中考数学(第02期)大题狂做系列 专题02(含解析)

2016年中考数学大题狂做系列 专题02
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数学部分说明：根据15年中考试题的数量，一共分为3期，大题狂做每期为2套。

由10道解答题组成，时间为50分钟。

1．（2015内江，第17题，7分）计算：0
2
12(2015)()2sin 60122
π----+-+o ．
【答案】53+． 【解析】
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
2．（2015眉山，第20题，6分）计算：1
121222-+÷
+--x x
x x x x ． 【答案】
1x
． 【解析】
试题分析：将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可． 试题解析：原式=
2(1)(1)1(1)(1)x x x x x x +--⋅-+=1
x
．
考点：分式的乘除法．
3．（2015南充，第19题，8分）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE =CE ．
求证：（1）△AEF ≌△CEB ； （2）AF =2CD ．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析． 【解析】
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
4．（2015宜宾，第21题，8分）如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A 、B 的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向，在小区B 的西南方向，小区
A 、
B 之间的距离为300(31)+米，求供水站M 分别到小区A 、B 的距离．（结果可保留根号）
【答案】供水站M 到小区A 的距离是600米，到小区B 的距离是3002米． 【解析】
试题分析：过点M 作MN ⊥AB 于N ，设MN =x 米，由∠BAM =30°，∠ABM =45°，AB =300(31)+米，得到
AN ，BN ，根据AN +BN =AB ，建立方程，即可求出MA 与MB 的长．
试题解析：过点M 作MN ⊥AB 于N ，设MN =x 米．在Rt △AMN 中，∵∠ANM =90°，∠MAN =30°，∴MA =2MN =2x ，AN =3MN =3x ．在Rt △AMN 中，∵∠BNM =90°，∠MBN =45°，∴BN =MN =x ，MB =2MN =2x ．∵AN +BN =AB ，∴3x x +=300(31)+，∴x =300，∴MA =2x =600，MB =2x =3002．故供水站M 到小区A 的距离是600米，到小区B 的距离是3002米．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
5．（2015绵阳，第23题，11分）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A ，B 两种矿石，A 矿石大约565吨，B 矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．
（1）设运送这些矿石的总费用为y 元，若使用甲货船x 艘，请写出y 和x 之间的函数关系式；
（2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．【答案】(1)y=100x+1200(30-x)．(2)3种方案，甲货船25艘，乙货船5艘，最低费用为31000元．【解析】
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；方案型；最值问题．
6．（2015攀枝花，第18题，6分）“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族的光荣传统，某小学校为了解本校3至6年级的3000名学生帮助父母做家务的情况，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？
（2）如果把“天天做”、“经常做”、“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么该校3至6年级学生帮助父母做家务的人数大约是多少？
（3）在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）50；（2）2250；（3）1
6
．
【解析】
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是甲与乙的情况有2种，则P =
212=16
． 考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 7．（2015遂宁，第21题，9分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234
---⨯+++-----⨯++． 令111
234
t ++=，则 原式=11
(1)()(1)55
t t t t -+---
=22
114555t t t t t +---+
=15
问题：（1）计算
1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)
2342014234520152345201420152342014
-----⨯+++++--------⨯++++； （2）解方程22
(51)(57)7x x x x ++++=． 【答案】（1）1
2015
；（2）10x =，25x =-． 【解析】
考点：换元法解一元二次方程；有理数的混合运算；换元法；阅读型；综合题． 8．（2015雅安，第22题，10分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象相交于点A （1，5）和点B ，与y 轴相交于点C （0，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）现有一直线l 与直线y kx b =+平行，且与反比例函数m
y x
=的图象在第一象限有且只有一个交点，求直线l 的函数解析式．
【答案】（1）6y x =-+，5
y x
=；（2）5y x =-+ 【解析】
试题解析：（1）∵点A （1，5）在m y x =
的图象上，∴51
m
=，解得：m =5，∴反比例函数的解析式为：5
y x =
，∵一次函数y kx b =+的图象经过A （1，5）和点C （0，6），∴56k b b +=⎧⎨=⎩
，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，
∴一次函数的解析式为：6y x =-+；
（2）设直线l 的函数解析式为：y x t =-+，∵反比例函数m
y x
=
的图象在第一象限有且只有一个交点，∴5y x y x t
⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，化简得：250x tx -+=，∴△=2200t -=，解得：t =25±，∵t =25-不合题意，∴直线l 的函数解析式为：25y x =-+．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
9．（2015资阳，第22题，9分）如图，在△ABC 中，BC 是以AB 为直径的⊙O 的切线，且⊙O 与AC 相交于点D ，E 为BC 的中点，连接DE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接AE ，若∠C =45°，求sin ∠CAE 的值．
【答案】（1）证明见试题解析；（210 【解析】
试题解析：（1）连接OD ，BD ，∴OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴∠CDB =90°，∵E 为BC 的中点，∴DE =BE ，∴∠EDB =∠EBD ，∴∠ODB +∠EDB =∠OBD +∠EBD ，即∠EDO =∠EBO ，∵BC 是以
AB 为直径的⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴∠EBO =90°，∴∠ODE =90°，∴DE 是⊙O 的切线；
（2）作EF ⊥CD 于F ，设EF =x ，∵∠C =45°，∴△CEF 、△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF =EF =x ，∴BE =CE =2x ，∴AB =BC =22x ，在RT △ABE 中，AE =22AB BE +=10x ，∴sin ∠CAE =
EF AE =10．
考点：切线的判定；勾股定理；解直角三角形；综合题；压轴题．
10．（2015自贡，第23题，12分）如图，已知抛物线2
y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线
1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ． （1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的
坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
【答案】（1）3+=x y ，322
+--=x x y ；（2）M （－1，2）；（3）P 的坐标为（－1，－2）或（－
1，4） 或（－1
，2173
+） 或（－1，2
17
3-）． 【解析】
（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把1x =-代入直线3+=x y 得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （﹣1，t ），又因为B （﹣3，0），C （0，3），所以可得2
BC =18，
2PB =22(13)t -++=24t +，2PC =22(1)(3)t -+-=2610t t -+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t
值即可求出点P 的坐标．
试题解析：（1）依题意得：⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==++-=-`
3012c c b a a b
，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线解析式为322
+--=x x y ，
∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），∴B （－3，0），把B （－3，0）、C （0，3）分别代入直线y mx n =+，得：⎩⎨
⎧==+-303n n m ，解之得：⎩⎨⎧==3
1
n m ，∴直线y mx n =+的解析式为3+=x y ；
（3）设P （－1，t ），又B （－3，0），C （0，3），
∴2BC =18，2
PB =2
2
(13)t -++=24t +，2PC =2
2
(1)(3)t -+-=2610t t -+，
①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：18+18＋24t +＝2
610t t -+，解之得：2t =-， ②若点C 为直角顶点，则2
2
2
BC PC PB +=，即：18＋2
610t t -+＝2
4t +，解之得：4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：24t +＋2
610t t -+＝18，解之得：1t ＝
2
17
3+，2
t ＝
2
17
3-， 综上所述P 的坐标为（－1，－2）或（－1，4） 或（－1，
2173+） 或（－1，2
17
3-）．
考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；压轴题；分类讨论．。