旋转环形阱中玻色爱因斯坦凝聚平面波解的动力学研究
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互 作用 项 （） ， 为相 互作用 常数 ） ． 该 方程具 有 如下形 式 的平 面 波解
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ３ —１ ０ ； 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ７ —１ ８
基金项 目： 湖南省教育厅科 学研 究项 目（ １ ３ Ｃ ８ ８ １ ） ； 湘南学院科研项 目（ ［ ２ ０ １ ２ ］ １ ２ ６— ４ ８ ， ２ ０ １ １ Ｙ Ｚ ０ ２ ， ２ ０ １ ０ Ｙ ０ ６ ４ ）
邓海明 ， 金
（ １ ． 湘 南学 院 物 电 系 ， 湖 南 郴州
摘
桂。 ， 陈亚琦 ， 李 璋
４ ２ ３ ０ ０ ０； ２ ． 资 兴市立 中学 ， 湖南 郴州 ４ ２ ３ ４ ０ ０ Ｊ
要 ：详细计算 了环形阱 中单分 量 Ｂ Ｅ Ｃ平面波解的波 戈留波夫激发 ， 得到 了精确的激发谱 ． 分析 了平 面波稳 定的参
２ 旋 转 环 形 阱 系统 及 平 面 波解 的 波 戈 留 波夫 激 发
我们研究 的系统是 一个无 量纲 化 了的 Ｇ Ｐ方程
３ ， １２ ， １
ｉ
：一
＋２ ｉ ｉ ２ ＋Ｑ ２ ＋２ ｚ Ｏ ＂ Ｉ Ｉ
（ １ ）
其中 一 ３ ０ ２ 为动能项 ， ２ Ｑ 为由旋转引起的角动量项（ Ｑ为环形阱旋转的角速度） ， ２ 丌 ） ， Ｉ Ｊ 为原子间相
＝
∑（ ～ ＋ ： ｅ ～ ｎ ） ・ ｅ 一
作者简 介： 邓海明（ １ ９ ８ １ 一） ， 女， 湖 南衡 阳人 ， 讲师 ， 在读博 士， 研究方向 ： 冷原子物理 ．
・
ｌ Ｏ ・
邓海明等 ： 旋转环 形阱 中玻 色２ ）
其 中 ＝ （ Ｑ 一． ， ） ＋ ） ， 为 系统 的化学 势 ， 化学 势 为最低 的态 是体 系 的基态 ， 所 以当环 形 阱旋 转 的角 速度 发生 变化时 ， 系统基态将是不一样的 ， 具体体现平面波角量子数 ． ， 的取值上 ． 当 一０ ． ５＜Ｑ＜０ ． ５ 时， Ｊ 取零为基态 ； 当 一１ ． ５＜Ｑ ＜一０ ． ５ 时， Ｊ 取１ 为基态 ； 当０ ． ５＜Ｑ ＜１ ． ５ 时， Ｊ 取一 １ 为基态 ． 依次类推 ． 那么该平面波解的稳定性如何 ， 在什么参数 区域是稳定 的， 在什 么参数区域是不稳定 的呢？我们用波戈 留波夫分析方法进行研究 ． 接下来将详细介绍此方法 ， 并给出具体推导 ． 将Ｂ Ｅ Ｃ凝聚体所受到的量子扰动假定为如下形式
２ ０ １ ３ 年 ｌ ０月
湘南学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｘ ｉ ａ ｎ ｇ ｎ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｏｃ ｔ ． ． ２ ０ｌ ３
第３ ４卷第 ５ 期
Ｖ ｏ １ ． ３ ４ Ｎ ｏ ． ５
旋 转 环形 阱 中玻 色 爱 因斯 坦 凝 聚 平 面波 解 的动 力学 研 究
数 区域 ， 发现 可通过调 节原子 间的相互作 用强度来控制平面波的动力学稳 定性 与不稳 定性 ， 并对理论 推导结果进 行 了
数值模拟验证 ．
关键词 ： 玻 色一 爱因斯坦凝聚 ；波戈留波夫激发 ；动力学 中图分类号 ： ０ ４ ６ ９ 文献标识码 ： Ａ Ｉ Ｘ ） Ｉ ：ｔ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｊ ｓ ｓ ． ． １ ６ ７ ２ —８ １ ７ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ５ ． ０ ０ ３
１ 引 言
