陕西省高二下学期梯度强化训练月考(一)数学(文)试题(解析版)

高二下学期梯度强化训练月考（一）数学（文）试题
一、单选题
1．若复数，则在复平面内对应的点位于 3z i =-z A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【详解】复数在复平面内对应的点是，在第四象限，故选D.
()3,1-2．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足
2'()2x x =4'3()4x x ='(cos )sin x x =-R ()f x ，记为的导函数，则=
()()f x f x -=()g x ()f x ()g x -A ． B ． C ． D ．
()f x ()f x -()g x ()g x -【答案】D
【详解】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，()f x ()()g x f x '=所以，应选答案D ． ()()g x g x -=-
3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是（ ） A ．① B ．② C ．①② D ．③
【答案】B
【分析】利用三段论判断.
【详解】三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，
易得①是大前提，②是小前提，③是结论， 故选：B 4．计算：（ ） 1i
1i
+=-A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算可求得答案.
【详解】解：， ()()()2
1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2
++===--+故选：C.
5．下列可作为四面体的类比对象的是（ ） A ．四边形 B ．三角形
C ．棱锥
D ．棱柱
【答案】B
【分析】根据类比推理直接得到答案.
【详解】因为类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其他属性也相同的推理.所以可作为四面体的类比对象的是三角形. 故选：B
6．把两条直线的位置关系填入结构图中的M 、N 、E 、F 中，顺序较为恰当的是 ①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交．
A ．①②③④
B ．①④②③
C ．①③②④
D ．②①③④
【答案】C
【详解】相交包含垂直与斜交,所以选C.
7．命题“对于任意角θ，”的证明：“
44cos θsin θcos 2θ-=”，
()()
44222222cos θsin θcos θsin θcos θsin θcos θsin θcos 2θ-=-+=-=其过程应用了 A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．间接证法
【答案】B
【分析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，属于综合法，即可得到结论． 【详解】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B ．
【点睛】本题主要考查了综合法的证明过程，其中解中正确理解综合法证明的基本过程，合理进行判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
35
11059
25
【答案】C
【详解】试题分析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，
故第二次也取到新球的概率为
5
9
【解析】古典概型概率
9．下面几种推理过程中属于演绎推理的是（ ）
A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠
B 是两条平行直线的同旁内角，则 180A B ∠+∠=︒B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C ．由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和
D ．在数列中，，，由此归纳出的通项公式
{}n a 11a =()111122n n n a a n a --⎛⎫
=+≥ ⎪⎝⎭
{}n a 【答案】A
【分析】由归纳推理以及演绎推理的定义判断即可.
【详解】“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，则A 的推理过程为演绎推理，BCD 的推理过程都是归纳推理. 故选：A
10．根据如下样本数据，得到回归方程，则 ˆy
bx a =+()
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0
2.5
0.5-0.5
2.0-
3.0-A ．， B ．， 0a >0b <0a >0b >C ．， D ．，
a<00b >a<00b <【答案】A
【解析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，、的符号． b a 【详解】解：样本平均数，，
345678 5.56x +++++=
=4 2.50.50.523
0.256
y +-+--==，，， ∴6
1
()()24.5i i i x x y y =--=-∑6
21
()17.5i i x x =-=∑24.5
1.417.5
b ∴=-
=-，
0.25( 1.4)5.57.95a ∴=--=A 故选：．
A
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题． 11．如图所示的程序框图，该程序框图输出的结果是（ ）
A ．25
B ．50
C ．125
D ．250
【答案】C
【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】由于，，不满足，则，； 1a =1S =3a >155S =⨯=2a =不满足，则，； 3a >5525S =⨯=3a =不满足，则，； 3a >255125S =⨯=4a =满足，输出125， 3a >故选：C.
