2020-2021学年广东省茂名市高州市初中卓越联盟九年级(上)联考数学试卷(10月份)(b卷)

2020-2021学年广东省茂名市高州市初中卓越联盟九年级（上）联考数学试卷（10月份）（B卷）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2﹣y＝1B．x2+2x﹣3＝0C．x2+＝3D．x﹣5y＝6 2．（3分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
3．（3分）一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，二次项系数和一次项系数分别是（）A．﹣3，4B．3，﹣4C．﹣3，﹣4D．3，4
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．等腰三角形C．等边三角形D．菱形
5．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2
6．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（）
A．4.5B．5C．6D．9
7．（3分）一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后变形正确的是（）
A．（x﹣3）2＝14B．（x+3）2＝4C．D．（x+3）2＝14 8．（3分）方程（x﹣2）2＝27最简便的解法是（）
A．因式分解法B．配方法
C．公式法D．直接开平方法
9．（3分）顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
10．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11．（4分）正方形的一边长5cm，则周长为cm，面积为cm2．
12．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE ＝3，则点P到AD的距离为．
13．（4分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是．
14．（4分）一元二次方程（3x+1）（x﹣3）＝2化为一般形式是．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝cm．
16．（4分）对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2﹣ab，例如1※3＝12﹣1×3．若x※4＝0，则x＝．
17．（4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是．
三、用心做一做（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：（x﹣3）2＝9．
19．（6分）解方程：x2﹣4x＝4
20．（6分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．
四、沉着冷静，缜密思考（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC 于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
23．（8分）当m为何值时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣＝0有两个相等的实数根？
此时这两个实数根是多少？
五、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）某地地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率？
（2）按照（1）中收到捐款的增长率不变，该单位三天一共能收到多少捐款？25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上
一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
2020-2021学年广东省茂名市高州市初中卓越联盟九年级（上）联考数学试卷（10月份）（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2﹣y＝1B．x2+2x﹣3＝0C．x2+＝3D．x﹣5y＝6
【解答】解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；
B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；
C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；
D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，
故选：B．
2．（3分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；
B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；
C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；
D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；
故选：C．
3．（3分）一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，二次项系数和一次项系数分别是（）A．﹣3，4B．3，﹣4C．﹣3，﹣4D．3，4
【解答】解：一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，
∴二次项系数为3，一次项系数为4，
故选：D．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．平行四边形B．等腰三角形C．等边三角形D．菱形
【解答】解：A、只是中心对称图形；
B、C都只是轴对称图形；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D．
5．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0，
解得，k＝2．
故选：B．
6．（3分）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（）
A．4.5B．5C．6D．9
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，且周长为36，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，
又∵O为BD中点，H为AD的中点，
∴OH为△ABD的中位线，
∴OH＝AB＝4.5，
故选：A．
7．（3分）一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后变形正确的是（）
A．（x﹣3）2＝14B．（x+3）2＝4C．D．（x+3）2＝14【解答】解：原方程变形为：x2+6x＝5，
方程两边都加上32，得x2+6x+32＝14，
∴（x+3）2＝14．
故选：D．
8．（3分）方程（x﹣2）2＝27最简便的解法是（）
A．因式分解法B．配方法
C．公式法D．直接开平方法
【解答】解：方程（x﹣2）2＝27最简便的解法是直接开平方法，
故选：D．
9．（3分）顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
【解答】解：证明：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：A．
10．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11．（4分）正方形的一边长5cm，则周长为20cm，面积为25cm2．【解答】解：∵正方形的边长为5cm，
∴它的周长＝5×4＝20（cm），
∴面积＝52＝25（cm2），
故答案为：20；25．
12．（4分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE ＝3，则点P到AD的距离为3．
【解答】解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF＝PE＝3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
13．（4分）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3
14．（4分）一元二次方程（3x+1）（x﹣3）＝2化为一般形式是3x2﹣8x﹣5＝0．【解答】解：（3x+1）（x﹣3）＝2，
3x2﹣9x+x﹣3＝2，
3x2﹣9x+x﹣3﹣2＝0，
3x2﹣8x﹣5＝0．
故答案为：3x2﹣8x﹣5＝0．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝ 2.5cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：BD＝AC＝＝10（cm），
∴DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF＝OD＝2.5cm，
故答案为：2.5．
16．（4分）对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2﹣ab，例如1※3＝12﹣1×3．若x※4＝0，则x＝0或4．
【解答】解：∵x※4＝0，
∴x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x＝0，x﹣4＝0，
∴x＝0或4，
故答案为：0或4．
17．（4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是2．
【解答】解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形，
∴S阴影部分＝S正方形＝2．
故答案为：2．
三、用心做一做（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：（x﹣3）2＝9．
【解答】解：（x﹣3）2＝9，
开方得：x﹣3＝±3，
解得：x1＝0，x2＝6．
19．（6分）解方程：x2﹣4x＝4
【解答】解：x2﹣4x＝4，
x2﹣4x+4＝4+4，
（x﹣2）2＝8，
x﹣2＝，
x1＝2+2，x2＝2﹣2．
20．（6分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、
DF．求证：CE＝DF．
【解答】证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE＝CF，
在△CEB和△DFC中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE＝DF．
四、沉着冷静，缜密思考（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC 于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
22．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【解答】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
要使顾客得到实惠，应取x＝5．
答：每千克水果应涨价5元．
23．（8分）当m为何值时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣＝0有两个相等的实数根？
此时这两个实数根是多少？
【解答】解：由题意知，Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣）＝0，
即16﹣4m+2＝0，
解得：m＝．
当m＝时，方程化为：x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴方程有两个相等的实数根x1＝x2＝2．
五、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）某地地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率？
（2）按照（1）中收到捐款的增长率不变，该单位三天一共能收到多少捐款？
【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
10000×（1+x）2＝12100，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）；
答：捐款增长率为10%．
（2）第二天收到捐款为：10000×（1+10%）＝11000（元）．
该单位三天一共能收到的捐款为：10000+11000+12100＝33100（元）．
答：该单位三天一共能收到33100元捐款．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．。