2006—2007学年度山东省淄博市高三年级第二次摸底考试—数学(理

2006-2007学年度山东省滋博市高三年级第二次摸底考试
数 学 试 题（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A+B ）=P （A ）·P （B ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择
一个符合题目要求的选项. 1．在复平面内，复数i
i
z 21-=对应的点位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设集合},21,||{},,2|2||{2
≤≤--==∈≤-=x x y y B R x x x A 则 R （A ∩B ）等于
（ ）
A ．R
B ．}0|{≠∈x R x x 且
C ．{0}
D ．O 3．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是 （ ）
4．已知圆C ：01242
2=+--+y x y x ，直线,043:=+-k y x l 圆上存在两点到直线l
的距离为1，则k 的取值范围是
（ ）
A ．（－17，－7）
B ．（3，13）
C ．（－17，－7）∪（3，13）
D ．[－17，－7]∪[3，13]
5．已知απ
βπαββαsin ),0,2
(),2,0(,135sin ,53)cos(则且-∈∈-==-= （ ）
A ．
65
33
B ．65
63 C ．6533- D ．6563-
6．对于平面，，和共面的直线n m α下列命题中真命题是
（ ）
A ．若αα//,,n n m m 则⊥⊥
B ．若n m n m //////，则，αα
C ．若n m n m ////，则，αα⊂
D ．若n m n m //所成的角相等，则
与，α 7．如右图，阴影部分的面积是
（ ）
A ．32
B ．32-
C ．
332
D ．
3
35 8．已知点O 是△ABC 所在平面内一点，且222222||||||||||||+=+=+
则O 是△ABC 的 （ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
9．已知不等式,9)1
)((≥++y
a
x y x 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦
点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为 （ ）
A ．－a
B ．a
C ．－c
D ．c
11．若数列{a n }的通项公式12
2)5
2
(4)
5
2
(5---⋅=n n n a ，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项
为第y 项，则x+y 等于 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．已知函数)()2())((x f x f R x x f y =+∈=满足且当2
)(]1,1[x x f x =-∈时，则
x y x f y 7log )(==与的图象的交点个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上. 13．一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：㎝），则该几何体的表面积是 ，
体积是 .
14．将正奇数按一定规律填在5列的数表中，
则第252行，第3列的数是 .
15．过抛物线0)0(22=+->=m my x p px y 的焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，且
△OAB （O 为坐标原点）的面积为46,22m m +则= .
16．已知函数f （x ）满足：)
3()4()2()1()2()1(,3)1(),
()()(22f f f f f f f q f p f q p f ++
+==+则+ =+++++)
9()
10()5()7()8()4()5()6()3(222f f f f f f f f f .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，关于x 的方程)(02222b c a b x b c ax >>=---的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积.7,310==c S
（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求a 、b 的值. 18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为4的正方形，S 在底面上的射影O 落在正方形ABCD 内，且O 到AB 、AD 的距离分别为2和1. （Ⅰ）求证：SC AB ⋅是定值；
（Ⅱ）已知P 是SC 的中点，且SO=3，问在棱SA 上是否存在一点Q ，使异面直线OP
与BQ 所成的角为90°？若存在，请给出证明，并求出AQ 的长，若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足)2(02,2
1
11≥=+=-n S S a a n n n （Ⅰ）判断}1
{
n
S 是否为等差数列？并证明你的结论； （Ⅱ）求S n 和a n
（Ⅲ）求证：.4121 (2)
2
22
1n
S S S n -≤+++ 20．（本小题满分12分）
设21,x x 是函数)0(2
3)(22
3>-+=
a x a x
b x a x f 的两个极值点，且2||||21=+x x （Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）求证：9
3
4||≤
b . 21．（本小题满分12分）
甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f （x ）、g （x ），当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f （x ）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g （x ）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

