高二数学上学期第一次段考试题 理

寻乌中学2021-2021学年高二数学上学期第一次段考试题 理
〔考试时间是是：120分钟，试卷满分是：150分。

〕
考前须知：
1．在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写上在答题卡上。

一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

〕
1．过点〔1，0〕且与直线210x y -+=垂直的直线方程是〔 〕
A ．210x y ＝
B ．210x y ＝
C ．210x y +-＝
D ．220x y ＝
2．假如一个程度放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，上底为1，的等腰梯形，那么面图形的面积是〔 〕
A ．
2
B ．
C ．
D ．3．等差数列{}n a 的公差为2，假设134,,a a a 成等比数列，那么2a =〔 〕 A ．4-
B ．6-
C ．8-
D ．10-
4．点A (－4，－5)，B (6，－1)，那么以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝29 B ．(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝29 C ．(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝116 D ．(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝116
5．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，以下判断正确的选项是( )
A ．假设a ∥α，b ∥α，那么a ∥b
B ．假设b a ⊥，c a ⊥，那么b ∥c
C ．假设a α⊥，a ∥β，那么⊥αβ
D ．假设a α⊂，⊂b β，
α∥β，那么a ∥b
6．,x y 都是正数,且21
1x y
+=，那么x y +的最小值等于( )
A ．6
B ．42
C ．322+
D ．422+
7．如下图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,假设点E 为A 1C 1上的一点,那么直线CE 一定垂直于( )
A.AC
B.BD
C.A 1D
D.A 1D 1
8．P 是圆O :x 2
+y 2
=1上的动点,那么点P 到直线l :x+y-2=0的间隔 的最小值为( )
A .1
B .
C .2
D .2
9．我国古代?九章算术?将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，那么该刍童的外表积为〔 〕
A ．40322+
B ．72
C ．4082+
D ．32
10．圆C :(x-3)2
+(y-4)2
=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).假设圆C 上存在点P ,使得∠
APB=90°,那么m 的最大值为( )
A .7
B .6
C .5
D .4
11．某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，那么在此圆柱侧面上，从A 到C 的途径中，最短途径的长度为〔 〕
A ．210
B ．25
C ．3
D ．2
12．圆C ：〔x ﹣2〕2+y 2
＝2，直线l ：y ＝kx ﹣2．假设直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线11，l 2，使得l 1⊥l 2，那么实数k 的取值范围是〔 〕 A ．[0，2
〕∪〔2
，+∞〕
B ．[2]
C ．〔﹣∞，0〕
D ．[0，+∞〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

〕 13．空间两点
()()
1,2,4,1,1,2---M N 间的间隔 为_______．
14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin 31
2
A B a b ==，那么
22
+-=_______.
a c ac
15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD; ②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°角; ④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是.
16．球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，那么棱锥S－ABC的体积为．
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

〕
17．〔此题10分〕据说伟大的阿基米德逝世后，敌HY 将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如下图的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
〔1〕试计算出图案中球与圆柱的体积比；
〔2〕假设球半径10r cm =．试计算出图案中圆锥的体积和外表积.
18.〔此题12分〕()()33cos22sin πsin π2f x x x x ⎛⎫
=++-
⎪⎝⎭
. (1)求函数()f x 最小正周期及其图象的对称轴方程;
(2)锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()3,3f A a =-=,求ABC ∆周长的最大值．
19．〔此题12分〕如图,以点A (-1,2)为圆心的圆与直线l 1:x+2y+7=0相切.过点B (-2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点,Q 是MN 的中点.
(1)求圆A 的方程; (2)当|MN|=2时,求直线l 的方程.
20．〔此题12分〕等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． 〔1〕求{}n a 的通项公式n a ；
〔2〕数列{}n b 满足()*
1+-=∈n n n b b a n N 且13=b ，求1⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n b 的前n 项和n T ．
21．〔此题12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
〔1〕求证：平面PAB∥平面EFG；
〔2〕在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．
22．〔此题12分〕在如下图的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，
∠的平分线上。

BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在ABC
〔1〕求证：DE//平面ABC；
〔2〕求二面角E—BC—A的余弦；
〔3〕求多面体ABCDE的体积。

