第四章 房地产融资与投资的数学基础

第四章房地产融资与投资的数学基础
一般的投资计划有一个特性：在投资计划初期，投资者必须支出现金以谋取未来现金的流入。

一个投资计划是否可行，要视这些现金流入的价值是否超过现金流出的价值。

第一节现值和未来值
例1 假设某人在银行里存了1000元定期存款，利率为10%，每年计息1次，问1年后本息合计为多少？又若1年后将本息再以同样的条件存入同一银行，则2年后本息合计为多少？
解：1年后的本息：1000（1+10%）=1100（元）再加存1年得：
1100（1+10%）=1000（1+10%）²=1210（元）
n年后的未来值
FV=PV（1+r）n（1）FV：未来值（将来值、终值） PV：现值r：利率n：年数（计息次数）（1+r）n：未来值因子（终值系数）
公式（1）的修正式
FV=PV（1+r/m）nm（2）m：每年的计息次数；r：年利率；n：年数；（1+r/m）nm: 未来值因子
例2 某人在银行中存入1000元，年利率12%。

若银行以半年、3个月和1个月三种方式计息，问2年后三种计息法的未来值是多少？
解：r=12%，PV=1000元，n=2
（1）每半年次计息1次,m=2,FV=1262元
(2)每3个月计息1次,m=4,FV=1266元
(3)每1个月计息1次,m=12,FV=1269元
计息次数越多,未来值越大. 名义上年利率12%,若每年计息次数大于1,则所得的每年真实报酬率不止12%.
例3 某人在银行中存入1000元, 年利率为6%, 每月计息1次, 问1年后未来值为多少?每年真实报酬率为多少?
解: n=1, m=12, r=6% ，FV=1000(1+6%/12) 1×12 =1061.68元
每年真实报酬率: EAY=(FV-PV)/PV=6.168%
例4 某人存1000元于银行,为期3年,年利率6%,设若每半年,3个月和1个月计息1次,求三种未来值因子.
解: (1)半年计息1次: (1+0.06/2)³×²=119.405%
(2) 3个月计息1次:(1+0.06/4) ³ ײ ײ=119.562%
(3) 1个月计息1次:(+0.06/12) ³ ײ ײ ׳=119.668%
FV=PV（1+r）n； PV=FV/（1+r）n
FV=PV（1+r/m）nm；PV=FV/（1+r/m）nm
第二节年金的现值和未来值
一、年金：
是指每年定期存入或支出的款项。

若政府发行公债，其持有人可以每年领到A元，永不停止，那么这张公债的价格（现值）是：PV=A/（1+r）+A/（1+r）²+A/（1+r）3 +…=A/r此为永久年金的现值
二. 定期年金:
若年金支付几期后停止,则现值比永久年金小,称为定期年金.
求定期年金的现值: 把永久年金分为2部分,第一部分由现在—第n期的定期年金构成,现值为PV1,第二部分是从第(n+1)期直到永远的年金构成,现值为PV2.则PV= PV1+ PV2
PV2=PV-PV1=(A/r)[1-1/(1+r) n ]此为定期年金的现值
例5 假设某国政府发行一永久公债,该公债持有人可每年领取100元,永不停止。

同时设年利率
为8%,问该公债的现值为多少?如果上述公债发行30年后自动作废,则现值是多少?
解: 发行时公债为永久年金,现值:
PV=A/r=100/8%=1250元，发行30年后自动作废,为定期年金,现值:
PV=100/8%[1-1/(1+8%) 30]=1125.78 元
例6 某人投资于一个信托公司,议定每月存入1000元,年利率6%,每月以0.5%计息1次,5年后可领回,问该笔年金的现值和未来值.
解: 现值: PV=1000×1/0.5% ×[1/(1+0.5%)5×12]=51725.56元
未来值:FV=PV(1+r)n=A/r[1-1/(1+r) n ] ×(1+r) n=A [(1+r)n -1]/r=60074.04元
例7 假设某人今年开始工作,计划3年后买房,需一笔100000元的费用,为筹集这笔费用,他投资了一个信托基金,言明从下月起存款于该公司,利率为0.5%一个月,问每月应存多少钱才能在3年后得到100000元?
解:从 FV=A/r*[(1+r)n-1] 得
A=FV×r/ [(1+r)n-1]=100000×0.5%/[(1+0.5%)36 -1]=2542.19元
例8 假设某人购房,找到一个30年的贷款,贷款利率是每年12%,每月计息1次.贷款总额120000元,言明30年内按月摊缴本息,问每月应缴多少?
解:由PV=A/r*[1-1/(1+r)n ] 得A=PV*r(1+r) n /[(1+r)n -1]=1234.34元
例9 某人购屋一栋,找到一个30年期的固定利率贷款,年利率12%,每月计息. 现共贷款116662元,问每月付贷款支出多少?在付了5年后,尚有贷款余额多少?
解: (1)已知PV,求A.
A=PV×r(1+r)n /[(1+r)n -1]=116662×0.01029=1200元
(2)付了5年还需付剩余25年的贷款. 后25年的贷款余额的计算,可将后25年每月偿还的贷款本息视为一笔25年的年金,求其现值.
PV´=A/r*[1-1/(1+r) n´]
=1200/0.01*[1-1/(1+0.01)25×12]=1200×94.9466=113935.86元
例10 某永久公债,每月支付持有人12元直到永远. 如果假设利率一直是每年12%,问该公债的价值是多少? 若5年后出售该公债,可得多少钱? 若政府发行一个5年期公债,条件类似于该公债,则售价为多少?
解: 永久年金的现值: PV=A/r=12/1%=1200元
5年后出售该公债,仍是永久公债,价值不变. 则: PV=1200元
5年定期公债的价值:PV=1200-1200/(1+0.01) 60 =539.46元
第三节投资报酬率
投资报酬率：能使一个投资计划的现金支出和现金流入相等的折现率。