我们知 道在 低温 下玻 色 一爱 因斯坦 凝 聚（ Ｂ Ｅ Ｃ ） 原 子大 都 凝 聚到 同一 最 低 的能 量 量 子态 ＿ Ｊ ］ ， 而 很多 情 况 下 我们 也忽 略凝 聚 体原 子数 的变化 而认 为 它是 恒 定不 变 的 ． 但 是在 实 际 的系统 中 ， Ｂ Ｅ Ｃ原 子 的耗散 是不 可 避 免 的． 那 么在 不考 虑耗散 的体 系 中 ， 我们可 以将 它视 为对 Ｂ Ｅ Ｃ的量子 扰动 ， 而这种 扰动对 凝 聚态量 子态 的影 响 可 以用 波戈 留波夫 激发 的方法进 行研 究 ＿ Ｉ Ｊ ＿ ． 波戈 留波 夫 分析 方法 是 研究 系 统 动力 学 的 一种 基本 方法 ， 可 用来 对系统 进行 稳定性 分析 ． 应用 波戈 留波夫 分析 方法 ， 人们对 许 多系统 进行 了探 讨 和研究 ， 也 发 现 了许 多 的有趣 现象 ． 如调 节不稳 定性 ＿ ３ Ｊ ， 由不 稳定性 引发 超流 一绝缘 跃迁 ｌ ４ ｌ ， 孤子 的产 生 等 ． 旋 转环形 阱中 的 Ｂ Ｅ Ｃ系统是 人们 近年来 非 常 感兴 趣 的问题 ． 该 阱 的实验 实 现 更 是 激发 了人 们 对 它 的 关注 ． 人们 已经讨 论过 了单分 量 Ｂ Ｅ Ｃ系统 中旋转 引起平 面波 到孤子解 的量子相 变 ｌ ７ ］ ， 两分 量 Ｂ Ｅ Ｃ系 统 的旋转 反应 Ｉ ８ Ｊ ， 两个共 轴 的上下 分布 的旋转 环形 阱 Ｂ Ｅ Ｃ原 子 的选 择性激 发 ＿ ９ ］ ． 我们 研究 的系统与 文献 【 ７ 的系统 是一样 的 ． 但 是他 们 研究 的重 点是 平 面波 解 到 孤子 解 的量 子 相 变 ． 而我 们研究的重点是平面波解的稳定性理论分析和数值模拟 ， 文中给出了该系统平面波解波戈 留波夫激发 的详 细 计算过程 ， 这为对此方法感兴趣 的人提供 了不可多得的一手资料 ， 同时我们 的数值模拟又对理论分析给出了 有 利佐 证 ， 这 也是 他们 的工作 中所 未涉及 之处 ． 本文 主要 由以下几 个部分 组成 ． 第一 部分 为引 言 ； 第二 部分 为系 统 的介 绍 和波 戈 留波 夫分 析 ； 第 三部 分 为 数 值模 拟 ； 第 四部 分为 结论 ．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ３ —１ ０ ； 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ７ —１ ８
基金项 目： 湖南省教育厅科 学研 究项 目（ １ ３ Ｃ ８ ８ １ ） ； 湘南学院科研项 目（ ［ ２ ０ １ ２ ］ １ ２ ６— ４ ８ ， ２ ０ １ １ Ｙ Ｚ ０ ２ ， ２ ０ １ ０ Ｙ ０ ６ ４ ）
邓海明 ， 金
（ １ ． 湘 南学 院 物 电 系 ， 湖 南 郴州
摘
桂。 ， 陈亚琦 ， 李 璋
４ ２ ３ ０ ０ ０； ２ ． 资 兴市立 中学 ， 湖南 郴州 ４ ２ ３ ４ ０ ０ Ｊ
要 ：详细计算 了环形阱 中单分 量 Ｂ Ｅ Ｃ平面波解的波 戈留波夫激发 ， 得到 了精确的激发谱 ． 分析 了平 面波稳 定的参
２ 旋 转 环 形 阱 系统 及 平 面 波解 的 波 戈 留 波夫 激 发
我们研究 的系统是 一个无 量纲 化 了的 Ｇ Ｐ方程
３ ， １２ ， １
ｉ
：一
＋２ ｉ ｉ ２ ＋Ｑ ２ ＋２ ｚ Ｏ ＂ Ｉ Ｉ
（ １ ）
其中 一 ３ ０ ２ 为动能项 ， ２ Ｑ 为由旋转引起的角动量项（ Ｑ为环形阱旋转的角速度） ， ２ 丌 ） ， Ｉ Ｊ 为原子间相
＝
∑（ ～ ＋ ： ｅ ～ ｎ ） ・ ｅ 一
作者简 介： 邓海明（ １ ９ ８ １ 一） ， 女， 湖 南衡 阳人 ， 讲师 ， 在读博 士， 研究方向 ： 冷原子物理 ．
・
ｌ Ｏ ・
邓海明等 ： 旋转环 形阱 中玻 色２ ）