数学〔理科〕试题参考答案
13．3
14．3 15．①②④
16．
17．解:⑴设球的半径为r ，那么圆柱底面半径为r ，高为
2r
∴
球的体积3
143
V r π=
；圆柱的体积23222V r r r ππ=⋅= ∴球与圆柱的体积比为：3132423
3
2==r
V
V r ππ ……5分 〔2〕由题意可知：圆锥底面半径为10r cm =，高为220r cm =
∴圆锥的母线长：
l === ∴圆锥体积：233122000
210333
V r r cm πππ=⋅=⨯=
圆锥外表积：(2
2
1001001=+=+=+S r rl cm ππππ
……10分 18．解:(1) ()f x ()3
2sin πsin π2x x x ⎛⎫
++-
⎪⎝⎭
2cos sin x
x x -= sin2x x -=π2cos 26x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ ……4分
所以2π
π2
T ==, 令()π2π6x k k +
=∈Z ,解得()ππ212
k x k =-∈Z , 所以函数()f x 图象的对称轴方程为()ππ
212
k x k =-∈Z . ……6分
(2)由(1)可得()π2cos 26f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭即πcos 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
, 因为π02A <<
,所以ππ7π
2666
A <+<,
所以π5π266A +
=, 所以π
3
A =． ……8分 由余弦定理可知
2a =222cos b c bc A +-= 22
b c bc +-=()()2
2
2
332b c b c bc b c +⎛⎫+-≥+- ⎪⎝⎭
=
()2
4b c +, 当且仅当b c =时等号成立.
于是26b c a +≤=.故ΔABC 周长的最大值为9. ……12分 19．解：(1)设圆A 的半径为R ,
由于圆A 与直线l 1:x+2y+7=0相切,
∴R==2. ……3分
∴圆A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. ……5分
(2)①当直线l 与x 轴垂直时,易知x=-2符合题意; ……7分
②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y=k (x+2),即kx-y+2k=0.
如图,连接AQ ,那么AQ ⊥MN.
∵|MN|=2,∴|AQ|==1.
那么由|AQ|==1, 得k=, ……10分
∴直线l 为3x-4y+6=0.
故直线l 的方程为x=-2或者3x-4y+6=0. ……12分
20．解：〔1〕等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． 可得14632a d +=，11378221a d +=， ……2分 解得15a =，2d =， ……4分 可得()21253n n n a +-=+=； ……6分 〔2〕由123n n n b b a n +-==+，
可得()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋯+- 135721(24)(2)2n n n n n =+++⋯++=+=+， ……8分 111122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
， ……9分 那么前n 项和11111111111232435
112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭
13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭． ……12分
21．解：〔1〕∵△PCD 中，E 、F 分别是线段PC 、PD 的中点，∴EF ∥CD ，
又∵四边形ABCD 为正方形，得AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，
∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ．……3分
同理可证：EG ∥平面PAB ， ……5分
∵EF ∩EG ＝E ， ∴平面PAB ∥平面EFG ； ……6分
〔2〕Q 为线段PB 中点时，PC ⊥平面ADQ ．证明如下 ……7分
取PB 中点Q ，连结DE 、EQ 、AQ ，
由于EQ ∥BC ∥AD ，且AD 、QE 不相等，所以ADEQ 为梯形，
由PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，得AD ⊥PD ，
∵AD ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PDC ，
∵PC ⊂平面PDC ，∴AD ⊥PC ， ……10分
∵△PDC 为等腰直角三角形，E 为斜边中点，∴DE ⊥PC ，
∵AD 、DE 是平面ADQ 内的相交直线， ∴PC ⊥平面ADQ ． ……12分
22．解：〔1〕由题意知， ,ABC ACD ∆∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，那么,BO AC DO AC ⊥⊥
平面ACD ⊥平面ABC
DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，
那么EF//DO ，根据题意，点F 落在BO 上，
60EBF ∴∠=︒，易求得3EF DO == 所以四边形DEFO 是平行四边形，DE//OF ； DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ……4分
〔2〕作FG ⊥BC ，垂足为G ，连接FG ；
EF ⊥平面ABC ，根据三垂线定理可知，EG ⊥BC
EGF ∴∠就是二面角E —BC —A 的平面角 1sin 2
FG BF FBG -⋅∠- 22133,2EF EG EF FG =∴=-=
13cos 13FG EGF EG ∴∠=
= 即二面角E —BC —A 的余弦值为13.13
……8分 〔3〕
平面ACD ⊥平面ABC ，OB ⊥AC
OB ∴⊥平面ACD ；又//DE OB DE ∴⊥平面DAC ，∴三棱锥E —DAC 的体积
111333(31)333
BAC V S DE ∆-=⋅=⋅⋅-= 又三棱锥E —ABC 的体积
21133133
ABC V S EF ∆=⋅=⋅⋅=
∴多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2……12分。