋CD 2＝BD 2.
理由：如答图①，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得△BAD ′，连结DD ′.
∵BD ＝BD ′，CD ＝AD ′，∠DBD ′＝60°，∠BAD ′＝∠C ，
∴△BDD ′是等边三角形，∴DD ′＝BD ，
又∵∠BAD ＋∠C ＝270°，∴∠BAD ′＋∠BAD ＝270°，∴∠DAD ′＝90°，
∴AD 2＋AD ′2＝DD ′2，即AD 2＋CD 2＝BD 2；
(3)如答图②，将△BEC 绕点B 逆时针旋转60°得△BE ′A ，连结EE ′.
答图②
∵BE ＝BE ′＝EE ′，CE ＝AE ′，∠EBE ′＝60°，∠BEC ＝∠BE ′A ，
∴△BEE ′是等边三角形，∴∠BE ′E ＝60°，
∵AE 2＝BE 2＋CE 2，BE ＝EE ′，CE ＝AE ′，
∴AE 2＝EE ′2＋AE ′2，
∴∠AE ′E ＝90°，∴∠BE ′A ＝150°，
∴∠BEC ＝150°，
∴点E 在以BC 为弦，优弧BC 所对的圆心角为300°的圆上，
以BC 为边在下方作等边三角形BCO ，则O 为圆心，半径BO ＝1，
∴点E 的运动路径为BC ︵，lBC ︵＝60π×1180＝π3
.
5、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在BC 上，四边形EFGB 也是正方形，以B 为圆心，BA 长为半径画AC ︵，连结AF ，CF ，则图中阴影部分面积为__4π__．
6、如图，左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分．右图中，图形的相关数据：半径OA
＝2cm ，∠AOB ＝120°.则右图的周长为__8π3
__cm(结果保留π)．
【解析】∵半径OA ＝2cm ，∠AOB ＝120°∴lAB ︵＝120·π·2180＝4π3，lAO ︵＋lOB ︵＝4π3，∴右图的周长＝4π3＋4π3
＝8π3
.7、如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，若⊙O 的半径是2，则阴影部分的面积为(A )
A ．8
B ．4
C ．4π＋4
D ．4π－4【思路生成】连结相邻小圆的交点，构造正方形，求出正方形中空白部分的面积，进而得出阴影面积．
答图
【解析】如答图所示，可得正方形EFMN ，边长为2，
正方形中阴影部分的面积为S 1＝2(22－π×12)＝8－2π，
∵⊙O 的半径为2，∴O 1，O 2，O 3，O 4的半径为1，
∴小圆的面积为π×12＝π，
∴S 阴影＝2S 小圆＋S 1＝2π＋(8－2π)＝8.8、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°
后得到△AB ′C ′，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是__12π__．
【解析】S 阴影＝S 扇形ABB ′＋S △AC ′B ′－S 扇形ACC ′－S △ABC ＝S 扇形ABB ′－S 扇形ACC ′＝45360×π×(22)2－45360×π×22＝12
π.9、如图，△OAC 的顶点O 在坐标原点，OA 边在x 轴上，OA ＝2，AC ＝1，把△OAC 绕点A 按顺时针方向
旋转到△O ′AC ′，使得点O ′的坐标是(1，3)，则在旋转的过程中线段OC 扫过部分(阴影部分)的面积为__π2
__．
【解析】如答图，过点O ′作O ′H ⊥x 轴于点H ，∵点O ′的坐标是(1，3)，∴OH ＝1，O ′H ＝3，又∵AO ＝AO ′＝2，∴∠HAO ′＝60°，即旋转∠OAO ′＝∠CAC ′＝60°，根据旋转的性质可知，△OAC ≌△O ′AC ′，∴△OAC 的面积与△O ′AC ′的面积相等，
答图
∴S 阴影＝S 扇形OAO ′＋S △O ′C ′A －S △OCA －S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′－S 扇形CAC ′＝60π×22360－60π×12360＝π2
.
10、如图，扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝90°.半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为__10__．
【解析】如答图，过点O 作OH ⊥EF 交EF 于点H ，交DC 于点K ，连结OF .
∵OH 过圆心，∴EH ＝FH .
答图
∵四边形CDEF 是正方形，∴OH ⊥DC ，DK ＝CK ，
∴△OCK 是等腰直角三角形，OK ＝KC .