（Ⅰ）试解释20)0(,10)0(==g f 的实际意义； （Ⅱ）设20)(,104
1
)(+=+=
x x g x x f ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？
22．（本小题满分14分）
椭圆G ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），M 是椭圆上的
一点，且满足.021=⋅F F （Ⅰ）求离心率e 的取值范围；
（Ⅱ）当离心率e 取得最小值时，点N （0，3）到椭圆上的点的最远距离为).(25i 求此
时椭圆G 的方程；（ⅱ）设斜率为k （k ≠0）的直线l 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点Q P 、)3
3
,0(的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由.
参考答案
一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D
二、填空题：
13．123
cm π 14．2011 15．2 16．30 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）设02,22221=---b x b c ax x x 为方程的两根
则a
b c x x 2
2212-=+
a
b
x x -=
⋅21……………………………………………………………………2分 44)(44)()(2
22212
212
21=+-=-+=-∴a b
a
b c x x x x x x ab c b a =-+∴222………………………………………………………………4分
又ab c b a C 2cos 2
22-+=
2
1cos =
∴C ︒=∴60C ……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由310sin 2
1
==C ab S
40=∴ab ①………………………………………………………………8分
由余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
即：)60cos 1(2)(2
2
︒+-+=ab b a c
)2
1
1(402)(722+⨯⨯-+=∴b a
13=+∴b a ②……………………………………………………10分
由①②得：a=8，b=5 ……………………………………………………12分
18．解证：（Ⅰ）在△SDC 内，作SE ⊥CD 交CD 于E ，连结OE.……………………1分
∵SO ⊥平面ABCD ， ∴SO ⊥CD ∵CD 平面SOE ∵CD ⊥OE ∴OE//AD
∴DE=1，从而CE=3
12||||cos |||==∠=⋅=⋅SCD DC SC AB ⋅∴是定值.
（Ⅱ）以O 为坐标原点，以OS 所在直线为Oz 轴， 以过O 且平行于AD 的直线为Ox 轴，以过O 且平 行于AB 的直线为Oy 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系.………………………………7分 于是，A （2，－1，0），B （2，3，0），C （－2，3，0）， S （0，0，3），)2
3
,23,
1(-=P ………………8分 设点Q （x ，y ，z ），则存在AS AQ λλ=使（这是关键！将点的坐标用一个变量表示） 即)3,1,2(),1,2(-=+-λz y x ，
得⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-λλλλλλ31223122z y x z y x 即………………………………10分 令068)3,4,2()2
3
,23,1(=-=--⋅-=⋅λλλλBQ OP 得4
3
=
λ…………………………………………………………11分 由144
3
||43||),49,41,21(10=
=-<<Q SA Q 上，且在棱知，点λ ……………………………………………………………………12分 19．解证：（Ⅰ）21
2
1
1
11=∴
=
=S a S ………………………………1分 当n ≥2时，1112----=--=n n n n n n n S S S S S S a 即………………2分
2111
=-∴
-n n S S 故}1
{
n
S 是以2为首项，以2为公差的等差数列.…………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
n
S n n S n n 21
,22)1(21=
=⋅-+=…………………5分 当n ≥2时，)
1(21
21--
=-=-n n S S a n n n …………………………6分
当n=1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==∴=)2()
1(21)1(2
1
211n n n n a a n ………………8分
（Ⅲ）1°当n=1时，1
4121412
1⨯-==
S 成立…………………………9分 2°假设n=k 时，不等式成立，即k
S S S k 4121 (2)
2221-≤+++成立
则当n=k+1时，2
2
122221)1(41
4121...++
-≤
+++++k k S S S S k k 222)1(1
4121])1(11[4121+++⋅
-=+--=k k k k k k )
1(41
21)1(41212+-
=++⋅-<k k k k k 即当n=k+1时，不等式成立
由1°，2°可知对任意n ∈N *不等式成立. （Ⅲ）另证：2
222
2
22
141...34124141...n S S S n ⨯++⨯+⨯+=
+++ ))1(1...3212111(41)1...31211(41222n
n n
-++⨯+⨯+≤++++=
.4121)111...31212111(41n
n
n -=--++-+-+=
20．解证：（I ）易得2
2
'
)(a bx ax x f -+=…………………………………………1分
)(,21x f x x 是 的两个极值点
0)(,'21=∴x f x x 是的两个实根，又a ＞0
a
b
x x a x x -=+<-=2121,0……………………………………………………3分
∴a a
b x x x x 4||||||2
2
2121+=-=+ ∵2||||21=+x x
)1(44444232222
a a a a
b a a
b -=-==+∴，即 1002≤<∴≥a b ……………………………………………………7分
（Ⅱ）设,44)(322a a a g b -==则
)32(4128)(2'a a a a a g -=-=
由13
2
0)(,320,0)(''
≤<<<
<>a a g a a g 得由得 )13
2
()320()(，在单调递增，在，在a g ∴上单调递增………………10分
27
16
)32()]([max ==∴g a g
9
3
4≤
∴b ………………………………………………12分 21．解：（I ）f （0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败
风险，至少要投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。