12．下面给出了关于复数的四种类比推理：
① 复数的加减法运算法则，可以类比多项式的加减法运算法则；
② 由向量的性质，可以类比得到复数的性质；
a
22a a = z 2
2z
z =③ 方程（a 、b 、c ∈ R ）有两个不同实根的条件是, 类比可以得到 方20ax bx c ++=240b ac ->程（a 、b 、c ∈ C ）有两个不同复数根的条件是； 20a z b z c ++=240b ac ->④ 由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比得到的结论不正确的是（ ） A ．① ③ B ．② ④
C ．② ③
D ．① ④
【答案】C
【详解】试题分析：解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确,由向量a
的性质|
2类比得到复数z 的性质|z|2=z 2，这两个长度的求法不是通过类比得到的．故②不正确，
22a a =
③方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c ∈R ）有两个不同实数根的条件是b 2-4ac ＞0，可以类比得到方程az 2+bz+c=0（a ，b ，c ∈C ）有两个不同复数根的条件是b 2-4ac ＞0，数的概念推广后，原有的概念在
新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故合理错误；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，②③是错误的,故答案为：②③ 【解析】类比推理
点评:本题考查类比推理，是一个观察几个结论是不是通过类比得到，本题解题的关键在于对于所给的结论的理解
二、填空题
13．由数列1，10，100，1000，…，猜想数列的第n 项可能是______. 【答案】
110n -【分析】由这个规律求解即可.
0123110,1010,10010,100010====【详解】，则猜想数列的第n 项可能是 0123110,1010,10010,100010====110n -故答案为： 110n -14．完成下面的三段论：
大前提：互为共轭复数的乘积是实数 小前提：与是互为共轭复数 i x y +i x y -结论：_____．
【答案】(x ＋yi)·(x －yi)是实数
【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“互为共轭复数的乘积是实数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“x+yi 与x ﹣yi 是互为共轭复数”．另外一个是结论． 【详解】由演绎推理三段论可得
“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：““（x+yi ）．（x ﹣yi ）是实数， 故答案为（x+yi ）．（x ﹣yi ）是实数．
【点睛】三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．
15．下列表述：
①综合法是执因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证法； ⑤反证法是逆推法．
正确的语句有是_____（填序号）． 【答案】①②③
【分析】根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确
【详解】根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是逆推法，属于直接证法，故③正确，④不正确．
由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确． 故答案为：①②③
16．在对两个变量x 、y 进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释； ②收集数据，，2，…，n ； (),i i x y 1i =③求线性回归方程； ④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可靠性要求能够得出变量x 、y 具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是______（填序号）．
【答案】②⑤④③①
【分析】进行回归分析的基本过程是：收集数据，绘制散点图，判断相关性，如果是线性相关，求出回归方程，并结合回归方程作出解释．据此进行判断本题．
【详解】解：进行线性回归分析一般经历以下几个过程：首先对相关数据进行收集，根据收集的数据作出散点图，根据散点图作出线性相关或非线性相关或不相关的判断，进行相关系数计算从数量角度分析，以确定相关程度大小，这样可以提高回归分析的信度．最后求出回归方程并结合方程进行实际意义说明．
故答案为：②⑤④③①．
三、解答题
17．已知复数. 1(21),z x i =++2(2)z y y i =+-（1）若，且，求和； 12z z =,x y R ∈1z 1z （2）若，且，y 为纯虚数，求. 12z z =x R ∈1z
【答案】（1）（2）
11z i =-+11z i =-+【分析】（1）直接由两复数相等的条件列式求得，值，则可求，再由复数模的个数求； x y 1z 1||z （2）设，得，再由列式求解． ()y bi b R =∈2(2)(2)z bi bi i b b i =+-=++12z z =【详解】（1）. 1(21),z x i =++ 2(2)z y y i =+-又，且，
12z z = ,x y R ∈， 210121x y x y y ⎧+==⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩
11z i ∴=-+（2）为纯虚数，设
y ()y bi b R =∈
2(2)(2)z bi bi i b b i ∴=+-=++， 211121x b x b b ⎧+==-⎧∴⇒⎨⎨=+=-⎩⎩
.
11z i ∴=-+【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，属于基础题．
18．在中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的DEF A 2222cos DE DF EF DF EF DFE =+-⋅∠余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，111ABC A B C -并证明．
【答案】，证明见解析
1111111111222
2cos AA C C ABB A BCC B ABB A BCC B S S S S S θ=+-⋅【分析】先利用类比思想得到结论，再借助余弦定理进行证明.
