高中数学期中平面向量典型例题课件

（1）求 sin 和 cos 的值； （2）若 sin( )
10 , 0 ，求 tan( )的值． 10 2
例 14、(2008 江苏模拟)已知向量 a (sin , 3) , b (1, cos ) ,
( , ) .
例9． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
AB ( 1 （ 2）， 3 1） （1， 2） DC ( 3 x ,4 y ) 由 AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y )
1 1 (2) 当t = 时， OP (OA OB ) 常称 2 2
为△OAB的中线公式(向量式)．
例6. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
分析
要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b ∴AB=2 BD AB∥ BD
平面向量典型例题
题型一: 向量的基本概念
1、判断下列命题的真假； （1）直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；× （2）向量 AB 与 DC 是共线向量，则 A,B,C,D 必在同一直线上。× （3） a与b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线。
×
（4）四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB DC . （5） a = b 当且仅当| a |=| b |且 a // b ；
由切割线定理得
AM · AN AM · AN · cos0 AT 7，
2
逆向及综合运用
例16 （1）已知a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标. 3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
题型三: 向量的数乘与共线
例5.如图, OA, OB不共线, AP t AB(t R), 用OA, OB表示OP . P
解: AP t AB,
B
OP OA AP O OA t AB OA t (OB OA) (1 t )OA tOB. AP t AB OP OA t (OB OA)
题型二: 向量的加减
例2.证明对任意a、 b有： a b a b a b
证明: (1)若a， b有一个为 0, 结论显然成立。 (2)若a ， b都不为 0, 作OA a, AB b,则O B a b
b不共线时，由三角形一 边小于 ① 当a，
O 其他两边之和，大于其 他两边之差， B
A
， OP表示出来. 另解:可以试着将 AP t AB 用OA, OB
OP (1 t )OA tOB.
说明：(1) 本题是个重要题型：设O为 平面上任一点，则： A、P、B三点共线 OP (1 t )OA tOB. 或令 = 1 t， = t，则 A、P、B三点共线 OP OA OB. (其中 + = 1)
1 1 1 1 BM BC BA a b 3 6 6 6 1 1 O OM OB BM b a b 6 6
M C
N A
1 5 a b 6 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用已知向量表示未知向量 把未知向量放到某个 中

例4、 已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)， 用a、b表示c。 解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
题型四: 向量的平行垂直
例7.设非零向量 a , b不共线，c k a b,
d a k b (k R), 若 c // d ,试求 k.
解：∵ c // d , ∴由向量共线的充要条件得： c d,
即
k a b (a k b), 又∵ a , b 不共线
√
×
2、设 a 0 为单位向量， （1）若 a 为平面内的某个向量，则 a =| a |· a 0 ;(2) 若 a 与 a0 平行，则 a =| a |· a 0 ； （3）若 a 与 a 0 平行且| a |=1，则 a = a 0 。
1）（2）（3） 上述命题中，假命题个数是（ _____________
k k 1 1 k
∴由平面向量的基本定理
例8.已知向量a 1, 2 , b x,1 , 分别求出当 a 2b与2a b平行和垂直时实数x的值.
解： a 2b=（1+2x，4）, 2a b （2 x,3) 1 (a 2b) / /(2a b)时，3(1+2x)-4(2-x)=0,x= ; 2 7 (a 2b) (2a b)时，（1+2x)(2-x)+4 3=0.x=-2或x 2
例11
（A）重心 外心 垂心 （C）外心 重心 垂心
（B）重心 外心 内心 （D）外心 重心 内心
例12 例1
(1)已知a (1,2 3 ), b (1,1),
求a b， a b， a与b的夹角 .
题型六: 向量与三角函数的综合
例
例13

2 )．
已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0,
此处补充切割线定理
• （Ⅱ）证明：过点A（0,1）的圆C的一条 切线为AT，T为切点. • 因为圆C的圆心C（2,3），半径r=1， 2 2 • 所以 AC （0 2 ） （ 1 3 ） 2 2， 即 • 所以 AN为定值7. • 即 AM ·
AT AC r 7，
2 2 2
b
A
a
O A AB O B O A AB
② 若a， b同向，则 O B O A AB
a b ab a b
若a， b反向，则 O B O A AB
a、 b共线时， a b a b 或a b a b
综上所述：原命题成立
OADB中， OA a, OB b， 例 3 已知平行四边形 1 AB与OD交于C.且 | BM | | BC | ， 3 1 | CN | | CD | ，用a 、 b表示OM， ON， MN . 3 B D 解: BA OA OB a b
1 3 x 2 4 y
x 2 y 2
顶点D的坐标为（ 2， 2）
题型五: 平面向量数量积

例10

例 设两个向量 e1 、e 2 ，满足 | e1 | 2 ，| e2 | 1 ， e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2 与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
2

所以当
2 = 6 时, | a b | 的最大值为 5 ＋4=9
故 | a b | 的最大值为 3
题型七: 向量解析几何的综合
• 例15 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与 圆C：(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N两点. • (Ⅰ)求实数k的取值范围； • (Ⅱ)求证： AM · AN 为定值； ON =12，求 • (Ⅲ)若O为坐标原点，且 OM · k的值.


点评：若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝角），
则1＞a· b＞0， （-1＜a· b＜0） 反之不成立.
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ， 且 PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
2 2
(Ⅰ)若 a b ,求 ；(Ⅱ)求 | a b | 的最大值.
(Ⅰ)因为 a b ,所以 sin 解： 又 (

, ) ,所以 2 2
2
3 cos 0 , 得 tan 3 ,
=
3
2
(Ⅱ)因为 | a b | (sin 1) (cos 3) = 5 4sin( 3 )
3 4 3 4 答案： (1)b ( , )或b ( , ) 5 5 5 5
(2)( 2,2 2)或( 2, 2 2)
(3)k 5