其 中 ＝ （ Ｑ 一． ， ） ＋ ） ， 为 系统 的化学 势 ， 化学 势 为最低 的态 是体 系 的基态 ， 所 以当环 形 阱旋 转 的角 速度 发生 变化时 ， 系统基态将是不一样的 ， 具体体现平面波角量子数 ． ， 的取值上 ． 当 一０ ． ５＜Ｑ＜０ ． ５ 时， Ｊ 取零为基态 ； 当 一１ ． ５＜Ｑ ＜一０ ． ５ 时， Ｊ 取１ 为基态 ； 当０ ． ５＜Ｑ ＜１ ． ５ 时， Ｊ 取一 １ 为基态 ． 依次类推 ． 那么该平面波解的稳定性如何 ， 在什么参数 区域是稳定 的， 在什 么参数区域是不稳定 的呢？我们用波戈 留波夫分析方法进行研究 ． 接下来将详细介绍此方法 ， 并给出具体推导 ． 将Ｂ Ｅ Ｃ凝聚体所受到的量子扰动假定为如下形式
２ ０ １ ３ 年 ｌ ０月
湘南学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｘ ｉ ａ ｎ ｇ ｎ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｏｃ ｔ ． ． ２ ０ｌ ３
第３ ４卷第 ５ 期
Ｖ ｏ １ ． ３ ４ Ｎ ｏ ． ５
旋 转 环形 阱 中玻 色 爱 因斯 坦 凝 聚 平 面波 解 的动 力学 研 究
数 区域 ， 发现 可通过调 节原子 间的相互作 用强度来控制平面波的动力学稳 定性 与不稳 定性 ， 并对理论 推导结果进 行 了
数值模拟验证 ．
关键词 ： 玻 色一 爱因斯坦凝聚 ；波戈留波夫激发 ；动力学 中图分类号 ： ０ ４ ６ ９ 文献标识码 ： Ａ Ｉ Ｘ ） Ｉ ：ｔ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｊ ｓ ｓ ． ． １ ６ ７ ２ —８ １ ７ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ５ ． ０ ０ ３
１ 引 言
我们知 道在 低温 下玻 色 一爱 因斯坦 凝 聚（ Ｂ Ｅ Ｃ ） 原 子大 都 凝 聚到 同一 最 低 的能 量 量 子态 ＿ Ｊ ］ ， 而 很多 情 况 下 我们 也忽 略凝 聚 体原 子数 的变化 而认 为 它是 恒 定不 变 的 ． 但 是在 实 际 的系统 中 ， Ｂ Ｅ Ｃ原 子 的耗散 是不 可 避 免 的． 那 么在 不考 虑耗散 的体 系 中 ， 我们可 以将 它视 为对 Ｂ Ｅ Ｃ的量子 扰动 ， 而这种 扰动对 凝 聚态量 子态 的影 响 可 以用 波戈 留波夫 激发 的方法进 行研 究 ＿ Ｉ Ｊ ＿ ． 波戈 留波 夫 分析 方法 是 研究 系 统 动力 学 的 一种 基本 方法 ， 可 用来 对系统 进行 稳定性 分析 ． 应用 波戈 留波夫 分析 方法 ， 人们对 许 多系统 进行 了探 讨 和研究 ， 也 发 现 了许 多 的有趣 现象 ． 如调 节不稳 定性 ＿ ３ Ｊ ， 由不 稳定性 引发 超流 一绝缘 跃迁 ｌ ４ ｌ ， 孤子 的产 生 等 ． 旋 转环形 阱中 的 Ｂ Ｅ Ｃ系统是 人们 近年来 非 常 感兴 趣 的问题 ． 该 阱 的实验 实 现 更 是 激发 了人 们 对 它 的 关注 ． 人们 已经讨 论过 了单分 量 Ｂ Ｅ Ｃ系统 中旋转 引起平 面波 到孤子解 的量子相 变 ｌ ７ ］ ， 两分 量 Ｂ Ｅ Ｃ系 统 的旋转 反应 Ｉ ８ Ｊ ， 两个共 轴 的上下 分布 的旋转 环形 阱 Ｂ Ｅ Ｃ原 子 的选 择性激 发 ＿ ９ ］ ． 我们 研究 的系统与 文献 【 ７ 的系统 是一样 的 ． 但 是他 们 研究 的重 点是 平 面波 解 到 孤子 解 的量 子 相 变 ． 而我 们研究的重点是平面波解的稳定性理论分析和数值模拟 ， 文中给出了该系统平面波解波戈 留波夫激发 的详 细 计算过程 ， 这为对此方法感兴趣 的人提供 了不可多得的一手资料 ， 同时我们 的数值模拟又对理论分析给出了 有 利佐 证 ， 这 也是 他们 的工作 中所 未涉及 之处 ． 本文 主要 由以下几 个部分 组成 ． 第一 部分 为引 言 ； 第二 部分 为系 统 的介 绍 和波 戈 留波 夫分 析 ； 第 三部 分 为 数 值模 拟 ； 第 四部 分为 结论 ．