………………………………4分
（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当
⎪⎩
⎪
⎨⎧
+=≥+=≥)2(..........20)()1.......(1041)(y y g x x x f y 成立，双方均无失败的风险……………………8分
由（1）（2）得060410)20(4
1
≥--⇒++≥
y y y y
0)154)(4(≥+-∴y y
2420420,1640
154=+≥+≥≥⇒≥∴>+y x y y y
1624min min ==y x
答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。

……………………………………………………………………………………12元
22．解：（I ）设M （x 0，y 0）
1220220=+∴∈b
y a x G M ① 又0),(),(0000021=-⋅+∴=⋅y c x y c x F F ②……………………2分 由②得2022
0x c y -=代入①式整理得 )2(22
2
2
0c a a x -= 又222
2
22
0)2(00a c a a a x ≤-≤∴≤≤ 解得10,2
121)(22<<≥≥e e a c
又即 )1,2
2[∈∴e ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）（i ）当122222
22=+=b
y b x G e 方程为：时，设椭圆 设H （x ，y ）为椭圆上一点，则
b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222
若096||,32
2++-=<<b b HN b y b 有最大值时，则当 由25350962±-==++b b b 得（舍去）…………………………6分
若b ≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b 2+18
由2b 2+18=50得b 2=16
∴所求椭圆方程为116
322
2=+y x ……………………………………8分 （ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0），则由
02116
32116320022222121=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+ky x y x y x 两式相减得 ③ 又直线PQ ⊥直线l ∴直线PQ 方程为3
31+-=x k y 将点Q （x 0，y 0）代入上式得，3
3100+-=x k y ④………………11分 由③④得Q )3
3,332(-k …………………………………………12分 （解1）而Q 点必在椭圆内部 116
322020<+∴y x 由此得0,2
472≠<k k 又 2
9400294<<<<-∴k k 或 故当)294,0()0,294(⋃-
∈k 时A 、B 两点关于点P 、Q 的直线对称.…………14分 （解2）∴AB 所在直线方程为)3
32(33k x k y -=+ 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+116
32)332(3322y x k x k y 得 032)21(32)21(334)21(22222=-+++-
+k x k k x k
显然1+2k 2≠0 而]32)21(3
2)[21(4)]21(334[22222-++-+-=∆k k k k ]32)21(32)[21(422-++-=k k
直线l 与椭圆有两不同的交点A 、B ∴△＞0 解得0,2
472≠<k k 又 2
9400294<<<<-∴k k 或 故当)294,0()0,294(⋃-
∈k 时，A 、B 两点关于点P 、Q 的直线对称。

…………………………………………………………………………14分 （ii ）另解；设直线l 的方程为y=kx+b 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=116
322
2y x b kx y 得 (*)03224)21(222=-+++b kbx x k
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0），则
200221021,2122k
b b kx y k bk x x x +=+=+-=+=
③……………………9分 又直线PQ ⊥直线l ∴直线PQ 方程为3
31+-=x k y 将点Q （x 0，y 0）代入上式得，3
3100+-=x k y ④………………10分 将③代入④)21(3
32k b +-=⑤…………………………………………11分 ∵x 1，x 2是（*）的两根
08)21(168)322)(21(4)4(22222≥-+⨯=-+-=∆∴b k b k kb ⑥……12分
⑤代入⑥得0,2
472≠<k k 又 ∴当)2
94,0()0,294(⋃-∈k 时，A 、B 两点关于点P 、Q 的直线对称。

…………………………………………………………………………14分。