假如一个投资计划需在第0期时投入现金成本C0，其后几期可收入现金C1，C2，C3…Cn, 该投资计划的投资报酬率就是使下式成立的折现率r:
C0= C1/(1+r)+ C2/(1+r)²+ C3/(1+r)³+…+ Cn/(1+r)n
例11 某公司购买一块地付出100000元,估计10年后该地块价值为260000元,求这块土地的投资报酬率.
解: C0=100000元,C10=260000元,C1,C2,C3…C9=0 100000=260000/(1+r)10
(1+r) 10 =2.6
r=10.03%
例12 某人借120000元用以购房,30年内分摊还清,每月偿还1200元,问银行的报酬率是多少? (内插法)
解: PV=120000,A=1200
120000=1200*PVA(r,360)
100=PVA(r,360)
查表,当年利率11.5%时(月0.9583%),
PVA(0.9583%,360)=100.98;当年利率11.75%时(月0.9792%),PVA(0.9792%,360)=99.06
则 r-0.9583 = 100.98-100
0.9792-0.9583 100.98-99.06
得 r=0.96896% (月报酬率)
年名目报酬率 0.96896%×12=11.628%
实质报酬率(1+0.96896%)12 -1=12.27%
第四节资金等值计算
一. 资金等值及等值计算的概念
（一）资金等值的概念
资金等值是指在考虑时间因素的情况下, 不同时点发生的、数额不等的资金，可能具有相等的价值。

例1 假如今年存入银行10000元，以10%的复利利率计息。

求（1）若明年取出，可取款多少？（2）若后年取出，可取出多少？
解：若明年取出，F1=10000（1+0.1）=11000元,若后年取出，F2=10000（1+0.1）2=12100元
虽然今年的10000元、明年的11000元和后年的12100元是发生在不同时点的数额不等的三笔资金，但是在复利利率为10%的条件下，它们却具有相等的价值。