设CF ＝x ，则KH ＝x ，HF ＝OK ＝CK ＝x 2
，在Rt △OHF 中，OH 2＋HF 2＝OF 2，
＝52，
解得x ＝10，即CF 的长为10.
11、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2.以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E .交AD 的延长线于点F .则图中阴影部分的面积是(A )
A ．4π－4
B ．4π－8
C ．8π－4
D ．8π－8
【解析】根据对称，阴影部分的面积可以转化为答图，
答图
则S 阴影＝S 扇形－S △ABD ＝90π×42360－12
×4×2＝4π－4.12、如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，AB ＝2，则莱洛三角形(即阴影部分面积)为(D )
A ．π＋3
B ．π－3
C ．2π－3
D ．2π－23
【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积，即S 阴影＝3×S 扇形－2S △ABC .
答图
由题意得S 扇形＝π×22×60360＝23π，S △ABC ＝34
×22＝3，∴S 阴影＝3S 扇形－2S △ABC ＝3×23
π－2×3＝2π－23.13、如图，扇形OAB 中，∠AOB ＝120°，OA ＝12，C 是OA 的中点，CD ⊥OA 交AB ︵于点D ，以OC 为半径
的CE ︵交OB 于点E ，则图中阴影部分的面积是(A )
A ．12π＋183
B ．12π＋363
C ．6π＋183
D ．6π＋363
【解析】如答图，连结OD ，AD ，
答图
∵点C 为OA 的中点，
∴OC ＝12OA ＝12
OD ，∵CD ⊥OA ，∴∠CDO ＝30°，∠DOC ＝60°，
∴△ADO 为等边三角形，OD ＝OA ＝12，OC ＝CA ＝6，∴CD ＝（OD ）2－（OC ）2＝63，
∴S 扇形AOD ＝60·π·（12）2360
＝24π，∴S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COE －(S 扇形AO D －S △COD )＝120·π·（12）2360－120·π·62360－(24π－12×6×63)＝12π＋183.14、如图，矩形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连结BD ，则阴影部分的面积为__π__．(结果保留π)
【解析】连结OE ，易证四边形ABEO 为正方形，则扇形OED 的圆心角为90°，半径为2，因此可求扇形OED 的面积，阴影面积看成正方形ABEO ＋扇形OED －三角形ABD ，正方形ABEO 和三角形ABD 面积均可求，即可求得阴影部分．
15、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A ′B ′C ′，
其中点B 的运动路径为弧BB ′，则图中阴影部分的面积为__54π－32
__．
【解析】如答图，连结B ′D ，BD ，B ′B ，
答图
∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A ′B ′C ′，
∴C ′D ＝CD ＝1，B ′C ′＝BC ＝2，∠CDC ′＝∠C ′＝∠B ′DB ＝90°，
∴B ′D ＝BD ＝12＋22＝5，
∴CD ∥B ′C ′，B ′C ＝A ′C ＝A ′B ＝2，
∴S 阴影＝S 扇形BDB ′－S △BDB ′＋S △B ′BC ＝90π（5）2360
－12×5×5＋12×2×2＝54π－32
.16、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B (1，1)，C (3，1)．
(1)画△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
(2)画△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；
(3)在(2)的条件下，求线段BC 扫过的面积(结果保留π)．
解：(1)画出△A 1B 1C 1如答图所示；
答图
(2)画出△A 2B 2C 2如答图所示；
(3)∵OC ＝12＋32＝10，OB ＝12＋12＝2，
∴S ＝S 扇形OCC 2－S 扇形OBB 2＝14
π(OC 2－OB 2)＝2π.17、如图，是某公园的一角，∠AOB ＝90°，AB ︵的半径OA 长是6m ，
点C 是OA 的中点，点D 在AB ︵上，CD ∥OB ，则图中草坪区(阴影部分)的面积是(A )
2
2C.(3π＋93)m 2
－218、如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG .
(1)求证：EF ∥CG ；
(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.
∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，
∴△ABF ≌△CBE ，
∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，
AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.
∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，
∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ，
∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG .
∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，
∴四边形EFGC 是平行四边形，
∴EF ∥CG ；
(2)∵△ABF ≌△CBE ，
∴FB ＝BE ＝12
AB ＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝ 5.
在△FEC 和△CGF 中，
∵EC ＝FG ，∠ECF ＝∠GFC ，FC ＝CF ，∴△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，
∴S 阴影＝S 扇形ABC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形AFG
＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－。