【详解】关系式为，
1111111111222
2cos AA C C ABB A BCC B ABB A BCC B S S S S S θ=+-⋅其中θ为侧面ABB 1A 1与侧面BCC 1B 1所成二面角的平面角．
证明如下：
如图，作斜三棱柱的直截面DFE ， 111ABC A B C -则为面与面所成二面角的平面角， DFE ∠11ABB A 11BCC B 设为θ，在中有余弦定理：
DEF A
，同乘以，
2222cos DE DF EF DF EF θ=+-⋅2
1AA 得
222222
111112cos DE AA DF AA EF AA DF AA EF AA θ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅即．
1111111111222
2cos AA C C ABB A BCC B ABB A BCC B S S S S S θ=+-⋅19．明天小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，洗脸、刷牙7分钟，煮牛奶15分钟，吃早饭10分钟，查公交线路图9分钟，给出差在外的父亲发手机短信6分钟，走到公共汽车站10分钟，等公共汽车10分钟．小强粗略地算了一下，总共需要75分钟，为了赶上7:50的公共汽车，小强决定6:30起床，不幸的是他一下子睡到7:00！请你帮小强安排一下时间，画出郊游出行前时间安排流程图，使他还能来得及参加此次郊游． 【答案】答案见解析
【分析】可以在准备早点的同时洗脸、刷牙、煮牛奶、,然后吃早饭的同时发短信，这样小强还能来得及参加此次郊游活动.
【详解】解：出行前时间安排流程图如图所示．
这样需要50分钟，刚好可以赶上7：50的公共汽车，并来得及参加此次郊游．
20．盒内装有个球，其中个是玻璃球，个是木质球．玻璃球中有个是红色的，个是蓝色1661024的；木质球中有个是红色的，个是蓝色的．现从中任取个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃371球的概率是多少？ 【答案】
411
【分析】求出任取一个球是蓝球的概率，再求出任取一个球为蓝色的玻璃球的概率，然后直接由条件概率公式求解.
【详解】由题意得球的分布如下： 玻璃 木质 总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计 6
10
16
设{取得蓝球}，{取得玻璃球}， A =B =则， ， ()1116P A =
()41
164P AB =
=∴ ()()()
1441111
16
P AB P B A P A =
==
故答案为：
411
21．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年
人，结果如下： 是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160
270
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由
附：
【答案】（1），（2）有99%的把握（3）见解析
【详解】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
（2）．
由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 22．若. ()11120,1,1,2,1n
n n
a a a a n a +>≠==+ (1)求证:； 1+≠n n a a (2)令,写出的值,观察并归纳出这个数列的通项公式； 11
2
a =
2345,,,a a a a n a (3)证明:存在不等于零的常数，使是等比数列,并求出公比的值.
p n n a p a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
q
【答案】(1)证明见解析；
(2)结论见解析；
(3)证明见解析，. 12q =
【分析】（1）根据给定条件，利用反证法推理作答.
（2）由给定的递推公式，代入依次计算，并按规律写出通项公式作答. （3）利用待定系数法，结合等比数列定义求解作答.
【详解】（1）假设，因，，则，解得或， 1n n a a +=N n *∈121+=+n n n
a a a 21n n n a a a =+0n a =1n a =于是得或，与题设矛盾，即假设是错的， 10a =11a =110,1a a >≠所以成立.
1+≠n n a a （2）因，，，则，，，， 112a =N n *∈121+=+n n n a a a 223a =345
a =489a =51617a =显然有，，，，，则， 010221a =+121221a =+232221a =+343221a =+4
54221a =+11221
--=+n n n a 由得：，即，又， 121+=+n n n a a a 1111122n n a a +=+⋅11111(1)2n n
a a +-=-1111a -=因此数列是首项为1，公比为的等比数列，，则， 1{1}n a -121111()2n n a --=11221
--=+n n n a 所以. 1
12,N 21
n n n a n -*-=∈+（3），，则， N n *∈121+=+n n n a a a ()11221221n n n n n n n n
a p p a p a p a a a a a +++++++==+又数列是等比数列，令其公比为，则， n n a p a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
q 11n n n n a p a p q a a ++++=⋅则恒成立，整理得恒成立，
()22n n n n p a p a p q a a +++=⋅()()22120n p q a p q +-+-=因此，且，解得，此时，， 220p q +-=()120p q -=11,2p q =-=
11111·2n n n n a a a a ++--=所以存在常数，使是等比数列，公比. 1p =-n n a p a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭12q =。