即它们是等值的。

（二）资金等值计算的概念
1、资金等值计算
即利用等值的概念，把一个时点上发生的资金换算成另一时点上的等值金额的过程。

目的：解决在不同时点发生的收入或支出，其数值不具有可比性的问题。

将它们换算到同一时点，使资金能直接相加减或进行比较，以便于投资项目评价的进行。

2、资金等值的影响要素
在不考虑通货膨胀和风险影响的情况下，影响资金等值的要素是：
（1）资金金额；（2）资金发生的时间；（3）资金的增值率。

注意：在考虑资金等值问题时，利率可以被看做是资金的增值率，而在进行等值计算时，该增值率被称为“折现率”。

3、几个关键术语
（1）时值---资金在某个时点上的金额。

如今年的10000元，明年的11000元等。

（2）折现---利用资金等值的概念，把将来时点t+k上发生的资金F，按某折现率（增值率）换算到t时点，得到其等值金额的过程。

（即资金由t+k向t点换算）。

（3）现值P---将来时点t+k上的资金F，被折现到t时点后得到的金额。

但在多数情况下，现值
指折现到0时点上的值。

（4）终值F---与P等值的将来时点的资金金额。

二、资金等值计算公式
（一）一次支付（或整支整付）类型
1、一次支付终值公式F=P(1+i)n;F=P(F/P, i, n)
2、一次支付现值公式P=F/(1+i)n;P=F(P/F, i, n)
(二)等额序列类型
等额序列是多次支付形式中(现金流入或流出在多个时点上发生)的一种形式.
特点:具有由n个等额且连续的A(被称为等额年值)组成的现金流序列----等额序列年金流. 1、等额序列与其终值的等值关系(n个A与其共同的F的关系)
如下图所示, 设在考虑资金的时间价值的条件下, 第n年末的F与n个等额的A等值, 或者
说, F是n个A组成的等额序列的终值.
注意: (1)在上图中, F必须与最后一个A同在n时点上,这是公式推导的需要, 也是后面推导出的公式的使用条件. (2)n既是年数, 又代表等额序列A的个数.
上图可理解为:
储蓄者(或银行)的系统, 即每年末存入银行(或贷出)等额资金A, 在第n年末可取出(或收回)资金F. 如果图中的A与F相反, 可理解为借贷者的系统: 每年末借入A, 第n年末偿还一笔资金Fn. (1)等额序列终值公式(2)等额序列偿债基金公式
2.等额序列与其现值的等值关系(n个A与P的关系)
如左图所示: 在考虑资金的时间价值的条件下, 即发生在第0年(第一年初)的现金流出P与1—n 年末的n个等额A等值, 即P是n个A组成的等额序列的现值.
注意: P必须位于第一个A的前一年, 这是公式推导的需要,也是后面推导出的公式的使用条件.
(三)等差序列类型
我们可能会遇到这样一类问题, 即每期现金流量以相同的金额G发生等差变化. 如下图所示: 系统中每期的现金流量At=(t-1)G, t=时点数.
注意: 图中从第二年末(n=2)才开始有G出现, 这是为了推导出的公式与其他公式在n的处理上能保持一致.
括号内的系数为等额序列现值系数, 符号为(P/G, i, n), 可查表得出数据.
括号内的系数为等差序列年值系数, 其符号为(A/G, i, n), 可查表得出数据. 另外, 还有如下关系存在:A=G (P/G, i, n) (A/P, i, n)
例某车间未来5年的修理费如图(A)所示, 如果使用12%的折现率. 求: (1)这些修理费的现值是多少? (2)这些修理费折合等额年费用为多少?
(A) (B) (C)
解: 将图(A)分解为一个等额序列和一个等差序列之和. 即(A)=(B)+(C)
等差序列的G=125, 第一个G在第二年末发生,符合推导公式的假设.
P=A(P/A, i, n)+G(P/G, i, n)=1100(P/A, 12%, 5)+125(P/G, 12%, 5)
=1100×3.6048+125×6.3970=3965+800=4765(元)
A=1100+125(A/G, 12%, 5)=1100+125×1.7746=1322(元)
(四)等比序列类型
在等比序列类型中,现金流量以一个不变的百分率g变动.可以向正的方向变动, 也可以向负的方向变动.
上图中, A t=A t-1(1+g), A t=A1(1+g)t-1
（五）等值计算公式小结
1、一次支付与等额序列两类现金流的6个系数之间的关系
（F/P，i，n）=1/（P/F，i，n）
（A/P，i，n）=1/（P/A，i，n）
（F/A，i，n）=1/（A/F，i，n）
（A/P，i，n）=1/（P/A，i，n）
2、使用各种类型的等值计算公式时，一定要符合公式推导时所使用的典型现金流量图的一些假设。

否则不能直接使用公式。

3、在考虑资金的时间价值、使用公式进行等值计算时，有一个隐含的条件----系统中的总现金流入与总现金流出相等，或者说它们是等值的。

否则无法计算。

例在下图所示的经营系统中，求出所有净现金流量的现值之和。

在考虑资金的时间价值，总现金流入等于总现金流出的情况下，已知A1、A2、i，求T；已知T、A2、i，求A1。

解：
（1）首先需要分别求出等额序列A1、A2的现值，以及一次支付的T的现值，然后求出其代数和。

注意6个A1的处理：求出1—5年末的5个A1的现值，再加上一个位于0时点A1。

P=A2（P/A，i，3）（P/F，i，8）－T（P/F，i，7）－A1（P/A，i，5）－A1
（2）其次，由于总现金流入与总现金流出等值，求T就是将A2和A1换算到第七年的代数和。

T=A2（P/A，i，3）（P/F，i，1）－A1（F/A，i，6）（F/P，i，2）
复习思考题：
1. 假如银行允许某人以复利方式将10000元存入,利率为年10%. 问3年后可取本利和为多少?
2. 如果存入银行1000元, 名义年利率为12%,要求每月计息一次, 求一年后本利和为多少?实际年利率为多少?
3. 某学校为在第5年末装修会议厅, 计划于1-5年的每年末存入银行3万元, 按复利计息, i=6%. 问第5年末可取出多少钱?
4. 某人为了外出旅游的20000元费用, 打算在第1—4年的年初, 在银行存入等额的存款, 复利利率为6%. (1)假如于第3年末取出20000元. (2)假如于第5年末取出20000
元. 问: 在两种情况下, 此人每年必须各存入多少?
5. 某人欲在5年中, 每年的年末得到1万元, 用以支付私人汽车的各种费用, 如果复利年利率为10%, 应在第一年初向银行存入多少钱?
6. 某人为购房于年初向银行贷款380000元, 复利年利率为6%, 问他将在30年的每月末向银行归还现金多少?
7. 某人于年初借入2000元, 要求每月末复利计息一次, 即在2年内分24个月还清, 每次还99.8元. 求: 月利率、年名义利率和年实际利率。

8. 某学生家长为使孩子在第3—6年上大学的4年中, 每年年初得到10000元, 他应在2年前在银行存入多少钱?(假设复利利率为5%)
答案:
1. 13310
2. 1126.8 12.68%
3. 16.91
4. 4571.8 4068.9
5. 3.791
6.
7. 1.5% 18% 19.56%
8. 33772。